第三章线性代数方程组

第三章线性代数方程组 • 3．1 矩阵的秩 3.1.1 概念定义 1 对于mхn 矩阵 A，称其一切非退化方子矩阵的最高阶数k为A的秩(rank)，记作r(A)，并规定r(O)=0。 A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行列式（简称子式），则定义1 可以如下叙述： r(A)是A的一切非零子式的最高阶数。结论：若A的秩为k，则A至少有一个不为零的k阶子式，但是所有k+1阶子式都为零，进一步可以推出A的所有阶数大于k的子式都为零。为什么？

例 1 ：求下列矩阵的秩

分析例中3个矩阵的求秩过程，可以得到如下结论：分析例中3个矩阵的求秩过程，可以得到如下结论：（1）A=0的充要条件是 rank(A)=0；（2）若A有一个k阶子式不为零，那么r(A)≥k；当r(A) = k时，则A至少有一个不为零的k阶子式，但不是所有k阶子式都不为零，而且可以断言所有高于k 阶的子式(如果存在)都为零； (3) 若A是mхn 矩阵，那么r(A)≤min{m,n}； r(A)=r(AT)； (4) 若A是n阶矩阵，则r(A) ≤n。 r(A)=n detA≠0 是 A可逆。称行列式不为零的矩阵为满秩阵(非退化阵)；行列式为零的矩阵为降秩阵(退化阵)。

练习 1对于矩阵 k取何值时，可使：（1）r(A)=1 (2) r(A)=2 (3) r(A)=3。练习2证明 r(A)=r(AT)。

3．1．2 计算 定义2 满足以下两个条件的mхn矩阵称为梯矩阵： 1．第 k+1 行的首个非零元（如果有的话）前的零元个数多于第k行的非零元（如果存在）前的零元个数，k=1, 2, …, m-1； 2．如果某行都是零元，则其下所有行的元都是零。

例 2 说明 为梯矩阵，并求出rank(A)。

结论如果A是梯矩阵，那么r(A)=A的 非零行的行数。对于一般的mхn矩阵，从秩的定义求A的秩是不方便的。希望将A经过初等变换，变换成梯矩阵，然后再求A的秩。问题：经过初等变换的矩阵，其秩会变化？

定理 1 任一mхn矩阵A经有限次初等变换后，其秩不变。证明设A 经一次行初等变换后成为B，首先证明 r(A)≤r(B)，（B=RA；）推得：r(B)≤r(A)，（因为 A=R-1B）得到 r(A)=r(B)。因此，只要分别对三类初等变换证明 r(A)≤r(B)。设r(A)=k。

对第一类行初等变换，

因为r(A)=k，即A中必有一个k阶子式Mk≠0。 B中有一个与Mk对应的k阶子式Nk，满足下述之一的条件：（1）当Mk中不包含A 的第i行和j行的元素，那么 Mk=Nk；（2）当Mk中仅包含A的第i行（或j行）元素；只要适当交换Nk的行，就可以得到Mk，Mk=± Nk。（3）当Mk中包含A的第i 行和第j行，只要交换Mk中与A的第i、j行对应的行，就可以得到Nk，所以 Mk= - Nk。综上所述，当A中k阶子式Mk≠0，那么B中存在k阶子式Nk≠0，所以，r(A)≤r(B)；

对第二类行初等变换， ：

设Mk≠0是A的一个k阶子式，Nk是B中与Mk对应的行组成的k阶子式。若Mk中含第i行，则Nk=αMk≠0；若Mk中不含第i行，则设Mk≠0是A的一个k阶子式，Nk是B中与Mk对应的行组成的k阶子式。若Mk中含第i行，则Nk=αMk≠0；若Mk中不含第i行，则 Nk =Mk≠0，所以，r(A)≤r(B)；

对于第3类初等变换，

对于A中的k阶子式Mk≠0，则有四种可能： （1）Mk中同时含A的第i和j行，此时，B中的k阶子式可以取与Mk对应的行，得到k阶子式Nk，那么Nk =Mk≠0，得到 r(A)≤r(B)； (相当于将Mk中的第i行的α倍加到第j行) （2）Mk中含A的第i行，但不含第j行元，则B中对应的Nk，必有Nk =Mk≠0，得到 r(A)≤r(B)；

（3）M k中含A的第j行元，但不含第i行元： 选择B中与M k中序号对应的行元组成N k，则其包含B中第j行元，但不含第i行元，那么

由于Mk ≠0，所以Nk与N2k不同时为零，否则 Mk=0，与题设矛盾。(讲义中的证明不完全正确) 如果Nk≠0，已知Nk是B的一个k阶子式，那么 r(B)≥r(A)；如果N2k ≠0，它也与B的一个k阶子式对应：将B中第j行元替换成第i行元，再取与Mk相同的行元组成的k阶子式，得到r(A)≤r(B)；（4）Mk中既不含A的第i行元，也不含A的第j行元，此时，在B中取与Mk相同序号的行元，得到Nk，则有Nk =Mk≠0，得到r(A)≤r(B)。综上述，由（1，2，3，4）得到r(A)≤r(B)。

推论1任一mхn矩阵A，经有限次列初等变换后，不改变秩。推论1任一mхn矩阵A，经有限次列初等变换后，不改变秩。 • 推论2 A是任一mхn矩阵，B是任一m（或n）阶满秩矩阵，则必有： r(BA)=r(A)（或r(AB)=r(A)） • 推论3设A是任一mхn矩阵，已知其标准形分解 A=PNQ，其中，那么r(A)=r。

定理 2任一mхn矩阵A，必可以通过有限次行初等变换而成为梯矩阵。例 3 给定矩阵A ，依据证明的步骤，用初等行变换将其化成梯矩阵。

练习3 确定矩阵A的秩

3.2 线性代数方程组的解 相容性：一个存在解的线性代数方程组称为相容的，否则就是不相容或矛盾方程。 3.2.1 齐次方程组 m x n 的齐次线性代数方程组为：

写成矩阵——向量形式：Ax=0， 其中，x=0，是方程的一个解——零解，称为平凡解。那么齐次方程总是相容的。对于齐次方程，需要解决的问题： 1）在何种情况下，存在非平凡解？ 2）存在非零解的条件下，如何表示所有的解，即解的一般形式是什么？

定理 3 方程Ax=0 存在非平凡解的充要条件是 r(A) < n ，且在任一通解式中含有n – r (A)个任意参数。证对m x n系数矩阵A作标准形分解， A=PNQ P：m阶可逆阵，Q：n阶可逆阵。因为，Ax=0 → PNQx=0 → NQx=0 记 y=Qx, 那么 Ny=0

记则构成方程的一个基础解系。而且方程的任一解x都可以表示成，由于解表达式中yi , i=r+1,…,n，是n-r任意常数，故称为方程的通解。

非齐次方程组的通解 • 对于非齐次方程组 AX=b 设是其导出组的一个基础解系，是非齐次方程的一个特解，那么方程组的通解：

课堂讨论题： (1)问：a,b取何值时方程组有解？在有解的情况下求出解。

解：当a=0,b=2时，方程有解。因为

（2）问：a，b取何值时方程组有解？在有解的情况下求出解。（2）问：a，b取何值时方程组有解？在有解的情况下求出解。

解： • 当时有唯一解； • 当时：

（a）时，没有解； • （b）b=5时，有无穷多个解。 • 当时有无穷多解； • b=-1时，，所以方程没有解。因为不论a是何值！

(3)设计算 采用两次加边的方法

再加边，构成n+2阶行列式。

解答步骤 3~n+2列减去第二列。

解答步骤 • 首先，3~n+2列减去第一列。 • 然后，

(5)证明 按第1列分解成两个行列式之和。

那么

该题还可以用归纳法来证明：

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