Eq di schr dinger indipendente dal tempo in coordinate polari sferiche
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A.A 2010-2011 G . Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli. Eq. di Schr ö dinger - indipendente dal tempo - in coordinate polari sferiche.

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Eq. di Schr ö dinger - indipendente dal tempo - in coordinate polari sferiche

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Presentation Transcript


Eq di schr dinger indipendente dal tempo in coordinate polari sferiche

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

Eq. di Schrödinger - indipendente dal tempo - in coordinate polari sferiche

ricerco le soluzioni nella forma:

le variabili angolari compaiono solo in un termine percio’

ossia

dividendo per

e moltiplicando per

si ottiene :


Eq di schr dinger indipendente dal tempo in coordinate polari sferiche

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

riarrangiando i termini:

dato che il primo termine, che dipende solo da r, e’ indipendente dal secondo, che dipende solamente daq e j

, affinche’ l’equazione sia sempre verificata bisogna che i due termini siano entrambi costanti,

posto che la costante valga l(l+1) , dove l e’ un intero, si dovra’ avere

e

parte radiale

parte angolare

per quanto riguarda la parte angolare si ha:

tenteremo di nuovo di operare sulla parte angolare separando le variabili,

ossia ipotizzando una soluzione

del tipo

sostituendo si ottiene

dividendo per

si ha

poiche il primo termine, che dipende solo da q, e’ indipendente dal secondo, che dipende solamente daj,

sara’ possibile utilizzare

le derivate normali: quindi

affinche’ l’equazione sia sempre verificata bisogna che i due termini siano entrambi costanti,

e posto che la costante assuma il valore m2 ,

dove m e’ un intero, si dovra’ avere

e


Eq di schr dinger indipendente dal tempo in coordinate polari sferiche

A.A 2010-2011 G. Cambi - M. Piccinini - N. Semprini - S. Zucchelli

le soluzioni dell’equazione

sono

e

ma di solito si ingloba la costante come fattore moltiplicativo nella funzione G (q) e sempre per convenzione si assume come soluzione

dato che l’angolo azimutale j ha periodicita’ di 2p edato che

consentendo poi ad m di assumere anche valori negativi

dopo un avanzamento di 2p si torna allo stesso punto dello spazio

imporremo la condizione che

ossia

vale a dire

cio’ comporta che il numero quantico m debba in effetti essere un intero

e, limitandosi a questo contesto, m non avrebbe limite superiore

nello specifico

nota bene: questa non e’ una supposizione scontata a priori infatti esistono grandezze fisiche che non ritornano nella stessa identica

condizione dopo una rotazione di 360 gradi. Es. spinori o come esempio classico il cameriere ed il piatto che ruota

quindi per essere corretti occorrerebbe moltiplicare per una fase tipo e id ossia affermare che

le soluzioni a

ossia della

sono

dove i Plm sono le funzioni associate di Legendre definite come

mentre i Pl(x) sono i polinomi di Legendre

che e’ consuetudine definire, usando la formula di Rodrigues, come

da notare come :

  • affinche’ la formulazione dei polinomi di Legendre nella forma di Rodrigues abbia senso il numero

quindi

quantico l deve essere un numero intero positivo o nullo

  • dalla definizione delle funzioni associate di Legendre risulta che deve essere m intero ed |m| ≤ l

quindi

per ogni valore assegnato di l

sono possibili ( 2l+1) valori per m con


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Parte radiale

dove si e’passati dalle derivate parziali a quelle normali visto che R dipende solo dalla variabile radiale r

o anche, riarrangiando i termini :

equazione che puo’ essere semplificata

se poniamo:

da questa condizione ne deriva che

e applicando regola di derivazione del prodotto di funzioni otteniamo

inoltre

dunque la

diviene

ossia

infine, semplificando il termine r2


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e, riarrangiando i termini si ottiene la

equazione che diviene equivalente alla equazione di Shroedinger indipendente dal tempo in una dimensione

ossia alla

a patto di sostituire al potenziale V un potenziale efficace Veff

dove

allontanare dall’origine del centro di forza

il termine

e’ detto centrifugo in quanto tende ad

Atomo idrogenoide : potenziale coulombiano

le soluzioni all’equazione

come conseguenza affinche’ si abbia convergenza dei polinomi di Laguerre

sono i polinomi di Laguerre:

il numero quantico l puo’ assumere al massimo il valore n-1


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quindi per un generico valore del numero quantico n

il numero quantico l puo’ assumere gli n valori

valori possibili per il numero quantico m

ma per ciascun valore di l vi sono

e la degenerazione di un livello energetico En associato al numero quantico n sara’ pari a

quindi

degenerazione = 1

E2

 degenerazione = 4

E3

 degenerazione = 9

E1

tenuto conto dello spin degli elettroni e del principio di esclusione di Pauli cio’ spiega la capienza in elettroni dei vari livelli energetici dell’atomo idrogenoide

E1

 degenerazione = 1

 numero di elettroni possibili = 2

E2

 degenerazione = 4

 numero di elettroni possibili = 8

E3

 degenerazione = 9

 numero di elettroni possibili = 18


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in conclusione

le funzioni d’onda dell’atomo di idrogeno, propriamente normalizzate, sono

dove gli

sono i polinomi associati di Laguerre

e

sono i polinomi di Laguerre

le

sono le armoniche sferiche

ed

e’ il raggio di Bohr


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partendo soltanto dalla

degenerazioni dei livelli energetici e dal principio di esclusione di Pauli

si puo’ tentare di costruire la tavola periodica degli elementi

idrogeno

1 elettrone

n = 1

l = 0

m = 0

s = -1/2

n = 1

l = 0

m = 0

s = -1/2

elio

2 elettroni

n = 1

l = 0

m = 0

s = +1/2

n = 1

l = 0

m = 0

s = -1/2

litio

3 elettroni

n = 1

l = 0

m = 0

s = +1/2

n = 2

l = 0

s = +1/2

m = 0

ma se n = 2 sia l = 0 che l =1 sono stati possibili ed hanno la stessa energia

la risposta e’ che non si puo’ ignorare la repulsione coulombiana tra gli elettroni

quindi perche’ non occupare prima lo stato con l = 1 ?

la presenza del termine centrifugo fa si’ che il valore del raggio medio ad n fissato aumenti in funzione del numero quantico l

o, detto in altri termini, fa si’ che gli elettroni tendano in media ad allontanarsi maggiormente dal centro di forza all’aumentare del numero quantico l a parita’ di numero quantico n

piu’ lontano dal nucleo e’ l’elettrone piu’ assume rilevanza l’effetto di schermatura o “screening” degli elettroni piu’ interni che fa si’ che piu’ e’ lontano l’elettrone minore carica efficace percepisce

dunque tenendo conto della repulsione degli elettroni lo stato con l = 0 e’ quello piu’ strettamente legato al nucleo, ossia e’ quello che ha l’energia minore e l’energia, a parita’ di n, aumenta all’aumentare di l


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Determinare nell’atomo di idrogeno quale sia il valore piu’ probabile di r negli stati caratterizzati dai numeri quantici n e dal massimo numero quantico orbitale possibile

nell’ atomo di idrogeno P(r) e’ la densita’ di probabilita’ radiale ossia P(r)dr e’ la probabilita’ di trovare

l’elettrone ad una distanza compresa tra r e r + dr dal nucleo.

il numero quantico l puo’ assumere al massimo valore n-1, quindi lmax= n - 1

dove

e’ il raggio di Bohr eme’ la “massa ridotta” del sistema protone elettrone

quindi

e


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si ha

ed

raccogliendo a fattor comune

escludendo le soluzioni a zero e all’ infinito resta da risolvere la

equazione che ha per soluzione :

la probabilita’ e’ massima in corrispondenza di quegli rn tali per cui :

ossia in corrispondenza delle orbite dell’atomo di Borh


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