第三节  复合函数的求导法则
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第三节 复合函数的求导法则. 一 链式法则. 二 全微分形式不变性. 三 小结. 定理 如果函数 在点 可导,二元 函数 在对应的点 有连续偏导数,则复合函数 在对应的点 处可导,且导数为. 一、多元复合函数的求导法则 --- 链式法则. 1 、复合函数的中间变量为一元函数的情形. 全导数公式. 链 式 图.

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第三节 复合函数的求导法则

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Presentation Transcript


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第三节 复合函数的求导法则

一 链式法则

二 全微分形式不变性

三 小结


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定理 如果函数 在点 可导,二元

函数 在对应的点 有连续偏导数,则复合函数

在对应的点 处可导,且导数为

一、多元复合函数的求导法则---链式法则

1、复合函数的中间变量为一元函数的情形

全导数公式

链 式 图


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此公式中的导数 称为全导数.

推广

中间变量多于两个定理仍成立.

链 式 图


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例1设

链式图


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例2


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2、中间变量不是一元函数而是多元函数的情形


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链式法则如图示

连线相乘,分支相加


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复合函数 的偏导数计算公式

推论

链式图

连线相乘,分支相加


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链式图


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3、 中间变量既有一元函数又有多元函数的情形


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例4 求下列多元复合函数的偏导数

链式图


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特殊地

两者的区别


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例5


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二、全微分形式不变性

全微分形式不变形的实质:

无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数,它的全微分形式是一样的.


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例6设zeusinv, uxy, vxy, 利用全微分形式不变性求全微分.

eusinv

du

eucosv

dv

eusinv

(ydxxdy)

eucosv

(dxdy)

(yeusinveucosv)dx(xeusinveucosv)dy

exy[ysin(xy)cos(xy)]dx

exy[xsin(xy)cos(xy)]dy.


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三 小结

1 链式法则(分三种情况)

2 全微分形式不变性


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