趣味數學

1. 趣味數學

2. 參考書目 • Rob Eastaway(2009)，幾隻襪子湊一雙？：臉譜，城邦文化出版。 • Rob Eastawayand Jeremy Wyndham(2008)，一條線有多長？：臉譜，城邦文化出版。 • Rob Eastawayand Jeremy Wyndham(2008)，為什麼公車一次來三班？：臉譜，城邦文化出版。 • Theoni Pappas(2003)，原來數學這麼有趣：世茂出版社。

3. 鏡子 想像某天清晨，你在浴室裡剛刷完牙，正看著鏡中的自己。從你僅靠著洗臉槽的站立位置，你應該可以看到你的上半身——假設你在鏡中所能看見的最低點只到達你的肚臍。 現在開始你往後退，離開鏡子，當你後退時，你能看到？ (1)較少的你 (2)同樣多的你 (3)較多的你

4. 生日問題 全班有50位同學，來自於四面八方。在老師核對資料時，老師發現：「有人同一天生日！——不需要同年，只要同月同日出生即可。」 大家都知道一年有365天，那麼對於全班同學有人同月同日生的巧合，你的直覺做何反應？ (1)一點也不訝異，你認為有人在同一天生日幾乎是必然的。 (2)覺得應該有約50-50的機會。 (3)你非常訝異！十次有一次就差不多了。 (4)你覺得這種機會跟中樂透一樣低。

5. 任意2人不同日生的機率＝有人同天生日的機率＝任意2人不同日生的機率＝有人同天生日的機率＝ • 任意3人均不同日生的機率＝有人同天生日的機率＝ • 任意50人均不同日生的機率＝有人同天生日的機率＝

6. 足球場 某足球隊贏得聯賽冠軍，俱樂部決定為球隊舉辦歡迎儀式。球場管理員靈機一動，買了一些彩旗和一條旗繩沿著球場邊線拉起。想法是讓球員從觀眾席中央的更衣室跑出來，走過旗繩底下，踏上球場。足球場長100公尺，而球場管理員買的旗繩長為101公尺。 目睹他的作法的經理提出質疑：「你的旗繩只寬鬆1公尺阿！假如你從中間舉高旗繩，地下會有足夠的空間讓球員穿過去嗎？」 (1)管理員瘋了！旗繩太緊了。 球員幾乎不可能從繩子下幾過去。 (2)球員要蹲的很低才能從繩子底下過去。 (3)經理錯怪管理員，大部分的球員都能輕易的過去。

7. 利用畢氏定理，高度約7公尺。 所以當時遊覽車都能輕鬆開過去！！

8. 熊 • 一個人離開了他的帳棚，他往南走1公里，然後他往東1公里，接著往北走1公里。 讓他驚訝的是，他已經走回他的帳棚，而這時候他看見一隻熊，請問這隻熊是什麼顏色的？ Ans：白色

9. 熊—PART2 • 同一時間，另一個人（在別處紮營）走出他的帳棚，往北直直走了10公里。然後他坐下來喝一杯茶。喝完茶之後，他又往北直直走了10公里。讓他驚訝的是他發覺自己一樣回到了他的帳棚。請問他可能看到熊嗎？ • Ans：不一定（地球暖化嚴重，請救救北極熊）

10. 燃燒的細繩 你有一段細繩，別人告訴你如果從繩子一端點火燃燒，燒完整條繩子剛好是一小時。如果你需要準確測出三十分鐘，手邊沒有手錶，只有這條細繩和一支打火機。基本上，很容易，只要將細繩對折，然後燃燒半段細繩得時間有多長，不是嗎？ 這裡有個陷阱：這條繩子粗細非常不均，有些地方細，有些地方粗，所以每段燃燒的速率不同。你知道前半段粗繩要五十五分鐘才能燒完，而後半段卻只需要五分鐘。似乎無法準確的測量出三十分鐘，但確實有個解決方式。你能找出來嗎？ Ans：兩邊同時點火，燒完剛好30分鐘

11. 燃燒的細繩—PART2 有兩條不均勻分佈的繩子,每條繩子燒完的時間是一個小時,你能用什麼方法來確定一段15分鐘的時間。 Ans：一條繩子兩邊同時點火，燒完剛好30分鐘。另一條先點一邊，當第一條燒完時，還剩30分鐘，這時在另一端也點火，就是15分鐘了！

12. 鐵匠問題 某鐵匠有一條鏈子，斷成相等的五段，每段有三個環；現在要將這條鏈子修好。 在做滬件事之前，鐵匠想了一下，必須鑿開幾個環，才能接好？ Ans：3個。（把一個鍊子全部拆開）

13. 鐘面問題 把圖裡的鐘面分割成任意形狀的六塊，使每一塊裡所有數字的和都相等。

14. 挑戰題1 在房裡有三盞燈,房外有三個開關,在房外看不見房內的情況,你只能進門一次,你用什麼方法來區分那個開關控制那一盞燈。 Ans：應該是利用燈泡的冷暖，先開一個幾分鐘，然後關掉，開第二個，然後進去，就知道現在的是那個了，然後摸一下燈泡，就知道剛才開的是那個了。

15. 挑戰題2 在一個3×3方陣上有九個點，如何利用四條連續直線段把他們連接起來？（使用鉛筆不能離開紙張，且經過路徑不能折回）

16. 挑戰題3 在一個4×4方陣上有十六個點，如何利用六條連續直線段把他們連接起來？（使用鉛筆不能離開紙張，且經過路徑不能折回）

17. 挑戰題4 西洋棋盤是8x8的方形格，總計有64個方格，假設你把棋盤的對角兩個黑格切除，如本圖所示： 現在你拿到三十一塊骨牌，每塊的大小都等於淇盤中兩格相連的尺寸。把骨牌排在棋盤上，總共可以蓋滿六十二個方格，而且就剛好是上圖棋盤所保留的方格數量。 問題：你能不能想出辦法，用這三十一塊骨牌把棋盤上的方格全部蓋住？」

18. Ans：不可能！ 檢視兩角殘缺的棋盤，被切除的棋格都是黑格，這就表示你希望覆蓋的圖案，是由三十二塊白格和三十塊黑格所構成。 現在想像你正拿著一塊骨牌，蓋住棋盤上的任意兩個方格。你始終都是蓋住一個黑和一個白。所以絕對不可能用手中的骨牌，蓋掉最後那兩個方格。

19. 爸爸在哪裡 • 一個婦人比兒子大二十一歲。六年後，他的年齡將是兒子的五倍。孩子的爸爸現在在哪裡？ Ans：在媽媽旁邊

20. 設媽媽現在的年齡M歲；兒子S歲 媽媽比兒子多21歲：M＝S＋21 6年後年齡是5倍：（M＋6）＝（S＋6）×5 S＋27＝5S＋30 →4S＝－3 →S＝－3/4（年）＝－9個月 所以爸爸在媽媽旁邊

21. 免費買戒指，還到賺一百萬 一位女士在珠寶電話一百萬買了一只戒指，他才剛要離開商店，卻停住腳步回到櫃臺。 女士：我不喜歡這只戒指，我能不能換夠那只兩百萬的？ 珠寶商：當然可以了，請再給我一百萬！ 女士：對不起，不過我沒欠你錢！我剛剛才拿一百萬給你，除此之外又把價值一百萬的戒指拿給你，等於總共給你兩百萬。 於是她緊抓價值兩百萬的戒指衝出珠寶店，留下珠寶商在店中推敲，懷疑自己哪裡搞錯了。

22. 拿出100萬戒指+拿出200萬戒指 拿出100萬現金+還回100萬戒指 顯然，女士賺了100萬！ 珠寶商： 女士：

23. 買賣問題 • 一個人花8塊錢買了一隻雞，9塊錢賣掉了，然後他覺得不划算，花10塊錢又買回來了，11塊錢賣給另外一個人了。 請問他最後的收益是多少？ （你覺得他賺了多少錢？） Ans：賺2元

24. 買：8元+10元 賣：9元+11元 賺了2元

25. 誰少給了小費 餐廳裡有三位男士拿到帳單，總額為二十五鎊。他們付給服務生三張十鎊鈔票，服務生找回五鎊零錢，三位先生各拿走一鎊，留下兩鎊的小費。 這時三位先生分別支付九鎊，總共為二十七鎊，服務生得到兩鎊小費。27+2＝29鎊，不過他們總共給服務生三十鎊，所以少了一鎊，誰騙了誰？ Ans：我騙了你！！

26. 餐費25鎊+小費2鎊＝支付27鎊 支付的30鎊 ＝餐費25鎊+小費2鎊+3人各拿1鎊 只是27+2＝29接近30，轉移注意力罷了！

27. 預言嬰兒性別的神棍 某份廣告傳單內容如下： 判定寶寶的性別 妳是否希望知道肚子的寶寶是男是女，卻不喜歡用聲波打入妳的子宮？我們採用完全非侵入方法，只以人工觸診就可以斷定妳的寶寶性別，價格只收一萬元！萬一我們弄錯了，你不只能全額退費，還能多領五千元的賠償金，打電話給xxx，號碼是……..

28. 完全沒有根據的情況下， 猜對和猜錯的機率各半， 猜對此人可賺10000元， 猜錯此人會賠 （別忘了已經先收10000元） 所以，他不需要任何能力，就會賺錢！ 5000元

29. E-mail詐欺術 某天小明打開信箱發現一封感興趣的垃圾郵件， 郵件主旨：NBA驚人預測結果，內容如下 親愛的NBA球迷： 我們知道你一定心存質疑，不過我們設計出一套神準的公式，能預測比賽結果，今天下午湖人對公牛，我們預測公牛獲勝，我們建議你先不要下注，不過或許你會有興趣下午的比賽結果。 NBA神算中心 結果小明不以為意，下午看了比賽結果，結果真的是公牛獲勝。

30. E-mail詐欺術 兩天後小明打開信箱，又收到一封信，郵件主旨：NBA驚人預測結果，內容如下 親愛的NBA球迷： 記不記得我們上次的正確預測公牛獲勝？今天馬刺對上小牛，我們公式預測小牛會獲勝，我們強烈建議你先不要下注，不過請密切關注比賽結果，我們是否預測正確。NBA神算中心 結果小明稍加關注，看了比賽結果，結果真的是小牛獲勝。 幾天之後，又來了一封信，預測不被看好的山貓獲勝，果真又正確預測。 再過兩天後，又來一封信，說快艇會擊敗熱火，小明趕緊告訴他的朋友，一起密切關注比賽實況，最後果真快艇又逆轉獲勝，公式得到正確預測！

31. E-mail詐欺術 隔天又寄來一封電子郵件，郵件主旨：NBA驚人預測結果，內容如下 親愛的NBA球迷： 你已經目睹我們的神算公式，你信服了嗎？我們預測五次，中了五次，你一定同意，這已經違反常態機率，特別是獲勝隊伍不一定勝算較高的隊伍。我們提供特別優待，你有機會試用我們的比賽預測服務，訂閱一個月，只收一萬元。你把兩支隊伍名稱寄給我們，我就把預測結果寄給你，期望收到你的訂單。NBA神算中心 一萬元有點貴，但如果能正確預測，就能從彩券中賺回來！ 小明一副躍躍欲試的樣子，這是騙局嗎？

32. 其實，小明的同學小華也收到相同的電子郵件，只是在快艇對熱火時，預測熱火贏，至此後也就沒在收到這個郵件。其實，小明的同學小華也收到相同的電子郵件，只是在快艇對熱火時，預測熱火贏，至此後也就沒在收到這個郵件。 • 方法很簡單，這個發件著將所有的信箱，如：100000個信箱群組發送郵件，每一場預測都一半猜A贏，一半猜B贏，到了下一場，預測正確的50000名繼續發出類似的郵件，五場後，完全正確的仍有3125名，所以只要其中有些人相信，那就可一大撈一筆了！

33. 金字塔傳銷（老鼠會） 這是危害最大也最成功的騙術～ 這個系統極為簡單： 要花10000元才能加入，不過這個10000元是「投資」不是「支出」，接著他就可以找人成為他的下線，成為他的下線有個條件，就是要在他身上投資「10000元」，一旦他名下有八的下線，他就可以離開這個系統。 這個時候，他已經有8位贊助人，每人各給他10000元，所以他得到80000元，但是他一開始加入體係投資了10000元，所以他淨賺70000元。

34. 就數學而言，這個體系不可能讓所有人都賺錢！就數學而言，這個體系不可能讓所有人都賺錢！

35. 金字塔傳銷的受害國 • 一九九六年的阿爾巴尼亞(Albania)，就差點毀在這個體系裡，我們稱這套系統為「斯芬克斯投資體系」，簡述如下： 斯芬克斯推出的驚人方案，會慫恿你投資10000元。他們每年會根據投資的金額支付25％的利率，換句話說，只要你保持投資10000元，每年都可以提領2500元。這表示四年之內就可以讓金額加倍。 當時斯芬克斯的推出此方案時，在他的銀行裡沒有絲毫的存款，他只想利用你的錢來支付利息！只要利用夠優惠，就可以持續有新的投資人。

36. 金字塔傳銷的受害國 頭一年，有一千人因為可以賺2500元的利息，受吸引決定加入斯芬克斯系統，並存入了10000元。不過他還是必需支付利息共，2,500,000元。斯芬克斯自己給自己10％的佣金1,000,000元。因此銀行內還有6,500,000元。 隔年又有一千人加入

37. 金字塔傳銷的受害國 若是每年都增加1000人投資，就會出現下列的現象： 第七年便無法付出利息來了!

38. 金字塔傳銷的受害國 這套金字塔系統就如同其他老鼠會一樣，少數人已從中獲利，那就是最早加入，並散布消息推廣的人。事實上第一年加入的，到了第六年已經賺了15,000的利息。因此損失存款也賺了5,000元。不過，大多數的人都是損失的。 當然如果新增投資人成長，這套體系便不會崩盤，但投資人不可能無限制的成長。 發生斯芬克斯現象的阿爾巴尼亞，當時情形更糟。由於政府也上當，並推廣這套體系，所以到最後都是詐取窮人的錢財，最後該體系利率提高到高的荒唐，以增加新投資人，加速崩盤。

39. 火車謎題 有一個關於火車的古老例子。話說兩列火車在同一軌道上，各以時速50公里迎頭對開。 當兩列火車相距100公里時，一隻總是以時速60公里飛行的蒼蠅從火車A前頭出發筆直的飛向火車B。當他飛到火車B後隨即回轉，直線地朝火車A飛去。就這樣持續在兩列火車間飛來飛去，直到兩列火車對撞，蒼蠅也在過程中被壓死。 請問蒼蠅在這兩列車間共飛了多遠？ Ans:60公里

40. 火車時速50公里，距離100公里。 所以在一小時後，兩列火車會對撞。 蒼蠅在這一小時都在做什麼？ 以60公里的時速飛來飛去。 所以蒼蠅總共飛了一小時，時速60公里， 共飛60公里。

41. 淘汰賽 有六十四人參加溫布敦網球錦標賽。每一場賽事會有一個人淘汰另一個人，直到剩下參加決賽的兩人，決賽獲勝者可以贏得冠軍。請問整個賽事下來，需要多少場比賽？ Ans：63場

42. 每一場比賽就有一個人淘汰， 要選出冠軍需要淘汰 63人 所以需要63場比賽。

43. 巧克力塊 有這些看來和巧克力塊問題一點關係也沒有。假設你有一分隔成二十小塊的超大巧克力片，如圖所示： 說來真巧，你正好有十九個想和他們分享這片巧克力的朋友。因此，你決定沿著巧克力塊上面的水平和垂直凹線，將巧克力「掰開」成一個個小塊。每一次掰開都只能選定一塊方形巧克力，沿著一條凹線，將它一分為二。不能兩塊或多塊「相疊」一起折斷，避免造成不平整的缺口。 問題是，要將這一大片巧克力掰開成二十個單一小方塊，怎麼做最有效率？而用這種方法，總共需要掰幾次？ Ans：19次

44. 然而，經過證明，這樣的「策略」是多餘的。因為不管你用什麼方法，總是需要掰正好十九次，才能得到二十個單一小塊。然而，經過證明，這樣的「策略」是多餘的。因為不管你用什麼方法，總是需要掰正好十九次，才能得到二十個單一小塊。 為什麼呢？ 因為每掰一次就多出一塊巧克力。 剛開始，你有一塊（非常大的）巧克力，而最後你有二十塊。這意味著不管你用什麼方式，一定需要掰十九次來產生這些小塊。一要掰開的次數，永遠比你最終所要的小塊數字少1。

45. 螞蟻謎題 有一種特別習性的螞蟻。牠們總是走直線，以每分鐘1公尺的恆速前進。一旦碰到其他螞蟻，牠們會馬上調頭往回走。最後，牠們走到一個表面的邊緣，會掉下去。 有一百隻這種螞蟻，被灑在一公尺長的直尺邊緣。一些螞蟻往左，一些往右，但這是完全隨機的。這把尺窄到無法容兩隻螞蟻擦身而過，所以當兩隻螞蟻相遇時，牠們就會調頭。而當牠們走到尺的末端，會從末端掉下去。 問題：「所有」螞蟻都從尺的末端掉下去時，需多久時間？ Ans：一分鐘

46. 仔細想想兩隻螞蟻相撞時，會發生什麼情況。 就在相撞前的瞬間，其中一隻螞蟻正以每分鐘1公尺的速度往右行走，另一隻以同樣的速度往左前進。相撞後（兩隻螞蟻都調頭時），依然是兩隻螞蟻以同樣的速度，交換彼此的路線前進。(交換彼此的靈魂，代替對方前進) 換言之，只要讓你的視線朦朧一下，沒有任何改變。意即以數學意義來看。兩隻螞蟻相撞如同兩隻螞蟻錯身而過。 我們或許可以把問題視為一百隻螞蟻各有各的軌道，往左或往右行走，永遠不會撞到任何東西。 一隻螞蟻所能行走的最長距離是尺的全長，也就是1公尺，所以所有螞蟻都從尺上面掉下去所需等待的最長時間， 就是一分鐘。

47. 無限問題1 —旅館 你一輩子都不可能遇到的一家旅館。這家旅館有無限多房間。有一天旅館碰巧全客滿了。所有房間，包括房號1、2、3、4……，一直到你想得到的任何數字的房間，都有人入住。 就在這個時候，一個客人來敲門說要住房。經理想了一下。「沒問題!」他說道：「雖然所有房間都滿了，我還是會找出一間房間給你。」 經理怎麼做呢？

48. 他傳遞了一個訊息給所有房客，要求每個人搬往比他們現在所住的房號正好多一號的房間。他傳遞了一個訊息給所有房客，要求每個人搬往比他們現在所住的房號正好多一號的房間。 這是可能的，因為一間無限旅館中有任何你想得到的房間號碼，總會還有一個多一號的房間。 結果現在每間房間又滿了，除了房間1之外，這位新房客登記入住這個房間。

49. 無限問題2—公車 隔天，更不尋常的事發生了。一輛滿載無限乘客的公車來到旅館前面。 令人訝異地，經理的眼皮連眨都不眨一下。「我會為你們所有人整理出房間。」他說道。 經理又是怎麼做呢？

50. 他再次傳了一個訊息給他的房客們（這次可能引起一些不滿），要求每個人搬往他們現在所住的房號兩倍數的房間。他再次傳了一個訊息給他的房客們（這次可能引起一些不滿），要求每個人搬往他們現在所住的房號兩倍數的房間。 每個數字都有它的兩倍數，所以每個人都可以搬到另一個房間。