DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA)

2. DANE INFORMACYJNE (DO UZUPEŁNIENIA) Nazwa szkoły: Zespół Szkół Komunikacji w Poznaniu Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych w Drezdenku ID grupy: 97/61_mf_g2 i 97/62_mf_g1 Opiekun: M. Rękoś i W. Pietruszak Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Równania diofantyczne Semestr/rok szkolny: Semestr III/ 2010/2011

3. Równania diofantyczne

4. Co to jest równanie diofantyczne? Równanie diofantyczne to równanie, którego rozwiązania szuka się w liczbach całkowitych. Zwykle są to równania o dwóch lub więcej niewiadomych. Nazwa tych równań pochodzi od imienia greckiego matematyka Diofantosa, który żył w III w.

5. diofantos Diofantos (ur. około 200/214 n.e., zm. około 284/298 n.e.) –matematyk grecki żyjący w Aleksandrii. Z jego głównego dzieła Arytmetyka, składającego się z 13 ksiąg, zachowało się 6 w języku greckim i 4 przetłumaczone na arabski. Są one dowodem genialnych osiągnięć algebraicznych. Diofantos rozwiązuje w nich równania do trzeciego stopnia włącznie, w zakresie szerszym niż Babilończycy, wprowadzając również więcej niewiadomych, które oznacza specjalnymi literami. Posługuje się już symbolem odejmowania i na szeroką skalę stosuje skróty słowne dla poszczególnych określeń i działań. W ten sposób jest autorem pierwszego, co prawda jeszcze niedoskonałego, języka algebraicznego. U Diofantosa znajdujemy również pierwsze ślady liczb ujemnych. Diofantos miał uważać się za pierwszego matematyka, który zastosował znak równania „=” , oraz znak odejmowania „-”.

6. Diofantos Znany jest epigram o długości jego życia który brzmi: Pod tym nagrobkiem spoczywa Diofant- a dzięki przedziwnej sztuce zmarłego i wiek Jego zdradzi ci ten głaz: Chłopcem przez szóstą część życia pozostać Bóg mu pozwolił, Lica pokwitły mu zaś, kiedy dwunasta znów część życia minęła, A znowu żywota gdy przebył część siódmą, Młodą małżonkę w dom dobry wprowadził mu Bóg, Która, gdy pięć lat minęło, małego powiła mu synka, Ale okrutny chciał los, że kiedy syn ledwie wiek ojca w połowie osiągnął, ponury zabrał go Hades. Kojąc ogromny swój ból, szukał Diofant wśród liczb Jeszcze przez cztery lata pociechy, aż rozstał się z życiem.

7. DIOFANTOS W skrócie epigram brzmi tak: 1/6 życia zajęła mu młodość, potem po 1/12 życia wyrosła mu broda, następnie po 1/7 życia ożenił się, po pięciu latach urodził mu się syn, syn żył połowę krócej od ojca, ojciec zmarł cztery lata po synu. Teraz obliczymy wiek Diofantosa:

8. DIOFANTOS x- wiek Diofantosa 1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 = x 14x + 7x + 12x + 756 + 42x = 84x -9x = -756 x = 84 Czyli Diofantos żył 84 lata. Z tego równania można także wyczytać że:

9. DIOFANTOS • Wiek dziecięcy osiągnął w wieku 14 lat • Pokwitły mu lica w wieku 21 lat • Ożenił się w wieku 33 lat • Urodził mu się syn w wieku 38 lat • Jego syn żył 42 lata

10. PROBLEMY DIOFANTOSA Starożytni Grecy i Babilończycy rozwiązywali problemy tylko w liczbach naturalnych. Interesowały ich głównie pojedyncze rozwiązania. Pytania, które zadawał Diofantos brzmiały: Rozłożyć daną liczbę będącą sumą dwóch kwadratów na sumę dwóch innych kwadratów. Znaleźć trzy takie liczby, aby iloczyn dwóch z nich zwiększony o 12 był kwadratem. Rozłożyć jedność na dwa składniki tak, aby po dodaniu ich do dwóch zadanych liczb i wymnożeniu otrzymanych sum otrzymać kwadrat. Znaleźć prostokątny trójkąt tak, aby różnica między przeciwprostokątną a dowolną przyprostokątną byłą sześcianem.

11. RÓWNANIE LINIOWE ax+by=c Równaniem nieoznaczonym stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie, które po wykonaniu wszystkich przekształceń i uproszczeń ma postać: ax+by=c Współczynniki a, b i c są liczbami całkowitymi, przy czym a≠0 i b≠0.

12. Twierdzenie Równanie: ax+by=c ma rozwiązania całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a,b) dzieli c. Jeżeli równanie ax+by=c jest rozwiązalne w liczbach całkowitych to ma nieskończenie wiele rozwiązań.

13. POSTAĆ ROZWIĄZANIA RÓWNANIA LINIOWEGO Twierdzenie: Jeżeli jednym z rozwiązań równania jest para liczb: i to wszystkie rozwiązania dane są wzorem: gdzie t jest liczbą całkowitą.

14. Dowód: Załóżmy, że i jest rozwiązaniem równania, czyli Jeśli ijest rozwiązaniem tego równania to Porównując lewe strony Stąd , gdzie .

15. Dowód –cd. Zatem Co daje nam tezę.

16. RÓWNANIE LINIOWE Twierdzenie: Równanie ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli c.

17. RÓWNANIE PITAGORASAx2 + y2 = z2 Odkrycie równania przypisuje się greckiemu matematykowi filozofowi Pitagorasowi, choć uważa się że znano już je w starożytnych Chinach, Indiach i Babilonii. Rozwiązania tego równania będące liczbami naturalnymi nazywamy trójkami pitagorejskimi.

18. RÓWNANIE PITAGORASA Trzy liczby x0, y0, z0 są rozwiązaniem równania Pitagorasa wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby całkowitej „d” trzy liczby dx0, dy0, dz0 także są rozwiązaniem tego równania (dx0)2 +(dy0)2 = (dz0)2 x02 + y02 = z02 Rozwiązanie x0, y0, z0 równania Pitagorasa nazywamy właściwym jeśli NWD (x0,y0, z0 ) = 1 x2 + y2 = z2

19. RÓWNANIE PITAGORASA Każde rozwiązanie równania Pitagorasa jest postaci dx0, dy0, dz0 (d należy do zbioru liczb całkowitych), gdzie x0, y0, z0 jest właściwym rozwiązaniem tego równania. Czyli żeby znaleźć wszystkie rozwiązania należy znaleźć jego rozwiązania właściwe. Jeżeli x0, y0, z0 jest właściwym rozwiązaniem równania Pitagorasa to jedna z liczb x0 lub y0 jest parzysta

20. Równanie pitagorasa Każde właściwe rozwiązanie x0, y0, z0 dla którego y0 jest liczbą parzystą można zapisać w postaci: x0 = m2 – n2 , y0 = 2mn , z0 = m2 + n2 gdzie m i n są dowolnymi liczbami naturalnymi, takimi, że m>n, NWD (m,n) = 1 oraz jedna z nich jest parzysta.

21. Równanie pitagorasa Przykład na wzory: a0 = m2 – n2 , b0 = 2mn , c0 = m2 + n2

22. RÓWNANIE FERMATAxn + yn = zn P. Fermat około 1637 roku, studiując łaciński przekład dzieł Diofantosa, na marginesie rozdziału o trójkach pitagorejskich zanotował, że dla n>2 powyższe równanie nie ma rozwiązań w liczbach całkowitych różnych od zera. Fermat napisał też, że zna wspaniały dowód tego twierdzenia, który niestety nie zmieści się na marginesie książki Diofantosa. Wielu wybitnych matematyków próbowało udowodnić twierdzenie (hipotezę) Fermata nazywane często Wielkim Twierdzeniem Fermata.

23. Wielkie twierdzenie fermata „Znalazłem zaiste zadziwiający dowód tego twierdzenia. Niestety, margines jest zbyt mały by go pomieścić”

24. WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Hipotezę Fermata dla n=3 potwierdzili niezależnie L. Euler i K. Gauss, dla n=5 dowód znalazł P. Dirichlet w 1825 roku, dla n=7 dowód podali G. Lame i V. Lebesque w 1840 roku. Wielki krok naprzód w pracach zrobił E. Kummer, który w latach 1847-1850 udowodnił słuszność hipotezy Fermata dla tzw. liczb pierwszych regularnych (jedyne liczby pierwsze nieregularne mniejsze od 100 to 37, 59, 67). S. Wagstaff w 1976 roku za pomocą maszyn cyfrowych sprawdził słuszność hipotezy dla liczb pierwszych n<125000.

25. WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA Przełom nastąpił dopiero w 1983 roku, kiedy to g. Faltings udowodnił, że dla każdego n>2 równanie Fermata ma skończenie wiele rozwiązań. W 1993 roku na wykładzie w Instytucie Newtona uniwersytetu Cambridge A. Wiles ogłosił, że udowodnił Wielkie Twierdzenie Fermata. Jednak dopiero po dwóch latach, w 1995 roku, po usunięciu luk w dowodzie, ukazały się dwie prace Wilesa, zawierające pełny dowód.

26. RÓWNANIE PELLA Równanie nie ma rozwiązania, jeżeli D jest kwadratem liczby naturalnej. Równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy D nie jest kwadratem liczby naturalnej.

27. ZADANIA Zadanie 1. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie 29x+11y=5 NWD(29,11)=1 dzieli 5, więc równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań  Szukamy rozwiązania szczególnego równania, korzystając z algorytmu Euklidesa 29=2·11+7 11=1·7+4 7=1·4+3 4=1·3+1

28. Zadanie 1 – cd. Zatem 1=4-1·3=4-1·(7-1·4)=2·4-1·7=2(11-1·7)-1·7=2·11-3·7= =2·11-3(29-2·11)=8·11+(-3) ·29 Stąd 29·(-3)+11·8=1 Zatem 29·(-15)+11·40=5 Szczególnym rozwiązaniem równania jest x0=-15, y0=40. Czyli x=-15+11t y=40-29t, gdzie t jest liczbą całkowitą

29. ZADANIA Zadanie 2. Znaleźć całkowite rozwiązania równania 15x+18y+28z=5 Równanie ma rozwiązanie, bo NWD(15, 18, 28)=1 dzieli 5 Równanie możemy zapisać w postaci 3u+28z=5, gdzie u=5x+6y Szukamy rozwiązań szczególnych równania 3u+28z=5. Rozwiązaniem są u0=-45, z0=5

30. Zadanie 2 –cd. Zatem u=-45+28t, z=5-3t, gdzie t jest liczbą całkowitą. Stąd 5x+6y=-45+28t. Ponieważ NWD(5,6)=1, szukamy konkretnego rozwiązania równania 5x+6y=1. Jest nim x0=-1, y0=1. Więc 5·(45-28t)+6· (-45+28t)=-45+28t Zatem rozwiązaniem równania jest x=45-28t+6s y=-45+28t-5s z=5-3t, gdzie t, s – liczby całkowite

31. ZADANIA Zadanie 3. Do elektrowni nadeszło 500 ton węgla w 18 wagonach. Wagony zawierały ładunki po 15, 20 i 30 ton. Ile było wagonów każdego rodzaju? Wprowadzamy niewiadome: x- ilość wagonów 15 tonowych y- ilość wagonów 20 tonowych z- ilość wagonów 30 tonowych Mamy zatem równania: x+y+z=18 i 15x+20y+30z=500.

32. Zadanie 3 – cd. Po wymnożeniu pierwszego równania przez 6 i podzieleniu drugiego przez 5 i po odjęciu stronami otrzymujemy równanie 3x+2y=8. Szczególnym rozwiązaniem tego równania jest x0=8 i y0=-8. Zatem x=8+2t, y=-8-3t, gdzie t jest liczbą całkowitą. Stąd 8+2t-8-3t+z=18 Czyli z=18+t Ponieważ x, y i z są liczbami większymi od 0, ale mniejszymi od 18, t musi być równe -3. Stąd x=2, y=1, z=15.

33. BIBLIOGRAFIA: • Marzantowicz W., Zarzycki P., Elementy teorii liczb, Wydawnictwo Naukowe, Poznań 1999. • http://pl.wikipedia.org/wiki/R%C3%B3wnanie_diofantyczne • http://gwozdziu16.w.interia.pl/Wyklad%20II%20%20Rownania%20Diofantyczne.pdf • http://tages.fm.interia.pl/diofantos.html • http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node135.html • http://www.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node52.html • http://pl.wikipedia.org/wiki/Wielkie_twierdzenie_Fermata