§2.1
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§2.1 矩阵的运算 PowerPoint PPT Presentation


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§2.1 矩阵的运算. 1. 矩阵的加法运算 2. 矩阵的乘法运算 3. 矩阵的乘方运算 4. 矩阵的数量乘法 5. 矩阵的转置运算. 一 矩阵的加法. 矩阵加法 : 1. 具有相同行、列数的矩阵 ( 即同型矩阵 ) 方可相加; 2. 同型矩阵 A, B 的对应元素相加组成同型矩阵 A + B. 例 . 由产地 A 1 , A 2 调运大米和面粉到销地 B 1 , B 2 , B 3 的数量(吨)分别如 A , B 矩阵所示,则调运粮食总 量可以由矩阵如下 A + B 给出 . (见下页).

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§2.1 矩阵的运算

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Presentation Transcript


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§2.1 矩阵的运算

1. 矩阵的加法运算

2. 矩阵的乘法运算

3. 矩阵的乘方运算

4. 矩阵的数量乘法

5. 矩阵的转置运算


2 1

一 矩阵的加法

矩阵加法:

1. 具有相同行、列数的矩阵(即同型矩阵)方可相加;

2. 同型矩阵A, B的对应元素相加组成同型矩阵A+B.


2 1

例. 由产地A1,A2调运大米和面粉到销地B1,B2,B3

的数量(吨)分别如 A,B 矩阵所示,则调运粮食总

量可以由矩阵如下 A+B 给出.(见下页)


5 max r a r b r a b r a r b r a r a r a 1

性质5 max{r(A), r(B)}≤r(A, B)≤r(A)+r(B).特别: r(A)≤r(A,β)≤r(A)+1,β为非零列向量.

证明:矩阵A的最高阶非零子式总是(A, B)的非零子式 → r(A)≤r(A, B). 同理可以推出 r(B)≤r(A, B) →

max(r(A), r(B))≤r(A, B).

设r(A) = r, r(B) = t, 把A,B分别作列变换化成列阶

梯形矩阵A,B, 则A,B分别含r个和t个非零列,可设

A→A = (α1,···,αr,0, ···, 0);B→B = (β1, ···,βt, 0, ···, 0),

即矩阵(A, B)经过列变换化成为(A,B),而(A,B)中

只含有r+t个非零列 → r(A,B)≤ r+t → r(A, B) =

r(A,B)≤ r+t,即 r(A,B) ≤ r+t .


6 r a b r a r b

性质6 r(A + B)≤r(A) + r(B)

证明: 设A,B均为 s×n 矩阵,且

A = (α1, α2, ···, αn), B = (β1, β2, ···, βn).

对矩阵 (A+B, B) =

(α1 +β1, α2+ β2, ···, αn+ βn, β1, β2, ···, βn)

作列变换: (-1)×cn+i+ci上,则将矩阵(A+B, B) 化

成矩阵 (A, B), 于是据性质6,就有

r(A+B)≤r(A+B, B) = r(A, B)≤r(A)+r(B).

  • 矩阵加法满足结合律,交换律;减法作为加法的逆

    运算,不是一个独立的运算;矩阵加(减)法中有关秩的

    性质5,6是不同于我们以往所学代数运算性质研究的

    两个独特的性质,应特别予以重视.


2 1

  • 矩阵乘法: 两矩阵A = (aik),B = (bkj)相乘为AB = (cij)

  • A的列数 = B的行数,两矩阵A,B方可相乘;

  • AB的第 i 行、第j列元素cij等于A的第 i 行与B的第 j列

  • 对应元素乘积的和 .


Xoy x 1 oy 1 x 2 oy 2 m x y x 1 y 1 x 2 y 2

实例:将直角坐标系xoy旋转θ度到x1oy1,再旋转φ度到x2oy2 . 设M点在三个坐标系下的坐标依次为(x,y),(x1,y1),(x2,y2),利用平面解析几何的坐标旋转公式有

x ·M

y1

y2x2

x1

θφ x

Y


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作业:P22:1,2,5,6,7


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