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8.1 向量与向量的线性运算 PowerPoint PPT Presentation


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8.1 向量与向量的线性运算. 1 .平面向量的概念. ① 平面向量. 平面内既有大小又有方向的量叫做向量。 向量一般用 …… 来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:。向量的大小即向量的模(长度),记作 || 。即向量的大小,记作 || 。 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。. 长度为 0 的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行。 零向量=||= 0 。 由于的方向是任意的,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与 0 的区别). ② 零向量.

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8.1 向量与向量的线性运算

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Presentation Transcript


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8.1 向量与向量的线性运算


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1.平面向量的概念

①平面向量

平面内既有大小又有方向的量叫做向量。

向量一般用……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:。向量的大小即向量的模(长度),记作||。即向量的大小,记作||。

向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小。


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长度为0的向量,记为,其方向是任意的,与任意向量平行。

零向量=||=0。

由于的方向是任意的,且规定平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。(注意与0的区别)

②零向量

③单位向量模为1个单位长度的向量,向量为单位向量||=1。2


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④平行向量(共线向量)

方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上,方向相同或相反的向量,称为平行向量,记作∥。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,这里必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

  • ⑤相等向量

  • 长度相等且方向相同的向量。相等向量经过平移后总可以重合,记为。


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2.向量的运算

3. 两个向量共线定理

4. 平面向量的基本定理


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给出下列命题:

对向量及其相关概念的理解

① 若| |=| |,则 = ;

② 若A,B,C,D是不共线的四点,则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;

③ 若 = , = ,则 = ;

④ = 的充要条件是| |=| |且 // ;

⑤ 若 // , // ,则 // .

其中正确的序号是.


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解:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.

② 正确.∵ ,∴ 且 ,

又 A,B,C,D是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则 ,且 , 因此 .


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③ 正确.∵ = , ∴ , 的长度相等且方向相 ,

=

∴ , 的长度相等且方向相同,

∴ , 的长度相等且方向相同,故 = .

④ 不正确.当 // 且方向相反时,即使| =| |,也不能得到 = ,故| |=| |且 // 不是 = 的充要条件,而是必要不充分条件.

⑤ 不正确.考虑 = 这种特殊情况.综上所述,正确命题的序号是②③.


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点评与感悟:本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多,因而容易遗忘.为此,复习时一方面要构建良好的知识结构,正确理解向量的有关概念。另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.


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向量加、减法法则的运用

如图,G是△ABC的重心(三角形的三条中线的交点),求证: + + =0.

思路分析:要证 + + =0,只需证 + =- ,即只需证 + 与 互为相反的向量.

证明:以向量 为邻边作平行四边形GBEC,则 又由G为△ABC的重心知 从而 ,∴


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点评与感悟:向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义,能进一步加深对“向量”的认识,并能体会用向量处理问题的优越性。


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对共线向量、平面向量的基本定理的考查

设 、 不共线,点P在AB上,求证: =λ + μ ,且λ+μ=1,λ、μ∈R.试问:其逆命题成立吗?试证之。

思路分析:∵点P在AB上,可知 与 共线,得 =t .再用以O为起点的向量表示.

证明:∵P在AB上,∴ 与 共线.

∴ =t. ∴ - =t( - ).

∴ = +t -t =(1-t) +t .

设1-t=λ,t=μ,则 =λ +μ 且λ+μ=1,λ、μ∈R.


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点评与感悟:(1)本例的重点是考查平面向量的基本定理,及对共线向量的理解及应用.

(2) 当 时, ,

此时P为AB的中点,这是向量的中点公式。

这个命题的逆命题是:“设 不共线,若,

求证:A、B、P三点共线”.它是真命题。

所以 A、B、P三点共线。


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本 节 完


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