材  料  力  学
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材 料 力 学. 第九章 杆类构件的变形. 第九章 杆类构件的变形. 第一节 变形与应变的概念. 第二节 轴向拉伸与压缩时杆件的变形. 第三节 圆轴扭转时的变形 · 刚度条件. 第四节 梁的变形 · 刚度条件. 第五节 提高构件刚度的措施. §9-1 变形与应变的概念. 1. 变形. 当力作用在物体上时,将引起物体形状及体积的变化,这种变化被称之为变形。.

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材 料 力 学

第九章 杆类构件的变形


第九章 杆类构件的变形

第一节 变形与应变的概念

第二节 轴向拉伸与压缩时杆件的变形

第三节 圆轴扭转时的变形·刚度条件

第四节 梁的变形·刚度条件

第五节 提高构件刚度的措施


§9-1 变形与应变的概念

1.变形

当力作用在物体上时,将引起物体形状及体积的变化,这种变化被称之为变形。

实际构件的变形一般都是非常微小的,需使用相关仪器做精确测量才能观察到,其变形远小于构件的原始尺寸。由于变形极其微小,因此在计算构件的受力平衡时,可以按构件的原始尺寸进行计算,从而使问题的计算简化。


研究变形的目的有两个,一是为了分析构件的刚度问题,即为了保证构件正常工作,构件的变形应限制在允许的范围之内;二是为了求解静不定问题。对于静不定问题,未知量的个数多于独立的静力平衡方程的个数,因此除了静力平衡方程外,还需要寻求补充方程,而补充方程的建立与构件的变形有关。研究变形的目的有两个,一是为了分析构件的刚度问题,即为了保证构件正常工作,构件的变形应限制在允许的范围之内;二是为了求解静不定问题。对于静不定问题,未知量的个数多于独立的静力平衡方程的个数,因此除了静力平衡方程外,还需要寻求补充方程,而补充方程的建立与构件的变形有关。

本章主要讨论杆件在轴向拉伸和压缩、扭转以及弯曲变形时的变形计算。


二、应变研究变形的目的有两个,一是为了分析构件的刚度问题,即为了保证构件正常工作,构件的变形应限制在允许的范围之内;二是为了求解静不定问题。对于静不定问题,未知量的个数多于独立的静力平衡方程的个数,因此除了静力平衡方程外,还需要寻求补充方程,而补充方程的建立与构件的变形有关。

构件的形状是用它各部分的长度和角度来表示。因此构件的变形也可以归结为长度的改变和角度的改变,即线变形和角变形。构件整体的变形并不能准确地描述构件的变形程度,为了准确描述杆件的变形程度,引入另外一个概念:应变。


正应变研究变形的目的有两个,一是为了分析构件的刚度问题,即为了保证构件正常工作,构件的变形应限制在允许的范围之内;二是为了求解静不定问题。对于静不定问题,未知量的个数多于独立的静力平衡方程的个数,因此除了静力平衡方程外,还需要寻求补充方程,而补充方程的建立与构件的变形有关。

设一正方形物体(图9.1)边AB的原长为Δx,受力变形后长度为Δx+Δu,长度改变量为Δu,则Δu与Δx的比值称为边AB的平均正应变或平均线应变,记为εm,即

图 9.1


一般来说,边研究变形的目的有两个,一是为了分析构件的刚度问题,即为了保证构件正常工作,构件的变形应限制在允许的范围之内;二是为了求解静不定问题。对于静不定问题,未知量的个数多于独立的静力平衡方程的个数,因此除了静力平衡方程外,还需要寻求补充方程,而补充方程的建立与构件的变形有关。AB上各点处的变形量不一定相等,平均正应变的大小会因边长的改变而改变。为了更准确地表示点沿边长方向的变形情况,应选取微元体,由此得出平均正应变的极限值,即

(9.2)

称之为点沿边方向的正应变。此外还可以确定点在其它方向上的正应变。


切应变研究变形的目的有两个,一是为了分析构件的刚度问题,即为了保证构件正常工作,构件的变形应限制在允许的范围之内;二是为了求解静不定问题。对于静不定问题,未知量的个数多于独立的静力平衡方程的个数,因此除了静力平衡方程外,还需要寻求补充方程,而补充方程的建立与构件的变形有关。

构件产生变形时,不仅线段的长度会发生改变,正交线段的夹角也会发生改变,如图9.2所示,变形前BA与BC的夹角为直角,变形后和的夹角变为,当A与C趋近于B时,上述角度变化的极限值

(9.3)

定义为B点的切应变或角应变。

图 9.2

线应变和切应变均为度量一点变形程度的量,且均为无量纲量。


§9-2 研究变形的目的有两个,一是为了分析构件的刚度问题,即为了保证构件正常工作,构件的变形应限制在允许的范围之内;二是为了求解静不定问题。对于静不定问题,未知量的个数多于独立的静力平衡方程的个数,因此除了静力平衡方程外,还需要寻求补充方程,而补充方程的建立与构件的变形有关。轴向拉伸与压缩时杆件的变形

当杆件承受轴向载荷时,其轴向与横向尺寸均发生变化(图9.3)。杆件沿轴线方向的

图9.3

变形称为轴向变形;与之垂直方向的变形称为横向变形。


如图研究变形的目的有两个,一是为了分析构件的刚度问题,即为了保证构件正常工作,构件的变形应限制在允许的范围之内;二是为了求解静不定问题。对于静不定问题,未知量的个数多于独立的静力平衡方程的个数,因此除了静力平衡方程外,还需要寻求补充方程,而补充方程的建立与构件的变形有关。9.3所示,设杆件原长为l,在轴向载荷F的作用下,变形后长度为l',则杆件的轴向变形为

(a)

轴向变形反映的是总的变形量,并不能说明杆件沿长度方向每一点的变形程度,对于轴向拉压杆件来说,伸长是均匀的,其变形程度可以用单位长度的轴向变形来表示,于是沿杆件轴向的线应变为

(b)


拉压杆的变形量与其所受外力的大小以及材料的性能有关,可以通过试验测得,当杆件应力不超过比例极限时,杆件的伸长量与F及l成正比,与杆件横截面积A成反比,即

(c)

引进比例常数E则有

(9.4a)

上式也可以用轴力来表示

(9.4b)

这一关系式称为胡克定律。从式(9.4b)可见,当杆件受力F和长度l都不变时,杆件的伸长量与EA成反比,EA称为杆件的拉伸(压缩)刚度。


拉压杆的变形量与其所受外力的大小以及材料的性能有关,可以通过试验测得,当杆件应力不超过比例极限时,杆件的伸长量与9.4b)

胡克定律也可写为应力与应变成正比的形式,为此将式(9.4b)改写为

(d)

(9.5a)

(9.5b)

式(9.5)是胡克定律的另一种形式。


B b 9 6
拉压杆件在轴向变形的同时,横向也会发生变化,设杆件变形前的横向尺寸为拉压杆件在轴向变形的同时,横向也会发生变化,设杆件变形前的横向尺寸为b',变形后的横向尺寸为b',则横向应变为(9.6)

试验结果表明,当拉压杆件的应力不超过材料比例极限时,与的比值的绝对值为一常数,

(9.7)

称为横向变形因数或泊松比,是无量纲量,其数值随材料而不同,可以通过试验来测定。对于大多数各向同性材料来说,


弹性模量与泊松比均为材料的弹性常数。几种常用材料的弹性模量与泊松比的数值如表9.1所示。

表9.1 材料的弹性模量与泊松比


理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:

(9.9)

因此,当已知任意两个材料常数时,由上述关系可以确定另外一个材料常数。


式( 理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:9.4)适用于杆件轴力FN和截面面积A都不变化的情况,若杆件的轴力FN沿轴线变化,或截面面积沿杆件轴线变化(其截面沿长度l缓慢变化)如图9.4a所示,不能直接应用式(9.4),这时可以考虑取一长为dx微段(图9.4b),对长为dx的微段可认为满足式(9.4)的应用条件,由式(9.4)可得微段的伸长为

(e)


则整个杆件的伸长为 理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:

(9.10)


理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:9.1如图9.5a所示,一变截面组合钢杆由和两段构成,横截面面积分别为和。材料弹性模量。试求:端的垂直位移以及截面相对于截面的位移。


解: 理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:(1)内力:由于外载荷的作用,通过截面法做出钢杆的轴力图,如图9.5b所示。

(2)位移:由于, 端相对于固定支撑端的垂直位移为

结果为正,说明杆件被拉长,点位移向上。

计算 相对与 点的位移:


…… 理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:

结果为正值,说明段被拉长。


理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:9.2 构件由重力密度为γ、弹性模量为E的材料组成,做成如图所示的圆柱。求垂直悬挂时,在重力作用下其下端的位移。


解:( 理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:1)内力:如图9.6b所示,由于任意横截面的轴向内力取决于截面的高度以及截面以下的重量,因此其值沿长度变化,所以需利用式(9.10)计算位移。高为的圆柱体积为

a

b

9.6


重量,根据竖直方向力的平衡可得 理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:

(2)位移:如图9.6b所示,利用式(9.10)得两端相对位移为

a

b

9.6


理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:9.3 如图9.7a所示桁架,钢杆AC横截面面积A1=960 mm2,弹性模量E1=200 GPa。木杆BC横截面,lBC=1000 mm,F=40 kN,弹性模量E2=10 GPa。求节点C的位移。

(a)


解:( 理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:1)求AC、CB两杆的轴力。取铰C为研究对象,受力如图9.7b所示,根据平衡方程可得

(b)

解得      


理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:a)

(2)求AC、BC两杆的变形。根据公式(9.4)得

(伸长)

(缩短)


理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:a)

(3)求C点位移。两杆变形前铰节于C点,变形后仍应铰节,根据这个关系可以建立起变形协调方程(相容方程),从而求得C点的位移。首先假想将铰拆开,则AC杆的C点伸长至C1,成为AC1,BC杆C点缩短至C2成为BC2。分别以A点和B点为圆心,以AC1和BC2为半径作弧,其交点即为变形后C点的位置。因为变形很小,故可近似用C1和C2处圆弧的切线来代替圆弧,得到交点C3,作为变形后C点的位置(图9.7a)。


将变形情况放大成图 理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:9.7c,从图中可以看出:

C点水平位移

竖向位移

C点位移为

该题若采用精确求解,则C点水平位移为

(c)

竖向位移为 ,与用切线代替圆弧的近似计算结果非常相近。


§9-3 理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:圆轴扭转时的变形·刚度条件

扭转变形是杆件的基本变形之一。它的载荷特征是杆件受力偶作用,力偶作用于与轴线垂直的平面内,使杆产生扭转变形。本节主要讨论圆轴的扭转变形,并在此基础上研究轴的刚度问题。


一、 理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:圆轴扭转的变形

圆轴扭转变形的特征是两个横截面绕轴线发生相对转动,设等截面圆杆受一对扭转力偶矩作用,在讨论圆轴的应力计算时,曾得到

(a)

或写作

(b)

表示相距为dx的两个横截面之间的相对转角,因此沿x积分即可得到相距为l的两个横截面的相对扭转角为

(c)


对于扭矩 理论与试验均表明,对于各向同性材料,弹性模量、泊松比与剪切弹性模量之间存在如下关系:T、切变模量G及极惯性矩Ip都不随轴线变化的情况,两截面的相对扭转角为

(9.11)

若轴上作用几个不同的扭矩,或者横截面面积或剪切模量在不同的区段发生突变,而在每一个区段内上述参数为常值,也可利用式(9.11)分段求解,然后进行叠加,即

(9.12)


上式表明,扭转角 与扭矩 、轴的长度 成正比,与 成反比,其 中 为圆轴截面的扭转刚度。

对于空心的圆管来说,上式依然可用。只是把轴的极惯性矩换成圆管

的极惯性矩,即将 替换为 ,其中为 圆管内径与外径的比值。

二、 圆杆扭转刚度条件

在进行轴的设计时,除了考虑强度问题外,对于许多轴,还应该对其变形有一定限制,即应满足刚度要求。例如机器的传动轴的扭转角过大,将会使机器在运转时产生较大的振动,精密机床的轴若变形过大,将影响机床的加工精度。在工程实际中,通常是限制扭转角沿轴线的变化率(或称为单位长度的扭转角),用 来表示,使其最大值不超过某一规定的许用值由式(a)可知,扭转角的变化率为

(9.13)


所以,圆轴扭转的刚度条件为 成正比

(9.14)

对于等截面圆轴,要求

(9.15)

在上式中, 代表圆轴单位长度许用扭转角。应该指出,扭转角变化率 的单位为 ,而单位长度许用扭转角的单位一般为 ,


因此,圆轴的扭转刚度条件又可写成 成正比

(9.16)

对于一般传动轴, 为 ~ ;对于精密机器与仪表的轴, 之值可根据有关设计标准或规范确定。


成正比9.4 图9.8为一圆截面轴 ,受扭转力偶矩 , 与 作用。已 知 , , , , , , 。试计算该轴的总扭转角 (即截面C对截面A的相对转角),并校核轴的刚度。

图 9.8


解:( 成正比1)扭转变形分析:

利用截面法,得与段的扭矩分别为

设上述二段轴的扭转角分别为 和 ,则

由式(9.10)可得

由叠加原理可知杆的总转角为


各段轴的扭转角的转向,由相应扭矩的转向而定。在图各段轴的扭转角的转向,由相应扭矩的转向而定。在图9.8中,同时画出了扭转时母线AC的位移情况,它由直线 变为折线 ,由此可更清晰地显示轴的扭转变形。

(2)刚度校核:

轴AC为等截面轴,而AB段的扭矩最大,所以,应校核该段轴的扭转刚度。AB段的扭转角变化率为

可见,该轴的刚度符合要求。


各段轴的扭转角的转向,由相应扭矩的转向而定。在图9.5 图9.9所示圆锥形轴,两端受扭转力偶矩 作用。 设轴长为 ,左、右端的直径分别为 与 ,材料的切变模量为 。试计算轴的总扭转角 。

解:设距离左端距离为 处截面的直径为 ,则

该截面的极惯性矩为


截面的扭矩为各段轴的扭转角的转向,由相应扭矩的转向而定。在图

截面的扭矩为

将 和 带入转角公式,得轴的总转角为


各段轴的扭转角的转向,由相应扭矩的转向而定。在图9.6由45号钢制成的某空心圆截面轴,内、外直径之比= 0.5 。已知材料的许用切应力[ ] = 40 MPa,切变模量G= 80 GPa。轴的横截面上扭矩的最大值为Tmax = 9.56 kN·m,轴的许可单位长度扭转角[ ]=0.3 。试选择轴的直径。

解:(1)按强度条件求所需外直径D


(2)各段轴的扭转角的转向,由相应扭矩的转向而定。在图按刚度条件求所需外直径D


(3)各段轴的扭转角的转向,由相应扭矩的转向而定。在图空心圆截面轴所需外直径为D≥125.5 mm(由刚度条件控制),内直径则根据a = d/D = 0.5知


第四节 各段轴的扭转角的转向,由相应扭矩的转向而定。在图梁的变形·刚度条件

本节主要研究梁的变形,其目的是为了进行梁的刚度计算以及超静定梁的分析,同时也为以后压杆稳定等提供有关基础。


一、 挠度与转角各段轴的扭转角的转向,由相应扭矩的转向而定。在图

以变形前的轴线为x轴,梁横截面的铅垂对称轴为y轴,外力F作用在铅垂对称面内。由于外力的作用,梁的轴线将由直线变为曲线(图9.10)。变形后梁的轴线称为挠曲线,它是一条连续光滑的曲线。对于平面弯曲问题,挠曲线为一平面曲线,且与外力在同一平面内。

图9.10


梁的变形可用横截面形心的线位移与截面角位移表示。横截面的形心(即轴线上的点)在垂直于梁轴线方向的位移 称为挠度。不同截面的挠度一般不同,如果沿变形前的梁轴线建立坐标轴 ,则挠曲线方程为

(9.17)


当梁弯曲时,由于梁的轴线长度保持不变,因此,截面形心沿梁轴线方向也存在位移。但在小变形的条件下,挠曲线是一条很平坦的曲线,横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量,可忽略不计,式(9.17)即代表挠曲线的解析表达式,称为挠曲线方程。

弯曲变形中梁的横截面相对其原来位置转过的角度θ称为转角,因为挠曲线是一条平坦的曲线,在实际工程中,转角θ一般都很小,基本不超过1º (或0.0175rad)。由挠曲线方程得

(9.18)

即横截面的转角等于挠曲线在该截面处的斜率。由此可见,只要求得挠曲线方程,就能确定梁任一横截面的挠度和转角。挠度以向上为正,转角以截面逆时针转动为正。


二、 挠曲线的近似微分方程 当梁弯曲时,由于梁的轴线长度保持不变,因此,截面形心沿梁轴线方向也存在位移。但在小变形的条件下,挠曲线是一条很平坦的曲线,横截面形心沿

前面在导出纯弯曲正应力公式时,曾得到用中性层曲率表示的弯曲变形公式为

(a)

横力弯曲中,如果忽略剪力的影响,则梁轴线的曲率为

(b)

其中 与 均为坐标x的函数,即挠曲线上任一点处的曲率 与该点处横截面上的弯矩 成正比,而与该截面的弯曲刚度 成反比。

由微积分的基本知识,挠曲线与曲率满足以下关系


当梁弯曲时,由于梁的轴线长度保持不变,因此,截面形心沿梁轴线方向也存在位移。但在小变形的条件下,挠曲线是一条很平坦的曲线,横截面形心沿c)

将(b)式代入(c)式,可得

(9.19)

这就是挠曲线微分方程,是一个二阶非线性微分方程,适用于任意的弯曲变形。


由于梁的挠曲线为一平坦曲线,因此 与1相比十分微小,可忽略不计,故上式可近似的写为

图 9.11


建立如图 与9.11所示坐标系,坐标轴以向上为正。由图可知:当梁段承受正弯矩时,挠曲线为向下凸曲线(图9.11a),有极小值, 为正;

反之,当梁段承受负弯矩时,挠曲线为向上凸曲线(图9.11b),有极大值, 为负。即 与 的 符号相同,故

(9.20)

式(9.20)即为梁的挠曲线近似微分方程,这是求梁变形的基本公式。


三、 用积分法求梁的位移

对挠曲线近似微分方程求解,即可求得梁的转角方程和挠曲线方程。对式(9.20)进行两次积分可得

(9.21a)

(9.21b)

式中C和D为积分常数,可通过梁的边界条件来确定。例如,固定端的挠度和转角均为零(图9.12a),铰支座处的挠度为零(图9.12b)。

(a)

(b)

图9.12


若梁上的载荷不连续,则梁的弯矩方程需分段写出,各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同,而在对各段梁的近似微分方程进行积分时,都将出现两个积分常数。除了利用支座处的约束条件外,还应利用相邻两段梁在交界处位移的连续性条件。如图若梁上的载荷不连续,则梁的弯矩方程需分段写出,各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同,而在对各段梁的近似微分方程进行积分时,都将出现两个积分常数。除了利用支座处的约束条件外,还应利用相邻两段梁在交界处位移的连续性条件。如图9.12b所示,左右两段梁在交界处的C截面应具有相同的挠度和转角。

积分常数确定后,将其代入式(9.21a)和(9.21b),即得梁的挠曲线方程与转角方程,并由此可求出任一截面的挠度和转角。


若梁上的载荷不连续,则梁的弯矩方程需分段写出,各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同,而在对各段梁的近似微分方程进行积分时,都将出现两个积分常数。除了利用支座处的约束条件外,还应利用相邻两段梁在交界处位移的连续性条件。如图9.7 如图9.13a所示图形为一外伸梁,承受集中载荷作用,试绘制挠曲线的大致形状图。设弯曲刚度 为常数。


解:绘制挠曲线的基本依据为若梁上的载荷不连续,则梁的弯矩方程需分段写出,各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同,而在对各段梁的近似微分方程进行积分时,都将出现两个积分常数。除了利用支座处的约束条件外,还应利用相邻两段梁在交界处位移的连续性条件。如图

根据弯矩的正负值点和零值点,确定挠曲线的凹、凸、拐点或直线区。

绘制挠曲线的另一基本依据是:在梁被约束的地方,应满足位移边界条件;在分段处应满足位移连续条件。

图9.13b为梁的弯矩图。AD段的弯矩为正,DC弯矩为负,横截面D的弯矩为零,其横坐标为 。由此可见,梁受力后,AD段的挠曲线为凹曲线,DC段的挠曲线为凸曲线,而在截面D处,挠曲线存在拐点。

在铰支座A和B处,梁的挠度均为零。此外,在梁段的交界面与截面D处,挠曲线还应满足连续、光滑条件。

综上,挠曲线的大致形状如图9.13c中的虚线所示。


若梁上的载荷不连续,则梁的弯矩方程需分段写出,各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同,而在对各段梁的近似微分方程进行积分时,都将出现两个积分常数。除了利用支座处的约束条件外,还应利用相邻两段梁在交界处位移的连续性条件。如图9.8 如图9.14悬臂梁受均布载荷,E、 为常数,求自由端的挠度 和转角 。

解:梁的弯矩方程

则梁的挠曲线微分方程为

对上式进行一次积分得

再进行第二次积分得


考虑边界条件,对于悬臂梁来说,固定端的挠度和转角都为零,即

将上述两个边界条件代入挠度和转角的表达式,可得出积分常数为


将积分常数代入挠度和转角的表达式可得转角方程

挠曲线方程为

最后,把分别代入转角和挠曲线方程,就可得到梁自由端的转角和挠度:


根据挠度和转角的符号规定,上述结果表明转角为顺时针,挠度方向为向下。根据挠度和转角的符号规定,上述结果表明转角为顺时针,挠度方向为向下。


根据挠度和转角的符号规定,上述结果表明转角为顺时针,挠度方向为向下。9.9如图9.15所示一简支梁,其上受均布载荷,q为常数。试求此梁的最大挠度以及截面的转角。

图9.15


解:考察距离端为处的弯矩,列弯矩方程根据挠度和转角的符号规定,上述结果表明转角为顺时针,挠度方向为向下。

挠曲线的近似微分方程

对上式进行一次积分得

再进行第二次积分得


此梁的边界条件为根据挠度和转角的符号规定,上述结果表明转角为顺时针,挠度方向为向下。

将边界条件带入相应的表达式可得两个积分常数

将积分常数代入转角和挠度的表达式可得梁的转角方程和挠度方程



负号表示的方向向下,与坐标轴的正方向相反。将代入转角方程中可得负号表示的方向向下,与坐标轴的正方向相反。将代入转角方程中可得

负号表示为顺时针转动。


负号表示的方向向下,与坐标轴的正方向相反。将代入转角方程中可得9.10如图9.16所示悬臂梁,在自由端受一集中力 的作用, 、 为常数。试求梁的自由端的挠度 和转角 。

图9.16


解:考察距离端为 处的弯矩,列弯矩方程负号表示的方向向下,与坐标轴的正方向相反。将代入转角方程中可得

挠曲线的近似微分方程

对上式进行一次积分得

再进行第二次积分得


梁的边界条件为负号表示的方向向下,与坐标轴的正方向相反。将代入转角方程中可得

将上述两个边界条件代入挠度和转角的表达式,可得出积分常数为

将积分常数代入转角和挠度的表达式可得梁的转角方程和挠度方程


根据梁的受力及边界条件,画出梁的挠曲线示意图(图根据梁的受力及边界条件,画出梁的挠曲线示意图(图9.16)。将 代入挠度和转角方程中得

(顺时针)

(向下)


根据梁的受力及边界条件,画出梁的挠曲线示意图(图9.11如图9.17所示一简支梁,受一集中载荷F作用, 、 为常数。试求此梁的最大挠度 以及最大转角 。

图9.17


解:考察距离 端 处的弯矩,因集中载荷把梁分为两段,各段弯矩方程不同,故需分别写出它们的弯矩方程,即

可得挠曲线的近似微分方程


分别积分两次可得 处的弯矩,因集中载荷把梁分为两段,各段弯矩方程不同,故需分别写出它们的弯矩方程,即

简支梁的边界条件


因有四个积分常数,只有两个边界条件是不可能解决的,要加上两个连续性条件因有四个积分常数,只有两个边界条件是不可能解决的,要加上两个连续性条件

由此可确定积分常数

将积分常数代入转角和挠度的表达式(a)、(b)、(c)和(d),可得转角和挠度的方程


因有四个积分常数,只有两个边界条件是不可能解决的,要加上两个连续性条件e)

(f)

(g)

(h)

将 和 分别代入对应的转角方程,即可得左右支座处最大转角

(顺时针)

(逆时针)


确定梁的最大挠度,需确定梁上转角 的点。在本例中,设 ,当 时, ,当 时, ,即 的位置(即最大挠度位置),定在 段之内。

令 ,可得 ,将此值代入相应的挠曲线方程,得最大挠度为

(向下)

当 时


由此可见,在极端的情况下,用中点的挠度代替最大挠度,误差不超过由此可见,在极端的情况下,用中点的挠度代替最大挠度,误差不超过3%,也就是说集中载荷的作用位置对最大挠度的位置影响不大,故在一般情况下,为了计算简便,可以不考虑集中载荷的位置,均认为最大挠度发生在梁跨中点。


四、 用叠加法求梁的位移由此可见,在极端的情况下,用中点的挠度代替最大挠度,误差不超过

由于材料力学研究的是小变形,并且材料服从胡克定律,因此挠曲线的微分方程是线性的,且弯矩与载荷也是线性的。在这种情况下,如果作用有几个不同的载荷,弯矩可以叠加,挠曲线微分方程也可以叠加,例如,F,q和Me三个载荷单独作用时的弯矩分别为MF、Mq和MMe,叠加MF、Mq和MMe就是三种载荷共同作用时的弯矩M。即

(a)

设F、q和Me单独作用下的挠度分别为wF、wq和wMe,根据挠曲线微分方程,

(b)


由此可见,在极端的情况下,用中点的挠度代替最大挠度,误差不超过F、q和Me共同作用下的挠度为w,则w与M的关系也应该满足

(c)

将式(a)带入式(c),并利用式(b),得

可见F、q和Me共同作用下的挠度w,就是三个载荷单独作用下的挠度wF、wq和wMe的代数和。显然这一结论可以推广到多于三个载荷的情况。因此,当梁上作用有多个载荷时,可以分别求出每一载荷单独作用下引起的位移,把所得位移叠加就得到这几个载荷共同作用下的位移。把这种求解位移的方法称为叠加法。


因此,若已知梁在每个载荷单独作用下的挠度和转角(参看表9.2),则按叠加原理来计算梁的挠度和转角将较为方便

表9.2 简单梁的挠度和转角


因此,若已知梁在每个载荷单独作用下的挠度和转角(参看表9.16如图9.18所示简支梁,同时承受均布载荷与集中载荷作用,试用叠加法计算梁中点的挠度。设为常数。

图9.18

解:当均布载荷单独作用时,简支梁跨中点截面的挠度为

(向下)


当集中载荷单独作用时,该截面的挠度为 因此,若已知梁在每个载荷单独作用下的挠度和转角(参看表

(向下)

依据叠加法,均布载荷和集中载荷共同作用时,截面的挠度为

(向下)

逐段分析求和是叠加法的一个推广,下面通过例子,介绍此种方法。


因此,若已知梁在每个载荷单独作用下的挠度和转角(参看表9.17如图9.19a所示,E、IZ为常数,求在载荷F 作用下C 截面的挠度。

图9.19

解:为了计算图9.19a所示梁横截面 的挠度 ,可将该梁看做是由简支梁 与固定在 横截面的悬臂梁 组成,当简支梁 与悬臂梁 变形时,均在截面 引起挠度,而这两个挠度的代数和即为该截面的总挠 。


为了分析简支梁 因此,若已知梁在每个载荷单独作用下的挠度和转角(参看表AB的变形,将集中力F平移到截面B,得到作用在该截面的集中力F与力矩为Fa的附加力偶(图9.19b),于是得到截面B的转角为

(顺时针)

并由此得到截面的相应挠度为

(向下)

在集中力F的作用下(图9.19c),悬臂梁的端点挠度为

(向下)


由此可得,截面的总挠度为 因此,若已知梁在每个载荷单独作用下的挠度和转角(参看表

(向下)

上例分析方法的要点是:首先分别计算各梁段的变形在所求点处引起的位移,然后计算其代数和,即可得出所求的位移。在分析梁各段的变形在所求位移处引起的位移时,除所研究的梁发生变形外,其余各梁段均视为刚体。


叠加法与逐段分析求和法有其共同点,即均为综合应用已有的计算结果。叠加法与逐段分析求和法有其共同点,即均为综合应用已有的计算结果。

不同的是前者是分解载荷,后者是分解梁;前者的理论基础是力作用的独立性原理,而后者的根据则是梁段局部变形与梁总体位移间的几何关系。

在实际求解过程中常将两种方法联合应用,所以,习惯上将二者均统称为叠加法。


叠加法与逐段分析求和法有其共同点,即均为综合应用已有的计算结果。9.18如图9.20a所示的变截面梁,梁各段的弹性模量 相同。试求自由端的挠度 和转角 。

图9.20


解:将悬臂梁沿截面假想截断,根据力的平移法则,处 作用由集中力和力偶矩,此时悬臂梁在处的转角和挠度(图9.20b)为

(顺时针)

(向下)

由于截面的转角和挠度带动做刚体转动,于是可得

(向下)


将视为悬臂梁(图 解:将悬臂梁沿截面假想截断,根据力的平移法则,处 作用由集中力和力偶矩,此时悬臂梁在处的转角和挠度(图9.20c),则段自身的弯曲变形产生挠度和转角为

(向下)

(顺时针)

因此此阶梯形悬臂梁自由端的总挠度为

(向下)

总转角为

(顺时针)


解:将悬臂梁沿截面假想截断,根据力的平移法则,处 作用由集中力和力偶矩,此时悬臂梁在处的转角和挠度(图9.19 利用叠加原理求图9.21a所示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠度wC和两端截面的转角θA和θB。

图9.21


解:将悬臂梁沿截面假想截断,根据力的平移法则,处 作用由集中力和力偶矩,此时悬臂梁在处的转角和挠度(图:图9.21a可看成是正对称载荷(图9.21b)与反对称载荷 (图9.21c)两种情况的叠加。

(1) 如图9.21b所示,在正对称载荷的作用下,中点的挠度和端 部的转角分别为:


(2) 解:将悬臂梁沿截面假想截断,根据力的平移法则,处 作用由集中力和力偶矩,此时悬臂梁在处的转角和挠度(图如图9.21c所示,在反对称载荷的作用下,在跨中C截面处,挠度 wC等于零,但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零,可将AC段和BC段分别视为受均布载荷作用且长度为l /2 的简支梁。因此中点的挠度和端部的转角分别为:

将相应的位移进行叠加得

(向下)

(顺时针)


(逆时针) 解:将悬臂梁沿截面假想截断,根据力的平移法则,处 作用由集中力和力偶矩,此时悬臂梁在处的转角和挠度(图

五、 梁的刚度校核

按强度条件选择了梁的截面后,若梁的位移超过了规定的限度,其正常工作条件就不能保证,因此需要对梁进行刚度校核。在机械制造中,一般挠度和转角都要满足一定的要求。例如机床主轴的挠度过大,将影响其加工精度;传动轴在支座处转角过大,将使轴承发生严重的磨损。在土建结构中,通常对梁的挠度加以限制,例如桥梁的挠度过大,则机车在通过时将发生很大的振动。


工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在

~ 范围内;对传动轴在支座处的许可转角 一般限制在0.005rad~0.001rad范围内。在土建工程中 值常限制在 ~ 范围内。

综上所述,梁的刚度条件表达为

(9.22)


工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在 9.20 机床主轴的支承和受力可以简化为如图9.22a所示之外伸梁。其中F1为切削力,F2为齿轮间的相互作用力(主动力)。主轴为空心圆截面,外径D=80 mm,内径d=40 mm,l=400 mm,a=100 mm,F1=2 kN,F2=1 kN。材料的弹性模量E=200 GPa。规定主轴的许用挠度和许用转角为:卡盘C处的挠度不超过两轴承间距的1/104,轴承B处的转角不超过0.001 rad。试校核主轴的刚度。

(a)

(b)

(c)


解: 工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在 (1)求空心主轴横截面的惯性矩

(2)用叠加法求梁C截面处的挠度wc和支座B处的转角由图9.22b可得


由图 工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在 9.22c可得

叠加后得


据此,有 工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在

所以主轴满足刚度要求。


§9-5 工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在 提高构件刚度的措施

从构件的计算公式可见,构件的位移除了与支承和载荷有关外,还与材料(E或G)、截面(A、Iz或Ip)和长度(l)有关。因此减小位移可以从相应方面考虑。

杆件因为拉压而产生的变形,相对于扭转和弯曲是非常小的,因此研究杆件的拉伸(压缩)刚度不是主要问题,本节主要讨论提高抗扭刚度和抗弯刚度的措施。


一、 扭转构件 工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在

1.合理布置载荷

如图9.23所示,轴上装有三个传动轮,如将主动轮布置在轴的一端(图9.23a),当单纯考虑轴所受扭矩时,输入力偶矩为T1+T2,此时轴所受最大扭矩为T1+T2(图9.23c)。若将主动轮布置在两输出轮之间(图9.23b),则轴上的最大扭矩变为T1(图9.23d),显然图b的布置方案比图a的合理。


(a) 工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在

(b)

(d)

(c)

图9.23


2. 工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在 合理选择截面

对于圆形截面,直径越大则Ip越大,并且在截面面积相同的情况下,空心截面比实心截面具有更大的Ip。例如对具有相同面积A的实心圆截面与空心圆截面,空心圆截面的内外径之比为2׃1,则实心圆截面的极惯性矩与空心圆截面的极惯性矩之别为3׃5,因此在条件允许的情况下,可以用空心截面来代替实心截面。


二、 弯曲构件 工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在

1.改善结构形式,减小弯矩数值

弯矩是引起弯曲变形的主要因素,因此减小弯矩的数值也就提高了弯曲刚度。

(1) 改变支座的形式

(a)


工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在 b)

图9.24

如图9.24所示,在相同跨度l,相同载荷F的作用下,由于支座形式的不一样,简支梁(9.24b)的最大挠度wmax=Fl3/48EIz只是悬臂梁(9.24a)最大挠度wmax=Fl3/3EIz的1/16。


工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在 2) 改变载荷类型

把集中载荷分散成均布载荷,也可取得减小弯矩降低弯曲变形的效果。例如简支梁(图9.25a)在跨度中点作用集中力F时,最大挠度为:wmax=Fl3/48EIz,如将集中力F代以均布载荷(图9.25b),且使ql=F,则最大挠度:wmax=5Fl3/384EIz,仅为集中力F作用时的62.5%。

(b)

图9.25

(a)


工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在 3)减小结构的跨度

由于挠度与跨度l的3次方成正比,因此减小跨度对减小位移是非常明显的,例如车床在车削细长工件时,除用尾顶针外,还可以给工件增加中心架(如图9.26所示)或跟刀架。此种方法的实质都是将静定梁改变为超静定梁。

图9.26


2. 工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在 合理选择截面的形状

截面面积相同,而形状不同的截面,惯性矩一般不相等。所以提高弯曲刚度,可以从合理的选取截面的形状入手。例如截面面积相同的工字形,槽形和T字形截面都比面积相等的矩形或圆形具有更大的惯性矩。

所以桥式起重机的大梁以及其它钢结构的抗弯构件,经常采用工字型截面、槽形截面或箱形截面等。同样面积下惯性矩从大到小排列如图9.27所示。

图9.27


弯曲变形与材料的弹性模量 工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在 E成反比,对于不同材料E值越大,弯曲变形越小。但是各种钢材的E值大致相同,因此为提高弯曲刚度而采用E值较大的优质高价钢材,并不会达到预期的效果。


本章内容到此结束 工程中对构件弯曲位移的许可值有不同的规定。对于梁的挠度,其许可值常用许可挠度与跨长之比值 作为标准;在机械工程中,对主要的轴, 值限制在

谢谢!


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