1 / 61

Vektor , Skalar,dan Bidang Rata

Vektor , Skalar,dan Bidang Rata. Vektor adalah Besaran yang mempunyai besar dan arah . Contoh : Kecepatan , momentum, berat , percepatan , gaya dan lain-lain Skalar adalah besaran yang mempunyai besar tapi tanpa arah . Contoh :

kirk
Download Presentation

Vektor , Skalar,dan Bidang Rata

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Vektor , Skalar,danBidang Rata

  2. VektoradalahBesaran yang mempunyaibesar danarah. Contoh : • Kecepatan, momentum, berat, percepatan, gayadan lain-lain Skalaradalahbesaran yang mempunyaibesar tapitanpaarah. Contoh : • Volume, massa, panjang, waktudan lain-lain VektordanSkalar

  3. Ekor panah disebut ttk pangkal • Arah panah menentukan arah vektor • Panjang panah menentukan arah vektor • Ujung panah disebut ttk ujung • Maka vektor v = V = AB PenyajianVektor B A

  4. 1. Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama v = w = z AljabarVektor w v z

  5. 2. Vektor negatif Adalah vektor yang besarnya sama tetapi arahnya terbalik/berlawanan v - v

  6. 3. VektorNol • Vektor yang panjangnyanol • DinyatakandenganO • 4. PenjumlahanVektor w v v w + w v

  7. 5. Jika v adalahsuatuvektortaknoldan k adalahsuatubilangan real taknol (skalar), makahasil kali kvdidefinisikansebagaivektor yang panjangnya (k*panjangv)dan yang arahnyasamadenganarahvjika k>0danberlawananarahdenganvjika k< 0 v 2v

  8. Jika a, b dan c adalahvektor-vektorserta m dan n adalahskalar, maka : 1. a + b = b + a ; HukumKomutatif untukpenjumlahan 2. a + (b+c) = (a+b)+c ; HukumAssosiatifuntuk penjumlahan 3. ma = am ; HukumKomutatifuntuk perkalian 4. m(na) = (mn)a ; HukumAsosiatifuntuk perkalian 5. (m+n) a = ma + na ; HukumDistributif 6. m (a + b) = ma + mb ; HukumDistributif HukumAljabarVektor

  9. Komponen-KomponenVektor • Vektordalambidang OP = a (sepanjang OX) + b (sepanjang OY) Jikaisebagaivektorsatuandalamarah ox j sebagaivektorsatuandalamarah OY maka : a = aidan b = bj Dengandemikianvektor OP = dapatditulissebagai : R = ai + bj y p r Ѳ x o

  10. 2. Vektor dalam ruang Vektor OP dalam ruang atau dalam sistem koordinat OX, OY, OZ dapat dilihat pada gambar berikut: z p r c y o a b x Misal : OP = ai + bj + ck, maka : |r | = panjang vektor OP =OP =  a² + b² + c²

  11. HASIL KALI TITIK DAN SILANG 1. Hasil kali titik Hasil kali titik (skalar) duavektor A dan B didefinisikan : A  B = ABcos dengan : • AdanBmasing-masingpanjangvektor A dan B • adalahsudutantaravektor A dan B • ( 0  )

  12. Hukum-hukum yang berlaku pada perkalian skalar 1. A  B = B  A 2. A  (B+C) = A  B + A  C 3. m (A  B) = (mA)  B = A  (mB) , m adalah skalar 4. i  i = j  j = k  k = 1 , i  j = j  k = k  i = 0 5. Jika A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i + b2 j + b3 k maka A  B = a1 b1 +a2 b2 + a3 b3 6. Jika A  B = 0 dan A , B bukan vektor nol, maka A dan B tegak lurus.

  13. Hasil kali silang (vektor) dari A dan B adalah vektor C yang arahnya tegak lurus vektor A dan B dengan mengikuti kaidah tangan kanan yang didefinisikan sebagai berikut : A x B = AB sin  u dengan : -  adalah sudut antara A dan B ( 0  ) - u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari C 2. Hasil Kali Silang

  14. Hukum-hukum yang berlaku pada perkalian silang (vektor) : 1. A x B = - B x A 2. A x (B+C) = A x B + A x C 3. m (A x B) = (mA) x B = A x (mB) = (A x B)m, m adalah skalar 4. i x i = j x j = k x k = 0 , i x j = k , j x k = i , k x i = j 5. jika A = a1 i + a2 j + a3 k dan B = b1 i + b2 j + b3 k , maka : = (a2b3 - b2a3) i - (a1b3 - b1a3) j + (a1b2 - b1a2) k 6. Besarnya A x B = luas jajaran genjang dengan sisinya vektor A dan B 7. Jika A x B = 0 dan A = B 0 maka A dan B sejajar.

  15. DiketahuiVektor A = 2i – 3j + k B = – i + 4j + 5k Maka : 1. A + B = (2 – 1) i + (–3 + 4) j + (1 + 5) k = i + j + 6k 2. A – B = (2 + 1) i + (–3 – 4) j + (1 – 5) k = 3i – 7j – 4k 3. A . B = (2)(-1)i + (-3)(4)j + (1)(5)k = -2i – 12j + 5k Contoh

  16. 4. = { (-3)(5) – (1)(4) }i – { (2)(5) – (1)(-1) }j + { (2)(4) – (-1)(-3) }k = (-15 – 4)i – (10 + 1)j + (8 – 3)k = -19i – 11j + 5k

  17. z d • Jarak dua titik yang berada pada dua ujung vektor Maka jarak antara titik A ke titik B adalah d, dengan: x y

  18. BIDANG RATA DAN GARIS LURUS

  19. Terlihat pada gambar bahwa : OX = OP + PX ......(1) dimana Merupakan persamaan vektoris bidang rata yang melalui satu titik P( x1 , y1, z1 ) dan diketahui kedua vektor arahnya a = [ x a ,y a, z a] dan b = [xb ,y b, z b] .

  20. Persamaan (1) dapat ditulis menjadi 3 persamaan : • ……….(2) • yang disebut persamaan parameter bidang rata. • Dengan mengeliminasi λ dan μ pada persamaan diatas diperoleh : • V = Ax + By + Cz + D = 0 ………. (3) • yang disebut persamaan linier bidang rata yang mempunyai vektor normal bidang ( vektor yang tegak lurus bidang rata ) : • [ A, B, C ]

  21. = a x b • dimana : • Dari persamaan (3) di atas, suatu bidang rata yang di ketahui melalui satu titik ( x1 , y 1, z 1 ) dengan vektor normalnya ( A , B , C ) berbentuk: • A ( x — x1) + B ( y — y 1) + C ( z — z 1) = 0

  22. Hal-halkhususdaribidang rata V = Ax + By + Cz + D = 0. 1. BilaD = 0 makabidang rata akanmelaluititikasal O (0,0,0) dan sebaliknya, setiapbidang rata yang melaluititikasalpersamaannya akanmempunyaihargaD = 0. 2. ApabilaD ≠ 0 persamaanAx + By + Cz + D = 0dapatditulismenjadiAx/ -D + By/ -D + Cz/ -D = 1 dansebutberturut-turut A/ -D = 1/p, B/ -D=1/ q, C/-D =1/ r, didapatpersamaan : x/p + y/q + z/r = 1 yang manamemotongsumbuXdi (p, 0, 0 ) sumbuYdi ( 0, q,0 ) sumbuZdi ( 0, 0, r ). 3. BilaA = 0, bidang rata sejajarsumbuXbilaB = 0, bidang rata sejajarsumbuY, danbilaC = 0, bidang rata sejajarsumbuZ 4. Bila A = B = 0, bidang rata sejajarbidangXOYbilaB = C = 0, bidang rata sejajarbidangYOZbilaA = C = 0, bidang rata sejajarbidangXOZ

  23. Contoh : 1. Untuk mengubah kepersamaan linier dapat kita lakukan dgn mencari vektor normal sebagai hasil cross product ( 1, 2, 3 ) x ( 0, 2, 5) = ( 4, —5, 2 ) 4x – 5y + 2z – 13 = 0

  24. 2. Bidang 2x + 3y + 4z = 12 dapat ditulis menjadi : x/6 + y/4 + z/3 = 1 akan memotong sumbu-sumbu di (6,0,0), (0,4,0) & (0,0,3).

  25. Catatan : 1. Jikan = a x b . dimanaa danb adalahvektor-vektorpadabidang, makapersamaanbidang rata dapatditulisdalambentuk : 2. Jikavektor a bertitikawaldi p (x1, y1, z1) dantitikujungnya q (x2, y2, z2), serta b titikawalnya p (x1, y1, z1) dantitikujungnya r (x3, y3, z3), makapersamaanbidang rata dapatditulisdalambentuk :

  26. 4. Jadiempatbuahtitik ( x1, y1, z1 ), ( x2, y2, z2 ), ( x3, y3, z3 ), dan ( x4, y4, z4 ) akansebidangjikadanhanyajika : Contoh : 1. Tentukanpersamaanbidang yang melaluiketigatitik ( 2, -1, 1 ), ( 3, 2, 1 ), dan ( -1, 3, 2 ) 2. Apakahempattitikberikutsebidang, jikasebidang , tentukanpersamaanliniernya : ( 2, 1, 3 ), ( 4, 2, 1 ), ( -1, -2, 4 ) dan ( 0, 0, 5 )

  27. Sudutantaraduabidang rata Sudut antara dua bidang rata merupakan sudut antara vektor-vektor normalnya. Misanya, sudut antara bidang : maka sudutnya adalah sudut antara normal-normal , yaitu :

  28. Contoh : Jawab :

  29. Kedudukan 2 buahbidang rata 1. Kedudukan sejajar : • Bila V1 dan V2 sejajar maka n1 dan n2 sama (atau berkelipatan), berarti [A1, B1, C1] = λ[A2, B2, C2] adalah syarat bidang V1 dan V2 sejajar (λ sebarang ≠ 0 ) 2. Kedudukan tegak lurus : • Bila V1 tegak lurus V2, maka vektor normalnya akan saling tegak lurus,

  30. Contoh : 1. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang sejajar dengan bidang rata V1 = x + y + 5z = 9 dan bidang rata V2 melalui titik (0,2,1) ! • Jawab :

  31. Contoh : 2. Tentukan persamaan bidang rata V2 yang tegak lurus pada bidang rata V1 =x + y + z = 1 serta melalui titik (0,0,0) dan (1,1,0) ! Jawab :

  32. Jarak Antara Sebuah Titik dan Sebuah Bidang Rata Dan Jarak Antara Dua Bidang Sejajar. Jarak dari titik ( x1, y1, z1 ) ke bidang V : Ax + By + Cz + D = 0 adalah : Untuk mencari jarak dua bidang sejajar V2, kita ambil sembarang titik pada V2, lalu menghitung jarak titik tsb V1

  33. Contoh : 1. Tentukanjaraktitik (4,7,3) kebidang 2x + 6y – 3z = 13 . Jawab : 2. DiketahuiV1 = x + y + z – 2 = 0 danV2 = x + y + z – 5 = 0. jikaR padaV2, hitunglahjaraktersebutkeV1 . jawab :

  34. Berkasbidang

  35. Contoh : Tentukan persamaan bidang rata V yang melalui titik( 0,0,0) serta melalui garis potong bidang-bidang : V1 = 2x + 3y +24 = 0 dan V2 = x – y + 2z = 12 Jawab : V dapat dimisalkan berbentuk : ------ (*) Karena V melalui ( 0,0,0 ) terpenuhi : Yang kita subtitusikan ke (*) diperoleh : V = 4x + y + 4z = 0

  36. Jaringanbidang Pandang bidang rata V 1 = 0 , V 2 = 0 dan V 3 = 0 yang tidak melalui satu garis lurus yg sama (bukan dalam satu berkas ). Bentuk : menyatakan kumpulan bidang- bidang yang melalui titik potong ketiga bidang V 1 = 0 , V 2 = 0 dan V 3 = 0 itu ( dalam gambar melalui titik T ). Dan himpunan bidang-bidang rata itu disebut jaringan bidang.

  37. Contoh : Tentukan persamaan bidang rata V yang sejajar bidang U : x + y + z =1 serta melalui titik potong bidang : Jawab : ……(*) Karena sejajar dengan U, maka ( 1, 1, 1 ) adalah normal dari V atau ( 1, , μ ) kelipatan dari ( 1, 1, 1 ) Jadi subtitusikan ke (*) menghasilkan persamaan yang diminta, yaitu : V = x + y + z – 7 = 0

  38. PersamaanGarislurus Sebuah garis lurus akan tertentu bila diketahui dua titik pada garis tersebut. Mis, titik P ( x1, y1, z1 ) dan R ( x2, y2, z2 ), maka OP=[x1, y1, z1], OR =[x2, y2, z2 ] dan PR=[ x2-x1, y2-y1, z2-z1 ] Untuk sembarang titik Q(x,y,z) pada garis g berlaku PQ= PR Jelas bahwa : OQ = OP + PQ ……(*) Adalah persamaan vektoris garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 ) dan R ( x2, y2, z2 )

  39. Jadi bila garis lurus melalui titik P ( x1, y1, z1 ) dan mempunyai vektor arah a = [a,b,c], maka persamaannya adalah : ……….(**) Dari persamaan (**) diperoleh 3 persamaan, yaitu : • x = x1 +  a • y = y1 +  b ………(***) • z = z1 +  c yang disebut persamaan parameter garis lurus. Kemudian bila a  0, b  0, c  0,  kita eliminasikan dari persamaan (***), diperoleh : •  = = = yang disebut persamaan linier garis lurus

  40. Contoh : Tentukan persamaan garis lurus melalui (3, 2 ,-2) dan (4, -2,-1) Jawab : yang merupakan persamaan liniernya.

  41. Hal KhususdariGarisLurusDenganVektorArah [a,b,c] 1. 2. Bila a = 0 vektor [0, b, c] terletak pada bidang rata yang sejajar bidang yoz Bila b = 0 , garis lurus sejajar bidang xoz Bila c = 0 , garis lurus sejajar bidang xoy Dalam hal ini, bila salah satu bilangan arah (mis a = 0) maka, persamaan garis lurusnya menjadi : [x, y, z]= [ x1, y1, z1 ] +  [0, b, c] Sedangkan persamaan liniernya :

  42. 3. Bila a = 0, b = 0, vektor [ 0,0, c] sejajar dengan arah sumbu Z Bila a = c = 0, garis lurus sejajar sumbu Y Bila b = c = 0, garis lurus sejajar sumbu X Contoh : 1. 2. Garis lurus [x,y,z] = [2,3,-2] + λ[0,4,2] bersifat sejajar sumbu Y ( a=c=0) dan dapat dtulis sebagai : x = 2 , z = - 2 ( dimana berlaku untuk setiap y )

  43. GarislurussebagaiPerpotonganDuaBidang Rata Garis lurus dapat dinyatakan sebagai perpotongan sembarang dua bidang rata yang melalui garis lurus tersebut. Misalnya, garis lurus g adalah perpotongan bidang rata. V 1 = A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 dan V 2 = A2 x + B2 y + C2z + D2 = 0 , maka persamaan garis lurus g dapat ditulis :

  44. Untukmencaripersamaan linier garislurustsbsbb : 1. Menentukanvektorarahdarigarislurus : [ a, b, c ] Jelas [a, b, c] = n1 x n2 2. Menentukansembarangtitik (x1, y1, z1) padagarislurus, biasanyadiambiltitikpotongdenganbidangkoordinat, mis. bidangxoy z = 0 sehinggadiperoleh : A1x + By1 + D1 = 0 A2x + By2 + D2 = 0

  45. Contoh : Tentukan persamaan garis lurus akibat perpotongan dua buah bidang : V1 : x - 2y + z = 1 V2 : 3x - y + 5z = 8 Jawab : n1 = [ 1, -2, 1 ] dan n2 = [ 3, -1, 5 ] vektor arah garis : [ 1, -2, 1 ] x [ 3, -1, 5 ] = [ -9, -2, 5 ] titik potong bidang dengan bidang xoy : z = 0 x – 2y = 1 x = 3 3x – y = 8 y = 1 Jadi persamaan liniernya : [x, y, z]= [ 3, 1, 0 ] +  [ -9, -2, 5 ]

  46. KedudukanduagarisLurus Didalamruangberdimensitiga, 2 garislurusmungkinsejajar, berimpit, berpotongan, ataubersilangan. Diketahuigarislurus 1. g1sejajarg2bilaarahmerekaberkelipatan. Jadibila , μ ≠ 0 ataubila Jikaberlaku , maka : g1dan g2berimpit. contoh :

  47. 2. Kalau arah g1 yaitu [ a1, b1 ,c1 ] dan arah g2 yaitu [a2, b2,c2 ] tidak berkelipatan, maka g1 dan g2 berpotongan di satu titik atau bersilangan. Jika , maka kedua garis tsb berpotongan pada satu titik dan persamaan bidang yang memuat kedua garis g1 dan g2 tsb adalah : Jika tidak demikian, maka kedua garis tsb bersilangan.

  48. Contoh : Tunjukan bahwa berpotongan Dan tentukan titik potongnya serta bidang rata yang memuat garis g1 dan g2 tsb. Jawab : Arah mereka tidak berkelipatan, jadi tidak sejajar ataupun berimpit. Sedangkan determinan : , jadi g1 dan g2 berpotongan. Titik potongnya dicari dari persamaan g1= g2 , diperoleh : 1 = 1 kemudian di subt. ke g 1 ( 5, -7, 6 ) 2 = 2 kemudian di subt. ke g 2 ( 5, -7, 6 )

  49. Persamaan bidang rata yang memuat garis g1 dan g2 adalah : 11x – 6y – 5z -67 = 0 Sudut antara garis g1 dan g2 adalah sudut antara vektor-vektor arah [ a1, b1 ,c1 ] dan [ a2, b2 ,c2 ] , yaitu :

  50. KedudukanGarisLurusdanBidang Rata Pandang garislurus g denganvektoraraha =[ a , b , c] danbidang rata Vdenganvektor normal n = [ A , B , C], maka : g 1sejajardengabidang V g3tegaklurusbidang V g 2terletakpadabidang V 1. Garislurusgsejajarbidang rata Vjikkavektorarahgaris tegaklurus normal bidang. a . n = 0 atauaA+ bB+ cC= 0

More Related