ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ν. Καστάνη

1. ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΝ. Καστάνη • Έχει ως επίκεντρο κάποια επεισόδια από την πρώιμη Ιστορία της Άλγεβρας. • Επιδιώκει να φωτίσει τα κυριότερα ιστορικά ρεύματα της πολιτισμικής δυναμικής, που προκάλεσαν και συνέβαλαν στην ανάδυση των πρώτων στοιχείων της αλγεβρικής σκέψης.

2. Μια αφορμή για έναν αρχικό προβληματισμό σχετικά με την Ιστορία της Άλγεβρας

3. Ερωτήματα σχετικά με τις απαρχές της Άλγεβρας • Η Άλγεβρα πρωτοεμφανίστηκε με έτοιμες εξισώσεις; Ή υπήρξε ένα προκαταρτικό στάδιο, όπου άρχισαν να εμφανίζονται κάποια πρωτο-αλγεβρικά στοιχεία; • Πότε επισημαίνονται τα πρώτα ίχνη αλγεβρικής σκέψης στην ιστορία; • Ποιες πρωταρχικές έννοιες αποτέλεσαν το γενετικό υλικό του πρώιμου αλγεβρικού τρόπου επίλυσης κάποιων μαθηματικών προβλημάτων;

4. Πότε επισημαίνονται τα πρώτα ίχνη αλγεβρικής σκέψης στην ιστορία;

7. ;;?

8. Archive for History of Exact Sciences, Vol. 15, 1975, pp. 67-114

9. Το παρασκήνιο της ιστοριογραφικής καθιέρωσης του όρου “Γεωμετρική Άλγεβρα”

10. Ο “ηθικός αυτουργός”: Auguste Comte (1798-1857), ο οποίος επισήμανε ότι“Ο Θαλής μπορεί δίκαια να θεωρηθεί ότι έχει θέσει τα θεμέλια της Άλγεβρας”[Cours de Philosophie Positive (1830-1842)]

11. Θετικιστική αντίληψη της Ιστορίας Η θετικιστική φιλοσοφία του Κοντ (Comte) και των οπαδών του, που ήταν κυρίαρχη τον 19ο αιώνα, θεωρούσε ότι η ανθρώπινη σκέψη μετασχηματίστηκε διαδοχικά από μια θεολογική (υπερφυσική) αντίληψη, την περίοδο των πρώτων πολιτισμών, σε μια μεταφυσική (αφηρημένη, θεωρητικόλογη) βαθμίδα, την περίοδο του Μεσαίωνα, και τελικά ανυψώθηκε στη θετική (επιστημονική) ανωτερότητά της, το 17ο αιώνα και ιδιαίτερα από τη Γαλλική Επανάσταση και μετά.

12. Θετικιστική αντίληψη της Ιστορίας των Μαθηματικών • Σύμφωνα με την άποψη αυτή, στο στάδιο της επιστημονικής σκέψης διαμορφώνεται η θετική, η πραγματική, ουσία της ανθρώπινης γνώσης. • Αυτό σημαίνει ότι στη μαθηματική γνώση της θετικής περιόδου, δηλ. της τελευταίας εξέλιξής της, αποκαλύπτεται ο καθαρός, ο αληθινός, χαρακτήρας της. • Στις προηγούμενες ιστορικές φάσεις η μαθηματική γνώση ήταν συγκαλυμμένη από ένα πέπλο θεολογικών ή μεταφυσικών στοιχείων.

13. Θετικιστική αντίληψη των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών • Γενικά, ο Θετικισμός είχε έναν αναχρονιστικό τρόπο κατανόησης της Ιστορίας. • Θεωρούσε ότι τα Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά και η Αστρονομία ήταν οι πρώτες επιστήμες που έφθασαν στο θετικό επίπεδο ανάπτυξής τους. • Οπότε διέβλεπε ότι κάποιοι νεώτεροι τρόποι μαθηματικοί σκέψης, όπως ο αλγεβρικός, ήταν φυσικό να υποβόσκει στη σκέψη των Αρχαίων Ελλήνων σοφών, π.χ. στη σκέψη του Θαλή.

14. Ο Θετικισμός και ο ιστορικός των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών Paul Tannery • Ο Θετικισμός ήταν ένα κυρίαρχο φιλοσοφικό ρεύμα το 19ο αιώνα. • Το ρεύμα αυτό έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην προώθηση και καθιέρωση της Ιστορίας των Επιστημών. • Ο Ταννερύ (Tannery) ήταν οπαδός του Θετικισμού και ένας διαπρεπής ιστορικός των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών στα τέλη του 19ου αιώνα. • Ο ίδιος χρησιμοποίησε στις ιστορικές του αναλύσεις τον όρο “Γεωμετρική Άλγεβρα” για το Β’ βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη. Κι αυτό ήταν πλήρως συμβατό με τις θετικιστικές του πεποιθήσεις.

15. Ο Τσόυθεν (Zeuthen) ήταν καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο της Κοπεγχάγης και ασχολήθηκε με την Ιστορία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών στα τέλη του 19ου αιώνα. Ήταν οπαδός του Πλατωνισμού, οπότε ήταν επιρρεπής στην αντιμετώπιση των μαθηματικών εννοιών ως “αιώνιες , αμετάβλητες αλήθειες, ανεπηρέαστεςαπό τα ιδιόμορφα γνωρίσματα της κουλτούρας μέσα στην οποία εμφανίστηκαν”. Με αυτή την οπτική γωνία χρησιμοποίησε τον όρο “Γεωμετρική Άλγεβρα” θεωρώντας ότι είναι μια πλατωνική υπόσταση που εμφανίστηκε στον Ευκλείδη μ’ ένα γεωμετρικό μανδύα ενώ σε διαφορετικές εποχές παρουσιαζόταν με διαφορετικές παραλλαγές, όπως με αλγεβρικό συμβολισμό. Η φιλοσοφική σκοπιά της ιστοριογραφίας του Zeuthen

16. Η καθιέρωση του όρου “Γεωμετρική Άλγεβρα” Ο Χηθ (Heath) αξιοποίησε τον όρο αυτό στην αγγλόφωνη ιστοριογραφία των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών τις πρώτες δεκαετίες του 20ου αιώνα. Τη δεκαετία του 1930 ο Νεϋγκεμπάουερ (Neugebauer) πρόβαλε την άποψη ότι η “Γεωμετρική Άλγεβρα” των Αρχαίων Ελλήνων δεν είναι παρά η γεωμετρική έκφραση των Βαβυλωνιακών αριθμητικών μεθόδων για τη λύση αλγεβρικών προβλημάτων β’ βαθμού.

17. Η εδραίωση της παραδοσιακής ιστοριογραφίας με τον όρο “Γεωμετρική Άλγεβρα” Ο βαν ντερ Βάρτεν (van der Waerden) εδραίωσε, μετά τον β’ Παγκόσμιο Πόλεμο, την ιστοριογραφική αντίληψη της “Γεωμετρικής Άλγεβρας”

18. Οι βασικές θέσεις της αντιπαράθεσης Ο Ούνγκουρου (Unguru) υποστήριξε : • Η “Γεωμετρική Άλγεβρα” δεν είναι μόνο λογικά ανάρμοστη, αλλά και ιστορικά ανάρμοστη. • Τα Μαθηματικά είναι μια αντανάκλαση της εκάστοτε ιστορικής κουλτούρας ενός πολιτισμού

19. Τα στηρίγματα για την αμφισβήτηση της ιστοριογραφικής νομιμότητας του όρου “Γεωμετρική Άλγεβρα” Δύο παράγοντες αποτέλεσαν το μεθοδολογικό “οπλοστάσιο” αυτής της αμφισβήτησης : 1. Η νέα ιστοριογραφία των επιστημών που αναπτύχθηκε από τον Thomas Kuhn και τους οπαδούς του, το δεύτερο μισό του 20ου αιώνα. Σύμφωνα με τον Κουν (Kuhn) οι έννοιες που χρησιμοποιούνται στη λύση προβλημάτων διέπονται σε μεγάλο βαθμό από την καθημερινή αντίληψη της εποχής, από τη δεσπόζουσα φιλοσοφική παράδοση και από τα πιο ευυπόληπτα επιστημονικά πρότυπα. 2. Η αγγλική μετάφραση και η γνωστοποίηση, την ίδια περίοδο, της μελέτης του Jacob Klein, ο οποίος προσέγγισε την ιστορική καταγωγή της Άλγεβρας με βάση την εννοιολογική αλλαγή του αριθμού.

20. Τρία ερωτήματα που προκύπτουν απ’ αυτή την αντιπαράθεση • Η “Γεωμετρική Άλγεβρα”, δηλ. το β’ βιβλίο των Στοιχείων, είναι Άλγεβρα; • Υπάρχει πράγματι Βαβυλωνιακή Άλγεβρα; • Τι θα μπορούσε να θεωρηθεί ως πρώιμη μορφή Άλγεβρας; Δηλ. με ποια στοιχεία της μαθηματικής σκέψης αναδύθηκε η ιστορικά πρώτη μορφή αλγεβρικής σκέψης; Και σε τι πνευματικό περιβάλλον μπόρεσε να καλλιεργηθεί;