8. INTEGRASI  NUMERIK
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 53

8. INTEGRASI NUMERIK PowerPoint PPT Presentation


  • 123 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

8. INTEGRASI NUMERIK. Integrasi numerik adalah proses mencari hampiran luas bidang yang dibatasi oleh f ( x ) dan sumbu x pada selang tertutup [a, b]. Jika f ( x ) dihampiri dengan polinomial p n ( x ), maka integrasi numerik ditulis dalam bentuk ,. (8.1).

Download Presentation

8. INTEGRASI NUMERIK

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


8 integrasi numerik

8. INTEGRASI NUMERIK


8 integrasi numerik

Integrasinumerikadalahprosesmencarihampiranluasbidang yang dibatasiolehf (x) dansumbuxpadaselangtertutup [a, b]. Jikaf (x) dihampiridenganpolinomialpn(x), makaintegrasinumerikditulisdalambentuk,

(8.1)

ProsespencariannilaihampiranIdilakukanjika:

a. Fungsif (x), disebutintregran, mempunyaibentuk yang sulituntukdilakukanprosesintegrasi.

b. Nilaixdanf (x) hanyadalambentuktabeldiskrit.


8 integrasi numerik

f (x)

f (x)

x

O

a

b

Gambar 8.1

Luasbidang yang dibatasif(x)


8 integrasi numerik

f (x)

pn(x)

f (x)

pn(x)

x

O

a

b

Gambar 8.1

Hampiranluasbidang yang dibatasipn(x)


8 integrasi numerik

Prosesmenentukannilaihampiranintegrasinumerik

dilakukandenganbeberapacaraataumetode, yaitumetode

manual, pencocokanpolinomial, aturantrapesium, aturan

titiktengah, aturan Simpson, integrasi Romberg, sertaKuadratur Gauss.

8.1 Metode Manual

Prosesintegrasinumeriksecara manual adalah

menentukanluasbidangdengancaramenggambar

persegi-persegi yang beradadibawahgrafikf (x).

Jumlahpersegi yang beradadibawahgrafikdikalikandenganluasmasing-masingpersegimerupakanluasbidang yang dibatasinya, seperti yang ditunjukkanpadaGambar 8.2.


8 integrasi numerik

y

x

O

a

b

Gambar 8.2

Hampiranluasbidangmetode manual


8 integrasi numerik

8.2 PolinomialPencocokanKurva

Jikaterdapatsebuahfungsif (x) yang sulituntukdilakukanprosesintegrasi, seperti

(8.2)

atau data yang menyajikannilaif (x) untuknilaixtertentu, sepertitabelberikut,

makaf(x) dapatdihampiridenganpn(x) sepertipersamaan (8.3) berikut,

pn(x) = a0 + a1x + a1x2 + … (8.3)


8 integrasi numerik

Contoh 8.1

Dari tabelberikut, evaluasi integral

denganmenggunakanmetodepencocokankurva

polinomialorde 3.

Penyelesaian


8 integrasi numerik

f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3

a0 + a1 + a2 + a3 = 2,1722

a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 2,7638

a0 + 3a1 + 9a2 + 27a3 = 4,4899

a0 + 4a1 + 16a2 + 64a3 = 7,3912


8 integrasi numerik

Didapat

f (x) = 2,6744 – 1,0355x + 0,5266x2 + 0,0068x3

I =

= 11.6769


8 integrasi numerik

8.3 AturanTrapesium

Aturantrapesiumdidapatdengancaramencocokkanpolinomailordepertamapadaduabuahtitikdiskrit.

y

f (x)

h

x

x1

x0

O

Gambar 8.2

Luassatupiastrapesium


8 integrasi numerik

(8.4)

Parameter interpolasisdicaridenganpersamaan,

s = (x – x0)/h ataux = x0 + sh(8.5)

Sehingga,

dx= h ds (8.6)

Untukx = x0 s = 0

Untuk x = x1 s = 1

(8.7)

(8.8)


8 integrasi numerik

Substitusipersamaan (8.6) - (8.8) ke (8.4) didapat


8 integrasi numerik

Jikaselangtertutup [a, b] dibagimenjadinbuahbidang, makaluashampiranf(x) ditunjukkanpadaberikut

y

x

O

a=x0 x1 x2 xn–1 b=xn

Gambar 8.3

Luasnbuahtrapesium

n = (xn – x0)/h(8.9)


8 integrasi numerik

Luasseluruhbidanguntukjarakh yang sama

(8.10)


8 integrasi numerik

Luasseluruhbidanguntukjarakh yang tidaksama

(8.11)


8 integrasi numerik

Contoh 8.2

Dari tabelberikut,

gunakanmetodetrapesiumuntukmengevaluasi integral

dengann = 8

Penyelesaian


8 integrasi numerik

n = 8; xn = x8 = 2,0 ; x0 = 0,4

Dari persamaan (8.5) didapat

h = (xn – x0)/n = (2,0 – 0,4) / 8 = 0,2

Dari tabeldidapat:

f (x0) = 5,1600

2 f (x1) = 2(3,6933) = 7,3866 ; 2 f (x2) = 2(3,1400) = 6,2800

2 f (x3) = 2(3,0000) = 6,0000 ; 2 f (x4) = 2(3,1067) = 6,2034

2 f (x5) = 2(3,3886) = 6,7772 ; 2 f (x6) = 2(3,8100) = 7,6200

2 f (x7) = 2(4,3511) = 8,7022 ; f (x8) = 5,0000


8 integrasi numerik

8.4 AturanTitik Tengah

Gambarberikutadalahsebuahpersegipanjangdari

x = x0sampaix = x1dantitiktengahx = x1/2 = x0 + h/2

y

f (x)

h

x

a=x0x1/2 b=x1

O

Gambar 8.4

Aturantitiktengah


8 integrasi numerik

y

Gambar 8.3

nbuahpersegipanjangdenganpanjangmasing-masingf (xn+h/2)

x

O

a=x0x1x2 … xn-1 b=xn

n = (xn – x0)/h(8.7)


8 integrasi numerik

Luasn buahtrapesiumadalah

(8.8)

Persamaan (8.8) adalahhampiranintegrasif(x) denganmetodetitiktengah.


8 integrasi numerik

Contoh 8.3

Dari tabelberikut,

gunakanmetodetitiktengahdengann = 8 untukmengevaluasi integral


8 integrasi numerik

Penyelesaian

n = 8; xn = x8 = 2,0 ; x0 = 0,4

Dari persamaan (8.5) didapat

h = (xn – x0)/n = (2,0 – 0,4) / 8 = 0,2


8 integrasi numerik

Dari tabeldidapat:

f (x0+h/2) = f (0,4+0,1) = f (0,5) = 4,4266

f (x1+h/2) = f (0,6+0,1) = f (0,7) = 3,4166

f (x2+h/2) = f (0,8+0,1) = f (0,9) = 3,0700

f (x3+h/2) = f (1,0+0,1) = f (1,1) = 3,0534

f (x4+h/2) = f (1,2+0,1) = f (1,3) = 3,2476

f (x5+h/2) = f (1,4+0,1) = f (1,5) = 3,5993

f (x6+h/2) = f (1,6+0,1) = f (1,7) = 4,0806

f (x7+h/2) = f (1,8+0,1) = f (1,9) = 4,6757


8 integrasi numerik

8.5 Aturan Simpson 1/3

Aturansimpson 1/3 adalahaturan yang mencocokkanpolinomialderajat 2 padatigatitik data diskrit yang mempunyaijarak yang sama.

p2(x)

y

f (x)

x

x0 = 0 x1 = hx2 = 2h

Gambar 8.4

Aturan Simpson 1/3


8 integrasi numerik

Dari persamaan (8.5)

s = (x – x0)/h ataux = x0 + sh

Sehingga

Untukx = x0, makas = 0

Untukx = x2, makas = 2


8 integrasi numerik

ataudapatditulisdalambentuk

(8.9)


8 integrasi numerik

Contoh 8.4

Selesaikan

denganmenggunakanmetode:

Trapesium

Titiktengah

Simpson 1/3

Bandingkanhasilmasing-masingmetodedengansolusisejatinya.

Penyelesaian

h = 0,10


8 integrasi numerik

a. MetodeTrapesium

n = (xn – x0)/h = (1 – 0) / 0,1 = 10


8 integrasi numerik

I  0,05(0,5000 + 1,0476 + 1,0909 + 1,1304 + 1,1666 +

1,2000 + 1,2308 + 1,2592 + 1,2856 + 1,3104+0,6666

 0,59438


8 integrasi numerik

b. Metodetitiktengah:

f (x0+h/2) = f (0,0+0,05) = f (0,05) = 0,5122

f (x1+h/2) = f (0,1+0,05) = f (0,15) = 0,5348

f (x2+h/2) = f (0,2+0,05) = f (0,25) = 0,5556

f (x3+h/2) = f (0,3+0,05) = f (0,35) = 0,5744

f (x4+h/2) = f (0,4+0,05) = f (0,45) = 0,5918

f (x5+h/2) = f (0,5+0,05) = f (0,55) = 0,6078

f (x6+h/2) = f (0,6+0,05) = f (0,65) = 0,6226

f (x7+h/2) = f (0,7+0,05) = f (0,75) = 0,6364

f (x8+h/2) = f (0,8+0,05) = f (0,85) = 0,6491

f (x9+h/2) = f (0,9+0,05) = f (0,95) = 0,6610


8 integrasi numerik

c. Metode Simpson 1/3m

n = (xn – x0)/h = (1 – 0) / 0,1 = 10


8 integrasi numerik

Solusisejati


8 integrasi numerik

8.6 Aturan Simpson 3/8

Aturansimpson 3/8 adalahaturan yang mencocokkanpolinomialderajat 3 padaempattitik data diskrit yang mempunyaijarak yang sama.

y

f (x)

pn(x)

x1 = h

x2 = 2h

x3 =3h

x0 = 0

x

Gambar 8.5

Aturan Simpson 3/8


8 integrasi numerik

Dari persamaan (8.5)

s = (x – x0)/h ataux = x0 + sh

Sehingga

Untukx = x0, makas = 0

Untukx = x2, makas = 2


8 integrasi numerik

ataudapatditulisdalambentuk

Selesaikandenganmetode Simpson 3/8

Contoh 8.5

(8.9)

dengann = 9. Bandingkanhasilnyadenganmetodetrapesium, titiktengah, Simpson 1/3 dandengansolusisejati.

Penyelesaian


8 integrasi numerik

Untukn = 9  h = ( 1 – 0)/9 = 1/9


8 integrasi numerik

Itotal 3h/8{ f0 + 3( f1 + f2 + f4 + f5 + f7 + f8 )+ 2(f3 + f6 ) + f6 }

 (3/8)(1/9){ 1,16666 + 10,70931+ 2,39286}

 0,59453


8 integrasi numerik

  • 8.7 Aturanintegrasinumerikuntukh yang berbeda

  • Suatu data seringmempunyaijarak yang berbedapadasebagiantitik, sedangkansebagiantitiklainnyasama. Sebetulnyakitadapatmenggunakanaturantrapesium, khususnyapersamaan (8.11). Akantetapijikakitainginmeningkatkantingkatketelitian, makakombinasipenggunaanmetodetrapesium, Simpson 1/3, dan Simpson 3/8 menjadipilihan yang lebihbaikdaripadamenggunakanmetodetrapesiumsecarakeseluruhan.

  • Aturankombinasinyaadalahsebagaiberikut:

  • Untukselangberurutanmempunyaijarak yang sama

  • danberjumlahgenap, gunakanaturan Simpson.

  • Untukselangberurutanmempunyaijaraksamadan

  • berjumlahkelipatantiga, gunakanaturan Simpson 3/8


8 integrasi numerik

f (x)

y

h2

h2

h3

h2

h3

h1

h1

h1

h1

x8

x0 x1 x2 x3 x4

x9

x5 x6 x7

Simpson 1/3

Simpson 3/8

x

Trapesium

Trapesium

Gambar 8.6

AturanGabungan


8 integrasi numerik

8.8 Metode Newton-Cotes

Bentukumumdarimetode Newton-Cotes ditunjukkanpadapersamaanberikut.

(8.9)

n = jumlahpias (strip)

h = lebarpias = (b – a)/n

fi = f (xi)

xi= a + ih

α : koefisien

β : koefisien

E = Galat


8 integrasi numerik

Tabel 8.1 Rumus Newton-Cotes


8 integrasi numerik

Tabel 8.1 Rumus Newton-Cotes (lanjutan)

Tabel 8.1 adalahtujuhdari 10 rumus Newton-Cotes. Rumus 1 sampai 4 masing-masingdidapatdenganaturantrapesium, Simpson 1/3, Simpson 3/8, dan Boole.

Rumus 5 danseterusnyadidapatdenganmenggunakanpolinominterpolasiselisihmajuderajat 4, 5, danseterusnya.


8 integrasi numerik

Contoh 8.6

Turunkanrumus Newton-Cotes derajat 4

Penyelesaian


  • Login