MODULO 3. DISTRIBUCIONES UNIVARIADAS. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1. MODULO 3. DISTRIBUCIONES UNIVARIADAS. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL • Estas medidas se denominan de «tendencia central» porque fijan su atención en el centro de la distribución o punto central sobre el que gravitan el conjunto de valores de la distribución.

3. La más habitual de las medidas de tendencia central es la MEDIA ARITMÉTICA del conjunto de observaciones individualmente obtenidas. • Sin embargo, su uso lleva algunos presupuestos infranqueables, lo que conlleva a que NO SIEMPRE PUEDA USARSE LA MEDIA como indicador de «tendencia central». • Nivel de medición cuantitativo. • Presupone que el conjunto de los datos posibles tienen una distribución simétrica. • Por tanto: mirar el nivel de medición de la variable y el gráfico para estudiar la forma de su distribución.

4. Concepto de Simetría: • Supongamos que hemos representado gráficamente una distribución de frecuencias. • Si trazamos una perpendicular al eje de abscisas por la media y tomamos esta perpendicular como eje de SIMETRÍA, diremos que una distribución es simétrica respecto a la media si existe el mismo número de valores a ambos lados de dicho eje, equidistantes de uno a uno y tales que cada par de valores equidistantes tengan la misma frecuencia. En caso contrario, las distribuciones serán asimétricas.

5. Si no se cumplen estos supuestos deben usarse alternativamente otros indicadores: la MEDIANA (en caso de no contarse con variables intervales o cuando la población sigue una distribución bastante poco simétrica) o la MODA o MODO.

6. La mediana requiere para su uso también de un nivel de medición mínimo, la escala o nivel ordinal

7. La MODA, por tanto, es la medida de tendencia central apropiada cuando se dispone de variables que tienen un nivel de medición nominal.

9. MEDIA (o PROMEDIO): • la «media aritmética» de una variable estadística es la suma de todos sus posibles valores dividida por el total de observaciones.

10. MEDIA – en tablas de datos originales: si los valores de una tabla son: • x1; x2; x3; ………xi

11. MEDIA – en tablas de frecuencias simples: En este caso la media puede ser expresada como suma ponderada de los valores de la variable por las frecuencias absolutas promediada por el total de observaciones (N)

12. MEDIA - tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos de clase • En el caso de las tablas de frecuencias agrupadas en intervalos de clase, dada la pérdida del dato original, en estos casos la media debe ser definida como la suma ponderada –no de los valores originales- sino de las «marcas de clase» ponderada por sus frecuencias relativas (ya usando la expresión simplificada).

13. Observaciones sobre la media • La media (o promedio), en todos los casos, es un número comprendido entre el mínimo y el máximo de los valores observados. • El promedio no tiene por qué coincidir con alguno de los valores observados en la población. • Si la distribución de la variable no es muy dispersa (porque se concentra en unos pocos valores) entonces el promedio es un buen indicador de la “posición” de la distribución. • Como medida de tendencia central, tiene el defecto de estar muy influido por los valores extremos de la distribución. Ya que todas las observaciones intervienen en el cálculo de la media, la aparición de una observación extrema, hará que la media se desplace en esa dirección. • no es recomendable usar la media como medida central en las distribuciones muy asimétricas;

14. Observaciones 2 En general, la media aritmética obtenida a partir de las marcas de clase xc, diferirá de la media obtenida con los valores reales, xi. Es decir, habrá una pérdida de precisión que será tanto mayor cuanto mayor sea la diferencia entre los valores reales y las marcas de clase, o sea, cuanto mayores sean las amplitudes de los intervalos de clase ai. • la media calculada sobre datos agrupados en intervalos dependerá siempre de la división en intervalos de clase.

15. es muy sensible a los valores extremos de la variable: ya que todas las observaciones intervienen en el cálculo de la media, la aparición de una observación extrema, hará que la media se desplace en esa dirección. En consecuencia, remarcaremos: 1. no es recomendable usar la media como medida central en las distribuciones muy asimétricas; 2. la media calculada sobre datos agrupados en intervalos dependerá siempre de la división en intervalos de clase.

16. LA MEDIANA • Consideramos una variable X cuyas observaciones en una tabla estadística han sido ordenadas de menor a mayor. Llamaremos mediana, Mdn al primer valor de la variable que deja por debajo de sí al 50% de las observaciones y por encima de sí al restante 50%.

17. Si la distribución es simétrica, la MEDIA coincidirá con la MEDIANA.

18. MEDIANA – tablas de datos originales • Si N es el número de observaciones, la mediana corresponderá a la observación [N+1]/2 en el caso de N impar, y a una observación intermedia entre las observaciones [N/2] y [N+2]/+1 en el caso de N par. • Ejemplo: • N=5 número de observaciones impar • 1 - 3 - 7 – 15 - 24 (datos ordenados) • Por tanto, la mediana corresponde a la observación que ocupa la posición [5+1]/2 = 3 (tercera posición en la serie ordenada). Es decir, 7. • Si N = 6 número de observaciones par • 1 - 3 - 7 – 15 - 24 -35 (datos ordenados) • Por tanto, la mediana corresponde a la observación intermedia entre la observación que ocupa el lugar [6/2] (tercera posición en la serie ordenada) y la observación [6/2]+1 (cuarta posición en la serie ordenada). Es decir, intermedia entre los valores 7 y 15 (valores que ocupan respectivamente las posiciones 3era y 4ta). Este valor surge de promediar los valores correspondientes a estas dos posiciones: (7+15)/2 = 11. • Por tanto, el valor de la variable que deja por debajo de sí el 50% de las observaciones menores y por encima de sí el 50% de las observaciones mayores es 11. La mediana es 11. • Otra forma de leer este resultado es diciendo que el 50% de las observaciones no superan el valor 11.

19. MEDIANA – tablas de frecuencias simples En el caso de datos agrupados en tablas, la forma más práctica de ubicar la mediana es guiándose por la columna de frecuencias relativas acumuladas. La mediana será entonces aquel valor de la variable que acumula antes el 50% de las observaciones.

20. Ejemplo

21. MEDIANA – tablas de frecuencias agrupadas en intervalos de clase • (no lo trataremos en clase por ser bastante poco común recurrir a esto) • En el caso de variables continuas, las clases vienen dadas por intervalos, y aquí la fórmula de la mediana se complica un poco más debido a que supone una interpolación de datos. • fórmula para interpolar: donde: Li = límite inferior del intervalo mediano N= total de observaciones de la población Fiant= frecuencias acumuladas en la clase anterior del intervalo mediano fi= frecuencia absoluta simple del intervalo mediano Ai = amplitud del intervalo mediano

22. Sin embargo, sugerimos que para facilitar la comprensión del tema se maneje con el concepto de «intervalo mediano. De esta manera, a igual que en las tablas de frecuencias, bastará con identificar cual es el intervalo que primero deja por debajo de sí el 50 % de las observaciones más pequeñas.

23. MEDIANA - Propiedades • Como medida descriptiva, tiene la ventaja de no estar afectada por las observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma la variable, sino del orden de las mismas. Por ello es adecuado su uso en distribuciones asimétricas. • Es de cálculo rápido y de interpretación sencilla. • A diferencia de la media, la mediana de una variable discreta es siempre un valor de la variable que estudiamos (ej. La mediana de una variable número de hijos toma siempre valores enteros). • Es función de los intervalos escogidos. • Puede ser calculada aunque el intervalo inferior o el superior no tenga límites. • En variables ordinales puede ser calculada pero sólo indica una clase dentro de la distribución. Por ejemplo, si se analiza el nivel educativo podría suceder que al menos el 50% tienen estudios de cuando más (por ejemplo) secundaria, porque se alcanza este porcentaje en esta categoría de la variable.

24. MODA o MODO: • Llamaremos moda o modo a cualquier máximo de la distribución de frecuencias, es decir, cualquier valor de la variable que posea una frecuencia mayor que todas sus anteriores y todas sus posteriores. • En el caso de variables continuas es más correcto hablar de intervalos modales.

25. ¿Cómo se reconoce la moda (las modas) en una tabla estadística? Observando el valor (los valores) de la variable que tiene(n) la mayor frecuencia relativa. ¿Cómo se reconoce la moda (las modas) en el diagrama de barras? Observando el valor (los valores) de la variable que presenta(n) el rectángulo más alto. La notación habitual para el modo es: XMo.

26. MODA - Propiedades • Es muy fácil de calcular ( o identificar) • Puede no ser única (distribución unimodal, bimodal, etc). • Es función de los intervalos elegidos a través de su amplitud, número y límites de los mismos. • Aunque el primero o el último de los intervalos no posean extremos inferior o superior respectivamente, la moda puede ser calculada.