Aflfræði snúnings

1. Aflfræði snúnings

2. Aflfræði snúnings • Snúningsorka og hverfitregða • Stífur hlutur sem snýst hefur hreyfiorku. Hraði einstakra parta hlutarins er háður hornhraðanum og fjarlægðinni frá snúningsásnum. • Ef hluturinn er hugsaður samsettur úr mörgum massaögnum með massa mi og hornhraðinn er  er hraði agnar i: • Þá er hægt að rita snúningsorkuna sem

3. Aflfræði snúnings • Summan í síðustu jöfnu er kölluð • hverfitregða hlutarins. Hverfitregðan er mælikvarði á tregðu hlutarins til að breyta snúningsástandi sínu. Það er hefur svipað hlutverk hér og massinn í línulegri aflfræði. • Snúningsorkuna má þá rita sem

4. Aflfræði snúnings • Hverfitregða ýmissa forma • Ef finna á hverfitregðu stífs hlutar þarf almennt að heilda massadreifinguna í honum yfir allt rúmmál hans: • dm er massadreifingin

5. Aflfræði snúnings • Hverfitregða mjórrar stangar um enda • Mjó stöng með lengd L og massa M og massinn er jafndreifður hefur hverfitregðu um enda sem er fundinn svona: • því dm= M/L∙dx • Útleðslan gildir eingöngu ef þvermál stangarinnar er lítið miðað við lengd hennar.

6. Aflfræði snúnings • Hverfitregða massífs sívalnings um miðás • Til að skoða þetta þarf að hugsa sér að taka rúmmál örþunns sívalnings með radíus r og þykkt dr. Massadreifingin er dm og hverfitregða slíks sívalnings er þá dI = r2∙dm og massadreifindin er fall af r og dr. Eðlismassi efnisins er  og rúmmál örsívalningsins er dV og þá fæst

7. Aflfræði snúnings • Þetta þarf að heilda yfir allan sívalninginn

8. Aflfræði snúnings • Hverfitregða massífrar kúlu • Massíf kúla með radíus R og massa M hefur hverfitregðu um ás sem gengur gegnum miðju hennar hverfitregðu sem finn má svona: Ef kúlan væri skorin í örsneiðar af þykkt dx þannig að sneiðarnar eru sívalningar með miðju á snúningsásnum fæst: Ef x er fjarlægð sneiðarinnar frá miðju kúlunnar er radíus sneiðarinnar r. Hverfitregða örsívalningsins er dI = 1/2∙r2∙dm

9. Aflfræði snúnings • dm er massi sneiðarinnar, það er margfeldi eðlismassans og rúmmáls sneiðarinnar. dm er því • Þá er eftir að heilda yfir alla kúluna með það í huga að radíus örsívalninganna er og hverfitregðan er

10. Aflfræði snúnings • Veltiorka • Þegar hlutur veltur er hann bæði með skriðorku og snúningsorku. Hreyfiorka hans er því • IC stendur fyrir hverfitregðuna um massamiðju hlutarins. • Fyrir hlut með hringlaga þversnið er hraðinn einfaldlega ef hann rennur ekki eða spólar á undirlaginu • Hraði snertipunktsins á hverju augnabliki er þvi hverfandi.

11. Aflfræði snúnings • Regla Steiners • Fyrr var sýnt að hreyfiorku hlutar megi skrifa sem summu af hreyfiorku massamiðjunnar og hreyfiorku sem kemur frá afstæðri hreyfingu miðað við massamiðjuna. • Ef þetta er skoðað og haft í huga að vC = a∙, a er fjarlægð massamiðjunnar frá snúningspunkinum, fæst

12. Aflfræði snúnings • Þetta gefur þá reglu Steiner að hverfitregða hlutar um hvaða punkt sem er megi rita sem

13. Aflfræði snúnings • Vægi sem vigurstærð • Vægi má rita sem vigur • Stefna vægisins er hornrétt á flötinn sem staðarvigurinn og kraftvigurinn mynda. Snúningsstefna vægisins er fundin þannig að ef þumall hægrihandar vísar í stefnu vægisins og hinir fingurnir eru kreftir eru fingurgómar þeirra í stefnu snúningsins.

14. Aflfræði snúnings • Hverfiþungi • Hverfiþungi agnar er vægi skriðþunga hennar um valinn punkt. • Hverfiþunginn er því vigurstærð sem er skilgreind svona • Stefna hverfiþungavigursins er þvert á flötinn sem stöðuvigurinn og skriðþunginn spanna.

15. Aflfræði snúnings • Hverfiþungi stífs hlutar • Stífur hlutur sem snýst um fastan á hefur hvefiþunga sem finna má svona þegar haft er í huga að hornhraði allra agna í honum er sá sami: • vi = ∙ri og stærð hverfiþungans er • Þett má þá rita sem

16. Aflfræði snúnings • Hverfiþungalögmálið • Ef hverfiþunginn er diffraður með tilliti til tímans fæst • Fyrri liðurinn er 0 þar sem hraðinn og skriðþunginn eu samstefna og því fæst

17. Aflfræði snúnings • Það er tímaafleiðan af hverfiþunganum er vægið. • Breytingin á hverfiþunganum með tíma er því

18. Aflfræði snúnings • Heildarhverfiþungi kerfis með mörgum ögnum er vigursumma hverfiþunga einstakra agna. Ef heildarhverfiþunginn er diffraður með tilliti til tíma fæst að afleiðan er summa alls vægis sem verkar á agnirnar í kerfinu. Það vægi sem stafar af innri kröftum í kerfinu hlýtur að verða hverfandi þegar summað er yfir það. Þetta er samkvæmt gagnkraftlögmáli Newtons sem segir að kraftur og gagnkraftur hafi sömu átakslínu.

19. Aflfræði snúnings • Afleiðngin er að breyting á heildarhverfiþunga kerfisins er eingöngu vegna ytra vægis. Það er

20. Aflfræði snúnings • Fyrir stífan hlut er hverfiþunginn • Þetta gefur þá að • Þetta er samsvarandi kraftlögmáli Newtons og hér samsvarar hverfitregðan massanum og hornhröðunin línulegu hröðuninni.

21. Aflfræði snúnings • Varðveisla hverfiþungans • Ef ekkert ytra vægi verka á kerfi er hverfiþungi þess varðveittur. • Þetta þýðir fyrir stífan hlut að hann snýst með föstum hornhraða og snúningsásinn heldur stefnu sinni.

22. Aflfræði snúnings • Eðlisfræðilegur pendúll • Eðlisfræðilegur pendúll er stífur hlutur sem getur snúist um fastan punkt um láréttan ás. • Ef snúningspunkturinn er O og massamiðjan er í C er fjarlægð hennar frá O, a og hornið sem myndast milli lóðlínu gegnum O og tengilinu O og C kallað . Hverfitregða pendúlsins er I. • Þyngdarkrafturinn stefnir alltaf inn að miðstöðunni og er því í gagnstæða stefnu við útslagshornið .

23. Aflfræði snúnings • Vægi kraftsins er • og því er hægt að rita hreyfijöfnuna • hér verður notuð sú nálgun að þegar hornið er lítið er það um það bil jafnt sínus af því ef mælt er í radíönum

24. Aflfræði snúnings • Lausnir á þessu eru þekktar því þetta er sveiflujafnan og því er sveiflutíminn

25. Aflfræði snúnings • Snúða eða gíróskóp • Snúða er hlutur með sívalningssamhverfu sem snýst um miðás sinn. • Hvefiþungavigurinn er þá eftir miðásnum. • Ef ytra kraftvægi verkar á snúðu er hegðunin all sékennileg við fyrstu sýn. • Ef undirstaðan er tekin undan ásnum öðru megin fer snúðan að snúast um hina upphengjuna án þess að falla niður.

26. Aflfræði snúnings • Þessi lýsing er einföldun því í raun fellur lausi endinn fyrst örlítið niður en rís síðan aftur og fellur síðan enn á ný og svo framvegis. • Hvaða kraftar og hvaða vægi verka á snúðuna? • Þyngdin verka niður á við og kraftur frá upphengjunni upp á við. Breytinguna á hverfiþunganum má rekja til þess að þyngdin hefur vægi um upphengjuna. Breytingin er á hverju augnabliki hornrétt á hveriþungan og því breytist stærð hans ekki aðeins stefnan.

27. Aflfræði snúnings • Þessi hegðun er kölluð rásun og tíðni hennar er hægt að reikna svona: • eða fyrir horntíðni rásunarinnar