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CONTAMINACIÓN DE AGUA SUBSUPERFICIAL

CONTAMINACIÓN DE AGUA SUBSUPERFICIAL. 8.4. Retardación 8.5. Reacciones químicas 8.6. Solución numérica de las ecuaciones de transporte en agua subterránea. Retardación.

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CONTAMINACIÓN DE AGUA SUBSUPERFICIAL

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Presentation Transcript


  1. CONTAMINACIÓN DE AGUA SUBSUPERFICIAL 8.4. Retardación 8.5. Reacciones químicas 8.6. Solución numérica de las ecuaciones de transporte en agua subterránea

  2. Retardación • En esta sección estableceremos como este fenómeno se da en la ecuación de transporte de especies y como esto influye el comportamiento del contaminante. • Consideramos la ecuación para la fase sólida: • Si consideramos la fase sólida, los términos B, C y F pueden ser descartados, por lo que queda: • Donde el subíndice y el superíndice S se refieren a la fase sólida. (8.20) (8.21) Regresar

  3. El primer término de la ecuación anterior describe el cambio de concentración en las especies i en la fase sólida. • El segundo término describe el movimiento de las especies i del fluido a la fase sólida por el cambio en el volumen de la fase sólida. • El tercer término describe el movimiento de las especies del fluido a la fase sólida en virtud de la difusión. • Experimentos han mostrado que es posible relacionar la concentración de las especies i en la fase sólida con la concentración de las especies i en solución. Una expresión común para esto es la isoterma de adsorción linear, la cual establece que en equilibrio se tiene: (8.22)

  4. (8.23) • Donde kd es el coeficiente de partición, y como se expresó anteriormente. • En nuestro caso a toma valores de W (agua) y S (granos de suelo). El termino <r>w es la densidad del fluido promediada sobre el volumen elemental representativo (REV). • La masa promedio de las fracciones masa para los granos, describe la masa de las especies i por unidad de masa de granos sólidos. • El producto de <r>wwiw es una medida de la concentración de i por unidad de volumen de solución.

  5. (8.24) • Sustituyendo la ecuación 8.22 en la ecuación 8.21tenemos: • Si existen 2 fases presentes los términos D y E en la ecuación 8.20 deben ser iguales y opuestos a los términos b y c en la ecuación 8.24. Por lo tanto si sumamos las ecuaciones 8.20 y 8.24 tenemos: • La combinación de los términos A y a nos dan: • El coeficiente de retardo R está definido como: (8.25) (8.26)

  6. (8.27) • Tal que la ecuación 8.26 se convierte en. • Llegamos a la forma final de la ecuación introduciendo la relación constitutiva que se encuentra en la ecuación 8.15 y removiendo la notación de promedio: • Escrito en términos de concentración tenemos: • Donde Qi es ahora expresada en términos de masa por unidad de volumen por unidad de tiempo. • Una manera de ver el impacto del retardo es examinar el impacto en el perfil de concentración calculado en un tiempo específico. (8.28) (8.29) Regresar

  7. Nótese que el incremento en el retardo nos da un decremento aparente en la velocidad de soluto, esto se logra ver en el valor de 0.5 de concentración. También es aparente el decremento en la dispersión efectiva con el incremento del retardo.

  8. Si consideramos dividir la ecuación 8.29 entre el retardo R, se puede observar que, la R dada debe ser más grande que la unidad. La velocidad aparente y la dispersión aparente se reducen. • Para observar el impacto del retardo consideramos el problema de la figura 8.3 pero agregando el retardo. • Inicialmente el sólido no adsorbe masa, después cuando el pulso comienza a propagarse la adsorción se inicia. • Los resultados se muestran en la figura 8.5. La curva R=1 (sin retardo) tiene su pico en aproximadamente 8 unidades. Con el incremento en el valor de R la curva se retraza. • La distancia que ha viajado el pico en el caso de R=2 es la mitad de la distancia del pico asociado a R=1.

  9. El incremento en el retardo ha causado que el pico sea más pequeño. Sin embargo en este caso el área bajo la curva nos es la misma. La razón de esto es que parte de la masa disuelta esta siendo adsorbida en la fase sólida.

  10. Para mostrar esto se presenta la figura 8.6. En este caso el problema es modificado tal que un tercer tipo de condición de frontera (Robbins) es usada en el lado interior de un dominio semi-infinito. • Para un periodo tf los flujos convectivos y dispersivos combinados son iguales a vCf, donde Cf es una constante prescrita. • La interpretación de este tipo de condición de frontera es que existe un cuerpo de agua fijo adyacente al acuífero que tiene una concentración Cf y que se infiltra al acuífero por un periodo de tiempo tf después del cual éste se detiene. Las condiciones auxiliares para este problema son: (8.30)

  11. Los perfiles de concentración en términos de la concentración de granos de suelo (b) y la concentración de solvente (a) son iguales, excepto por la escala en el eje de concentración. • Como la constante de equilibrio entre el fluido y el sólido es 0.1, no es de sorprenderse que la concentración de sólidos es 10 veces menos que la de la fase líquida. La razón de esto es que la relación entre wis y wiw (8.22) asume un equilibrio instantáneo de las concentraciones de las especies líquidas y sólidas.

  12. Reacciones químicas • Las reacciones químicas ocurren tanto en las especies adsorbidas como en las disueltas. Es necesario modificar la ecuación 8.21 para incluir la fuente de reacción química y el término de decaimiento, la cual es: • Donde r es la densidad del fluido y rs es la densidad del sólido. Los términos de la fuente se identifican con la fase líquida Qiw, y la fase sólida con Qis. • Ahora definimos el término especies. Una especie es sinónimo de especie química, la cual por definición es un conjunto de entidades moleculares químicamente idénticas. (8.31)

  13. Una especie puede ser tanto el solvente como el soluto, el solvente es la especie predominante. En general, estamos interesados en especies moleculares y iónicas. • La cinética de las reacciones químicas es el estudio de la velocidad con la que una reacción química ocurre y los factores que afectan esta velocidad. • La medida de la concentración usada en las relaciones de las reacciones cinéticas son masa por unidad de volumen, que es, ri en nuestra notación. • En cualquier caso, el protocolo usado para determinar la expresiones de cambio o las constantes de cambio, es desarrollado a través de una gráfica del cambio en la concentración vs tiempo.

  14. Cuando el logaritmo de la concentración se gráfica en relación al tiempo lineal, una relación de línea recta denota una razón de expresión de primer orden, r=-lri. • En general una relación de la forma r=-lnrin indica una ecuación de cambio de orden n. • En problemas de aguas subterráneas en donde el mecanismo primario para los cambios químicos es la bioremediación, la expresión de cambio de primer orden es regularmente usada con una expresión de cambio de orden cero usada con concentraciones altas de sustratos.

  15. Consideremos ahora la ecuación 8.31. Los términos de reacción pueden ser considerados colectivamente o individualmente. • Los experimentos usados para determinar las expresiones de cambio y sus constantes de cambio asociadas, cuando las reacciones ocurren en los granos de suelo y en solución, no es posible de extraer de la expresión para el suelo y para el agua en forma separada. • Con esto en mente, combinamos los dos términos de fuente que aparecen en la ecuación 8.31: • Si asumimos que solo una constante de cambio puede ser observada para el experimento, y este es conducido en un suelo saturado, entonces: (8.32)

  16. (8.33) • Y tenemos que: • En la figura 8.7 se dan los perfiles de concentración calculados para un tiempo determinado y un conjunto de constantes de reacciones de cambio de primer orden. • El caso en donde las reacciones no están en curso, el perfil es el de transporte sin retardo y sin reacciones químicas, se refleja en la curva de la figura 8.7 (línea punteada). • Mientras l se incrementa, la concentración se reduce notablemente debido al término de reacción (R). • El área total bajo las curvas con la degradación química incrementada, se reduce debido a la pérdida de especies a través de las reacciones químicas y bioquímicas.

  17. La curva se mantiene en la unidad en la fuente debido al primer tipo de condición de frontera empleada.

  18. Podemos ahora examinar los efectos combinados de la retardación y la reacción química. Usando las mismas condiciones auxiliares de la ecuación 8.30, para obtener los perfiles que se muestran en la figura 8.8. • La curva de R=1, l=0 es la referencia, en esta curva ni la retardación ni la reacción química se representa. • La suma de la retardación (R=1.5, l=0 ) causa que el frente disminuya y que la dispersión decrezca. • El efecto de decaimiento (l=0.05) es el decremento del valor de la concentración y la distorsión del frente, en términos tanto de ubicación como de agudeza (pico).

  19. El mayor impacto es observado cuando la retardación y el decaimiento están presentes (R=1.5, l=0.05).

  20. Solución numérica de las ecuaciones de transporte en agua subterránea • En el capitulo 7 se considero una solución numérica para la ecuación de flujo subterráneo. En esta sección extendemos estos conceptos para considerar una solución numérica para la ecuación de transporte de especies. • Para entender estas limitaciones, consideramos la ecuación 8.29, la cual rescribimos por conveniencia como la ecuación 8.34 con un termino adicional Qi. • La comparación de esta expresión con la ecuación de flujo subterráneo, los términos 1, 3 y 4 en la ecuación 8.34 tiene su correspondiente en la ecuación 7.61. (8.34)

  21. Si conocemos la variable ri que se sustituye por la carga hidráulica h, las ecuaciones puede tener una correspondiente en la derivada con respecto al tiempo en el primer termino, segunda derivada en el espacio para el tercer termino y el termino fuente en el cuarto término. • El segundo termino es único para la ecuación 8.34, y es el termino que causa dificultades a la hora de resolver la ecuación. • Esta derivada espacial de primer orden cambia el carácter de la ecuación de una ecuación de difusión a una ecuación conveción-difusión.

  22. Como el termino convectivo (2) es muy grande en comparación con el termino término dispersivo (3), la ecuación comienza a comportarse como una función hiperbólica, la cual representa el movimiento del frente. • El reto es representar el frente, usando los métodos clásicos de diferencias finitas y elemento finito. • Como el término de dispersión (3) es relativamente pequeño que el término convectivo (2), las oscilaciones comienzan a aproximar la localización del frente. • La solución se considera estable, puesto que las oscilaciones no crecen indefinidamente, aunque físicamente no representen la realidad.

  23. Las oscilaciones pueden ser suprimidas por la incorporación de una dispersión artificial a través de una aproximación exacta de orden inferior para la derivada del tiempo de primer orden o para la derivada en el espacio, la cual aparece en la ecuación 8.34. • El efecto de uniformidad generado por este termino de error es llamado dispersión numérica. • De este modo podemos tener el frente con oscilaciones o un frente de difusión artificial que oscila libremente. • Consideramos la forma general utilizada en el capitulo 7 para representar la primera derivada en diferencias finitas. (8.35)

  24. Si a=0.5 el error de truncamiento es difusivo. Sin embargo, cuando a>0.5 el términotiene signo positivo, por lo que puede ser inestable. • Por lo tanto la primera derivada tiener una aproximación que esta sobrestimada en lugar de subestimada. • En MEF, si una aproximación asimétrica para la primera derivada se logra, cuando un error de truncamiento de la forma dispersiva se generada. • Como punto de partida, se considera la ecuación 8.36 para la variable ri: (8.36)

  25. Donde • El termino que nos interesa, no se aproxima en la ecuación de aguas subterránea es: • Donde generalizamos la aproximación para usar una función de peso g(x)im que es diferente a la función base ℓjn(x). • Ahora consideramos una función base lineal (a) y una función cuadrática (b)

  26. En la figura en la sección B la función base lineal es la curva b y la función de peso cuadrático es la curva a. • En la figura en la sección A se muestran se muestran las funciones de peso para ambos nodos definidos para un elemento. • La flecha en la sección A muestra el sentido del término de la velocidad. • La forma de la función de peso asimétrico es: • Donde

  27. Nótese que para a=0, se tienen las funciones estándar lineales, que es la curva b en la sección B. Como a se incrementa, gj(a,x) se incrementa. • Por lo que, en una perspectiva practica, para reducir el comportamiento oscilatorio es incrementa la velocidad.

  28. Una estrategia alternativa para resolver la ecuación de transporte, utilizando el concepto de derivada substancial, se puede definir como: • Donde D(·)/Dt es la derivada substancial y v es la velocidad del fluido. • La derivada substancial describe la taza de cambio en un sistema coordenado. • Así, podemos rescribir la ecuación 8.34 olvidando para esto los efectos de retardación (8.37) (8.38)

  29. Cuando extendemos esta ecuación tenemos: • Reagrupando los términos en la expresión: • Tal que, asumiendo la ecuación balance de masa. • Dando • Usando la ecuación 8.37 obtenemos (8.39)

  30. De esta forma, es claro que si nos movemos con el fluido a una velocidad v, la ecuación se parece a la ecuación de difusión, que, como la ecuación de flujo subterráneo es muy fácil de resolver numéricamente. • Sin embargo, resolver la ecuación 8.39 la especie se debe de mover junto con el fluido. • Dos aproximaciones distintas se usan para representar el movimiento del fluido. • Uno método es llamado el método de características, en esta las partículas se mueven junto con el fluido y cada partícula tiene una característica de concentración.

  31. Las partículas son integradas para cada lapso de tiempo y la información es transferida a una malla en diferencias finitas. • La ecuación de dispersión es ahora resuelta dentro de la malla y el movimiento de las partículas es ajustada por efectos de dispersión. El procedimiento es repetido para cada lapso de tiempo. • Una aproximación considerablemente diferente es usado en la técnica de elemento finito. • La ecuación de difusión es ahora para un nuevo lapso de tiempo usando la formulación estándar de elemento finito.

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