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6 － 8 线性空间的同构

6 － 8 线性空间的同构. 设 V 是任意 n 维线性空间，则 V 的每一个元素（在某一组基下）都有一组坐标，从而与 P n 中的一个向量 1 － 1 对应，从而给出了 V 与 P n 的 1 － 1 对应，而且这种对应满足其运算，从而线性空间 V 的讨论可以归结为 P n 的讨论。. 同构映射与同构 设Ｖ和Ｗ是数域Ｆ上两个向量空间。Ｖ到Ｗ的一个映射 f 叫做一个 同构映射 , 如果： (i) f 是双射； (ii) 对于任意 ξ,η∈ Ｖ , f(ξ ＋ η) ＝ f(ξ) ＋ f(η) ； (iii) 对于任意 a∈ Ｆ ,ξ∈ Ｖ ,

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6 － 8 线性空间的同构

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  1. 6－8 线性空间的同构 设V是任意n维线性空间，则V的每一个元素（在某一组基下）都有一组坐标，从而与Pn中的一个向量1－1对应，从而给出了V与Pn的1－1对应，而且这种对应满足其运算，从而线性空间V的讨论可以归结为Pn的讨论。

  2. 同构映射与同构 • 设Ｖ和Ｗ是数域Ｆ上两个向量空间。Ｖ到Ｗ的一个映射 f 叫做一个同构映射,如果： • (i) f 是双射； • (ii)对于任意ξ,η∈Ｖ, • f(ξ＋η)＝f(ξ)＋f(η)； • (iii)对于任意 a∈Ｆ,ξ∈Ｖ, • f(aξ)＝af(ξ). • 如果线性空间Ｖ与Ｗ之间存在一个同构映射f，就称Ｖ与Ｗ同构，记为Ｖ≌Ｗ。

  3. 同构映射的性质 设f是Ｖ到Ｗ的同构映射，那么： (Ⅰ) f(０)＝０； (Ⅱ) f(-α)＝-f(α)； (Ⅲ)f(a1α1+…+anαn)=a1f(α1)+…+af(αn); (Ⅳ)V中的向量组α1,…,αn线性相关等价于 W中的向量组f(α1),…,f(αn)∈Ｗ线性相关； (Ⅴ)f 的逆映射 f-1是Ｗ到Ｖ的同构映射

  4. 同构映射的逆映射是同构映射 线性空间的同构关系满足对称性

  5. 两个同构映射的乘积也是同构映射 线性空间的同构关系满足传递性

  6. *Th12 数域F上的两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。 • 线性空间的抽象讨论中主要讨论其代数性质，这样有限维线性空间中其维数是唯一的本质特性 • 特别任何 n 维向量空间Ｖ都与Pn同构，因而Ｖ的任意一组向量α1,…,αs与Ｆn的向量组f(α1),…,f(αs)有完全相同的线性关系，因此它的线性相关性问题也可以通过矩阵方法解决。

  7. Ex.1；证明，复数域C作为实数域R上的向量空间，与V2同构。Ex.1；证明，复数域C作为实数域R上的向量空间，与V2同构。 Ex.2；设 是线性空间V到W的一个同构映射，U是V的一个子空间，证明： 是W的一个子空间。 Ex.3：证明：线性空间F[x]可以与它的一个真子空间同构。 V= F[x]，W=

  8. 学生练习: • 证明线性空间的同构关系具有自反性、 对称性、 传递性.

  9. 思考题 • 同构的思想是什么? • 如果一个线性空间与其真子空间同构一定得 • 到什么结论? • 指出一个有限维线性空间同构的充分必要条件. • 谈一谈你对同构的认识. • 作业:P275-11.

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