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三角形

三角形. 回民中学付灵强. 知识要点 1 ： 理解三角形、三角形的顶点、边、内角、外角、角平分线、中线和高等概念 ; 了解三角形的稳定性 ; 会画出任意三角形的角平分线、中线和高。. A. C. B. D. 例 1 、 (02 吉林 ) 木工师傅在作完门框后 , 为防止变形 , 常象图中所示那样钉上两条斜拉的木板条 ( 即图中的 AB 和 CD), 这样做根椐的数学原理是 。. 三角形的稳定性. A. H. E. B. C. D.

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Presentation Transcript

  1. 三角形 • 回民中学付灵强

  2. 知识要点1： 理解三角形、三角形的顶点、边、内角、外角、角平分线、中线和高等概念;了解三角形的稳定性;会画出任意三角形的角平分线、中线和高。

  3. A C B D 例1、(02吉林)木工师傅在作完门框后,为防止变形,常象图中所示那样钉上两条斜拉的木板条(即图中的AB和CD),这样做根椐的数学原理是 。 三角形的稳定性

  4. A H E B C D 例2、在△ABC中，高AD和BE所在直线的交点是H，且BH=AC，求∠ABC的度数。 解：(1)当∠ABC为锐角时, ∵AD,BE是高 ∴在Rt△ADC和Rt△BDH中, ∠C=∠BHD(同角的余角相等) 又∵BH=AC ∴ △ADC≌ △BDH(AAS) ∴AD=BD ∴ △ADB是等腰直角三角形 ∴∠ABC=45°

  5. A E D B C H （2）当∠ABC为钝角时，如图。同理：可证△ADB为等腰三角形，∠ABD=45° ∴ ∠ABC=135° 故∠ABC的度数为：45°或135°

  6. (2) A A B C D B C 练习:若等腰三角形腰上的高等于腰长的一半,则它的顶角为. 析: (1) D

  7. 知识要点2： 理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质定理及推论；会根据线段的长度判断它们能否构成三角形。

  8. 例3、(01 南京)有下列长度的三条线段，能构成三角形的是( ) A、1cm 2cm 3cm B、 1cm 2cm 4cm C、2cm 3cm 4cm D、 6cm 2cm 3cm C

  9. 略解： 解得： 也可以把a当做第三边，即： 练习：（1）（河北）已知三角形三条边长分别为2，3和a，求a的取值范围。

  10. 略解： 又∵AB的长为奇数， ∴AB=7 (2)△ABC中,BC=2,AC=7,AB的长为奇数,求AB。

  11. A 5 3 D C B （3）已知三角形的两边分别为3和5，第三边上的中线a的取值范围是（ ） A、1.5＜a＜2.5B、 1.5＜a＜4 C、 1＜a＜2.5 D、 1＜a＜4 D 5-3＜2a＜5+3 2<2a<8 1<a<4 E

  12. (4)若等腰三角形两边的长分别为6cm和8cm，则周长为 ； 22cm或20cm (5)若等腰三角形两边的长分别为4cm和8cm，则周长为 ； 20cm

  13. 知识要点3： 掌握三角形内角和定理，掌握三角形外角等于和它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质；会对 三角形按不同标准（边、角）分类。

  14. A A E D 1 2 F E B C C B D A E 1 2 C D B （1）

  15. 不等边三角形 边 腰与底不等的等腰三角形 等腰三角形 等边三角形 直角三角形 角 锐角三角形 斜三角形 钝角三角形 （2）分类：

  16. 例4、有下列命题： (1)一个三角形中至少有一个角不大于60°; (2)有一个外角是钝角的三角形是锐角三角形; (3)等边三角形也是锐角三角形； (4)三角形的外角等于这个三角形的两个内角 的和;其中真命题的个数有( )个. A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 B

  17. y E B C O A x 例5.如图己知:点A,B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上移动,BE是∠ABy的平分线,BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C, 试问∠ACB的大小是否发生变化,如果保持不变化,请给出证明;若变化,请求出变化范围.

  18. y E B C O A x 答:不变化.证明: ∵∠yBA= ∠ OAB+ ∠ xOy= ∠ OAB+900 BE平分∠ABy ∵ AC平分∠OAB

  19. （ ） 练习： D A.直角三角形; B.等腰三角形; C.钝角三角形; D.等边三角形. 解：两边乘以2移项得： a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 所以(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 a-b=0 a-c=0 b-c=0 即：a=b a=c b=c 所以a=b=c

  20. (2)已知△ABC三边分别为a,b,c,且 a2-ab=c(a-b),则这个三角形一定是（ ） C A.不等边三角形； B.等边三角形； C.等腰三角形； D.直角三角形. 解:∵a(a-b)-c(a-c)=0 ∴(a-b)(a-c)=0 ∵a=b或a=c ∴一定是等腰三角形.

  21. A 600 O P N 例7.如图己知:OA=a,P是射线上一动点(即P可以在射线ON上运动),∠AON=600.回答下列问题: (1)当OP等于多少时, △AOP为等边三角形? (2)当OP等于多少时, △AOP为直角三角形? (3)当OP满足什么条件时, △AOP为锐角三角形? (4)当OP满足什么条件时, △AOP为钝角三角形?

  22. A A O P N O P N (1)∵∠O=600 ∴当OP=OA时，△AOP为等边三角形. 即当OP=a时，△AOP为等边三角形 (2)当∠A=900或∠OPA=900时, △AOP都是直角三角形。 ①当∠OPA=900时， ∵ ∠O=600 ∴ ∠A=300 ∴OP=0.5×OA=0.5a

  23. A N O P ②当∠OAP=900时，∠OPA=300，∴OP=2OA=2a 即当OP=2a时，△AOP是直角三角形； 综合①②得：当OP=0.5a或OP=2a时,△AOP是直角三角形

  24. A P4 P P5 P3 N O P (3)当2a>OP>0.5a时,△AOP是锐角三 角形; (4)当OP<0.5a或OP>2a时,△AOP是钝角三角形.

  25. 例8、(单元达标题六)已知△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程例8、(单元达标题六)已知△ABC的两边AB,AC的长是关于x的一元二次方程 x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根,第三边BC的长为5. 求(1)k为何值时, △ABC是以BC为斜边的直角三角形; (2) k为何值时, △ABC是等腰三角形,并求△ABC的周长.

  26. 解: （解法一） (1)易知AB+AC=2k+3，AB·AC=k2+3k+2 又BC=5为斜边 ∴AB2+AC2=AB2 即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25 解得:k1= -5 k2=2 其中当k= -5 时,所求方程的两根均为负值 不合题意,故舍去. 当k=2时, △ABC是以BC为斜边的直角的直角三角形.

  27. x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0,第三边BC的长为5. (2)由△= (2k+3)2-4(k2+3k+2)=1>0 可知:AC=AB 不成立. 显然5是原方程的根,可求得k1=3 k2=4 ①当k=3时,x2_9x+20=0 ∴x1=4 x2=5 ∴等腰△ABC的三边长为:5,5,4,周长为14 ②当k=4时, x2_11x+30=0 ∴x1=5 x2=6 ∴等腰△ABC的三边长分别为5,5,6,周长为16

  28. x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0 • 解法二、原方程左边分解因式得： • [x-(k+1)][x-(k+2)]=0 ∴x1=k+1 x2=k+2 • (k+1)2+(k+2)2=25 2k2+6k-20=0 k2+3k-10=0 ∴k=2 或 k=-5（舍去-5) (2)∵k+1≠k+2 ∴ k+1=5或k+2 =5 ∴k=4 或 k=3 ① k=4 时,x1=5 x2=6 即周长为16. ② k=3 时, x1=4 x2=5 即周长为14.

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