Теоретические основы компьютера

1. Теоретические основы компьютера • Представление чисел • Машинная арифметика • Представление команд

2. Системы счисления. Перевод десятичных чисел из одной системы счисления в другую и обратно • Системы счисления. Виды систем счисления. • Перевод десятичных чисел из десятичной системы счисления в любую другую и обратно. • Перевод целых чисел из десятичной системы счисления с помощью приложения Калькулятор в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления. • Перевод целых чисел из десятичной системы счисления с помощью приложения Excel в двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления, используя общий метод перевода.

3. - различные способы записи одного числа Основные понятия темы Цифра - это символ, используемый в записи числа. 12 двенадцать - значение числа остается неизменным ХII Система счисления - это способ записи (изображения) чисел. Алфавит системы счисления - это множество всех символов (знаков), используемых для записи чисел в данной системе счисления. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9- алфавит десятичной позиционной системы счисления I, V, X, L, C, D, M- алфавит римской непозиционной системы счисления

4. Системы счисления Непозиционные системы счисления Позиционные системы счисления Виды систем счисления Непозиционные системы счисления- системы счисления, в которых от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает. Позиционные системы счисления- системы счисления, в которых величина, обозначаемая цифрой в записи числа зависит от ее позиции.

5. 10 10 9 + + Непозиционные системы счисления Примером непозиционной системы счисления являетсясистема счисления Древнего Египта. Ее алфавитом служили следующие знаки: Пример числа, записанного в системе счисления Древнего Египта: Другой пример непозиционной системы счисления-римская система счисления. В ее основе лежали знаки: Пример числа, записанного в римской системе счисления: X X I Х От положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает = 29

6. единицы десятки сотни тысячи десятки тысяч сотни тысяч Число в позиционной системе счисления Привычная нам десятичная система является позиционной системой счисления: Цифры 5, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения . 155255 = 1 ·105 + 5 ·104+ 5 ·103+ 2 ·102 + 5 ·101+ 5 ·100 Основание позиционной системы счисления - целое число, которое возводится в степень. 10 - основание десятичной позиционной системы счисления. Базис позиционной системы счисления - последовательность чисел, каждое из которых определяет количественный эквивалент (вес) символа в зависимости от его места в записи числа. 101, 102, 103, 104, … , 10n, … - базис десятичной позиционной системы счисления.

7. Пример представления числа в 16-ричной системе счисления: Пример представления числа в 10-тичной системе счисления: 6110= 6 ·101 + 1 ·100 3D16= 3 ·161 + 13 ·160 3420,57610= 3 ·103 + 4 ·102 + 2 ·101 + 0 ·100 + + 5 ·10-1 + 7 ·10-2 + 6 ·10-3 A32D,2E16= 10 ·163 + 3 ·162 + 2 ·161 + 13 ·160 + + 2 ·16-1 + 14 ·16-2 3420,57610= 3 ·103 + 4 ·102 + 2 ·101 + 0 ·100 + + 5 ·10-1 + 7 ·10-2 + 6 ·10-3 Пример представления числа в 2-ичной системе счисления: 1111012= 1 ·25 + 1 ·24 + 1 ·23 + 1 ·22 + 0 ·21 + 1 ·20 = 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 6110 111,0112= 1 ·22 + 1 ·21 + 1 ·20 + 0 ·2-1 + + 1 ·2-2 + 1 ·2-3 Представление числа в системе счисления 1 ·105 + 5 ·104 + 5 ·103 + 2 ·102 + 5 ·101 + 5 ·100 155255 = 2534,65 = 2 ·103 + 5 ·102 + 3 ·101 + 4 ·100 + 6 ·10-1 + 5 ·10-2 Формула представления числа Хb = an· bп + … + a0 · b0 + a-1 · b-1 + ...

8. алфавит:цифры0, 1 алфавит:цифры0…9 двоичнаясистемасчисления десятичнаясистемасчисления базис: ...10-п,…, 10-2, 10-1100, 101, 102, …, 10п,... базис: ...2-п,... 2-2, 2-1 20, 2, 22, …, 2п,… основание:число 2 основание:число 10 Примеры позиционных систем счисления Десятичная система счисления Двоичная система счисления Пример записи числа в системе счисления : = 1111012 6110

9. алфавит:цифры0…9 16 - ричнаясистемасчисления десятичнаясистемасчисления алфавит:цифры0-9,буквы A, B, C, D, E,F базис: ...10-п,…, 10-2, 10-1100, 101, 102, …, 10п,... базис: ...16-п,…, 16-2, 16-1160, 161, 162, …, 16п,... основание:число 16 основание:число 10 Примеры позиционных систем счисления Десятичная система счисления Шестнадцатиричная система счисления Пример записи числа в системе счисления : 3D16 6110 =

10. 2359 1 1179 1 589 1 294 0 407 147 1        2 2 2 2 2 2 2 73 1 814 0 36 0 18 0 256 512 048 024 628 096 1 1 0 0 1 0 Порядок записи остатков 9 1 4 0 Порядок записи целых чисел 2 0 1 1 Перевод десятичного числа 2359,407 в двоичное Нахождение целой части числа (деление на 2) Нахождение дробной части числа (умножение на 2) Целая часть : 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 Дробная часть : 0 1 1 0 1 0 0 2359,407 = 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1, 0 1 1 0 1 0 02

11. Использование калькулятора при переводе чисел из одной системы счисления в другую • Режим работы в десятичной системе счисления 6110 • Режим работы в двоичной системе счисления 1111012 • Режим работы в восьмеричной системе счисления 758 • Режим работы в шестнадцатиричной системе счисления 3D16

12. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 100 110 110 1000 111 1 0 0 1 0 1 1 +  0 0 1 1  + – 1012 1112 10102 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 102 1 1 0 1 1 1 0 1 1102 – – 1 1 1 1 1 1 1 + Двоичная арифметика Первые девять чисел двоичной системы счисления Таблица сложения 10012 10112 0 0 1 1 1 0 0 1 Таблица умножения 10112 111102 110 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 110 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1

13. Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную Алгоритмы, описанные ниже, могут применяться при переводе чисел между системами счисления, основания которых являются степенями числа 2. Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления. Для записи двоичных чисел используются две цифры, т.е. в каждом разряде числа возможны два варианта записи. Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит. Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, т.е. в каждом разряде числа возможны восемь вариантов записи. Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита. Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать цифр, т.е. в каждом разряде числа возможны шестнадцать вариантов записи. Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита.

14. Для перевода дробного двоичного числа в восьмеричное нужно: • Запись числа разбить слева направо на триады (если в последней правой группе окажется меньше, чем три разряда, то необходимо её дополнить справа нулями) • Преобразовать каждую триаду в восьмеричную цифру Переведём таким образом двоичное число 0,1101012 в восьмеричное: Получаем 0,1101012 = 0,658

15. Для перевода целого двоичного числа в шестнадцатеричное нужно: • Разбить его на группы по четыре цифры (тетрады), справа налево (если в последней левой группе окажется меньше, чем четыре разряда, то необходимо её дополнить слева нулями) • Преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру Переведём таким образом двоичное число 1010012 в шестнадцатеричное: Получаем 1010012 = 2916

16. Для перевода дробного двоичного числа в шестнадцатеричное нужно: • Разбить его на тетрады, слева направо (если в последней правой группе окажется меньше, чем четыре разряда, то необходимо её дополнить справа нулями) • Преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру, воспользовавшись для этого предварительно составленной таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных цифр Переведём таким образом дробное двоичное число 0,1101012 в шестнадцатеричную систему счисления: Получаем 0,1101012 = 0,D416

17. Перевод чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную: • для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в триаду • для перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную каждую цифру числа надо преобразовать в тетраду Переведём дробное восьмеричное число 0,478 в двоичную систему счисления: Получаем 0,478 = 0,1001112 Переведём целое шестнадцатеричное число АВ1616 в двоичную систему счисления: Получаем АВ1616 = 101010112

18. Для перевода целого двоичного числа в восьмеричное нужно: • Разбить его на группы по три цифры, справа налево (если в последней левой группе окажется меньше, чем три разряда, то необходимо её дополнить слева нулями) • Преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру Переведём таким образом двоичное число 1010012 в восьмеричное: = 518 101 001 2 Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу преобразования двоичных триад (групп по три цифры) в восьмеричные цифры.

19. Использование калькулятора при переводе чисел из одной системы счисления в другую ПРИМЕР Перевести число 2359 из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную при помощи калькулятора • Выбираем режим работы в той системе, в которой дано число ( десятичная система); • Набираем число, с которым хотим работать (2359); • Переключаемся в режим работы системы счисления, в которой требуется получить ответ (шестнадцатиричная система) и получаем результат.