Les mathématiques sont d’abord une science qui nous apprend des choses sur le monde.

1. Les mathématiques sont d’abord une science qui nous apprend des choses sur le monde. Expérimenter le monde, c’est investir le réel de significations, de signes. Traiter ces signes, c’est faire des mathématiques.

2. Faut-il toujours résoudredes problèmes pour apprendre ? Action, langage et entraînement en mathématiques Thierry DIAS, HEP Lausannethierry.dias@hepl.chhttp://perso.orange.fr/dias.thierry/

3. "N'est-il pas indispensable de faire bien saisir à l'enfant, puis à l'adolescent, les liens étroits qui unissent les mathématiques au monde sensible. N'est-ce pas là un moyen pour mettre en confiance le débutant, pour éviter qu'il ne se sente très vite rebuté par une étude où il pourrait ne voir qu'une sorte de jonglerie, souvent purement verbale et sans signification apparente. » qui a dit ? Instructions Officielles, France, janvier 1957

4. apprendre ? observation : perception/compréhension association : faire des liens expression : narrer, organiser OvideDecroly L’enfant est un savant, un explorateur en herbe. Son apprentissage est essentiellement sensitif. « Aide-moi à faire tout seul. » Maria Montessori

5. extraits des programmes 2008 L’apprentissage des mathématiques développe l’imagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. La résolution de problèmes joue unrôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages.

6. construire des capacités des méthodes, des techniques savoirs faire savoirs être une culture scientifique à l'école savoirs • développer des attitudes • raisonnement, recherche • pensée critique acquérir des connaissances des concepts, des objets, des relations

7. 1er problème de la matinée histoire de galettes…

8. savoirs savoirs faire savoirs être

9. construire une culture scientifique : • quelsproblèmes résoudre en mathématiques ? Résoudre des problèmes est une démarche scientifique globale qui ne dispense pas de faire des approximations, y compris en mathématiques…

10. 2ème problème de la matinée from USA !

11. Mon oncle va avoir besoin d'aide pour emballer ses cadeaux ! De combien de papier d'emballage-t-il a-t-il besoin pour envelopper chaque paquet ? Attention au choix de l’unité pour la réponse…

12. Si vous souhaitez participer à cette expérience mathématique avec vos élèves : thierry.dias@hepl.ch

13. Observation Déduction Questionnement La résolution de problème dépend de nombreuses compétences et s’appuie sur les capacités de raisonnement. Le raisonnement doit faire l’objet de situations d’apprentissage, il n’est pas inné. Le raisonnement n’est pas seulement déductif en mathématiques. Validation

14. Questionnement Stratégies • Clarification de la tâche • Recherche de sens • Formulation d'hypothèses • Mise en place d'investigations • D'une étape de l'investigation à l'autre  chainage : déduction, induction (descendant, remontant) • Inventaire des possibles • Essais : organisés, orientés; inorganisés Raisonnement expérimental Validation Observation • Confrontation entre les résultats et les attendus • Vérification des hypothèses • Argumentation et preuve • Contrôle des résultats • Faits et évènements • Recueil d'informations • Prélèvement des données • Sélection, focalisation, inhibition

15. 3ème problème de la matinée from USA, and in english !

16. Observation Raisonnement expérimental Déduction Questionnement Validation English problem ! In this addition problem, each letter stands for a different digit. TWO + TWO FOUR If T=7 and the letter O represent en even number, what is the only possible value for W ? Have fun !

17. Résoudre des problèmes pour apprendre en mathématiques, oui mais… Un rôle différent pour l’enseignant : adaptation, étayage Difficultés d’apprentissage

18. l’activité mathématique dans la démarche de résolution de problème incertitude débat contradictions pour l'enseignant comme pour l'élève cela signifie : "prendre des risques" enseignement : le contrôle de la situation est plus délicat du fait des interactions apprentissage : accepter l'inconnu du chemin à suivre et des connaissances en jeu Vers un rôle différent pour l’enseignant

19. Vers un rôle différent pour l’enseignant aide, accompagnement, étayage évaluer est une posture professionnelle qui n’oppose pas enseignant et élève accompagner la restitution des connaissances enseigner ne se limite pas à énoncer une liste de connaissances mais à les mettre en réseau aider à faire des liens des élèves qui ne dépendent pas de l’enseignant : apprendre en s’émancipant… rendre les élèves autonomes et responsables

20. oui mais comment ? résoudre des problèmes ?

21. agir ACTION dire recherche FORMULATION expériences et manipulations mettre en mots décrire mise en commun prouver VALIDATION retenir argumenter prouver entraînement INSTITUTIONALISATION stabilisation du savoir Une élaboration didactique possible

22. résoudre des problèmes : 3 atouts pour réussir action langage entrainement

23. l’action favoriser • des situations d'apprentissage avec : • du matériel adapté à manipuler, • des questions à expérimenter, • du sens en référence à un contexte.  connaissances en actes

24. Expérimenter, manipuler ?? ça prend beaucoup de temps ? Dessiner rapidement un carré. Partager le en 4 carrés juxtaposés ? Est-ce possible en 6 ? Et en 7 ?

25. LES CARRÉS DE MAC MAHON Combien peut-on trouver de façons différentes de colorier complètement ce carré avec 3 couleurs différentes ? Attention, les carrés ne doivent pas être superposables !

26. Expériences courtes

27. Expérience géométrique à deux ! Chacun à son tour on trace l’une des propositions. Le binôme qui finit en premier… … finit en premier !

28. Qui prendra le 20ème jeton ? 1 9 2 2 8 8 10 16 17 17 11 11 3 7 15 18 12 4 6 14 14 19 5 5 13 20 Jeu à deux : chacun à son tour prend 1 ou 2 jetons. Le joueur qui prend le n°20 gagne la partie.

29. la formulation permettre • de la place pour les activités langagières : • dire, parler, échanger • faire des hypothèses, • confronter les points de vue • acquérir progressivement un lexique.  connaissances en mots

30. Difficultés d’apprentissage Petit préambule avant d’échanger dans la bonne humeur dans les expériences qui vont suivre….

31. Tout acte de communication basé sur des interactions entre individus comporte plusieurs dimensions : • relationnelle, • affective, • psychologique. Difficultés d’apprentissage Ces dimensions sont toutes susceptibles de masquer les capacités langagières. Chapitre 2 : quelques difficultés

32. difficultés d’apprentissage chercher ensemble dialoguer expliquer interroger convaincre accepter l'opinion d'autrui comprendre et écouter assumer ses choix exposer ses doutes se confronter aux autres Chapitre 2 : quelques difficultés

33. agir dire prouver • Attention, sondage ! • Le problème suivant va nécessiter plusieurs étapes : • Lecture individuelle de l’énoncé (en silence….) • Réponse individuelle 1 (sans aucun échange) • Echanges oraux avec ses voisins pour tenter de convaincre de son choix. • Réponse individuelle 2.

34. le plus court chemin en touchant le mur ? 5 arrivée 4 3 2 1 départ agir dire prouver

35. Simon le dompteur fait marcher ses sept oiseaux bien en rang les uns derrières les autres. Range les animaux dans l’ordre en lisant attentivement les renseignements :

39. Apprendre à poser des problèmes. … … … … …

40. l’institutionnalisation préparer • s'entraîner pour : • "roder son moteur" (faire et refaire) • travailler à son rythme, à son niveau de compétence • se dépasser, aller plus loin /vs aller plus vite  utilisation des connaissances

41. FUBUKI facile… 2 4 7 17 3 13 5 1 9 15 6 8 8 19 18 utilise les jetons pour compléter les additions :

42. FUBUKI plus difficile… 2 8 18 3 5 1 12 6 4 15 7 9 16 9 20 utilise les jetons pour compléter les additions :

43. 5 = = = - + 3 8 +

44. = 20 5 + = - = - - + 3 8 +

45. 4 + : = 44 3 + - : = + + = 44 - x 8 6 -

46. Postface… quelques maximes personnelles : Tous les élèves ont un potentiel pour apprendre en mathématiques. Faire des mathématiques c'est aussi agir, discuter, penser. Enseigner les mathématiques par l’expérience c’est susciter la curiosité, cultiver le doute et exercer à la rigueur et la précision.

47. merci de votre attention thierry.dias@hepl.ch

49. "Continuez à faire pétiller les cerveaux à travers les mathématiques, à susciter les intelligences des êtres et des choses en donnant aux élèves le goût de savoir et d’apprendre. »