MATEMÁTICAS A. CS II

1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema III Determinantes Apuntes 2º Bachillerato C.S.

2. RANGO DE UNA MATRIZ POR DETERMINANTES TEMA 3.6 * 2º BCS Apuntes 2º Bachillerato C.S.

3. RANGO DE UNA MATRIZ • RANGO DE UNA MATRIZ • Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. • Ejemplo 1 • Sea la matriz A = • El rango de A no puede ser 4, puesto que no es una matriz cuadrada y el mayor determinante es de orden 3 • Veamos si es de rango 3: • Todos los determinantes que tomemos tendrán 2 columnas iguales, por lo que su valor es 0. El rango de A no puede ser 3  Rang (A) ≤ 2 • Veamos si el rango es 2: • 1 1 • 1 0 = 1 – 0 = 1 <> 0  Rango (A) = 2 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

4. RANGO DE UNA MATRIZ • RANGO DE UNA MATRIZ • Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. • Ejemplo 2 • Sea la matriz A = • Vemos que hay al menos un elemento ( a11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 • Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: • 1 0 • 0 1 = 1.1 - 0.0 = 1 <> 0 • Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

5. … Ejemplo 2 • Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: • 1 0 2 1 0 2 • 0 1 1 = 3-2-1=0; 0 1 1 = – 1 <> 0 • 1 1 3 0 1 0 • Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. • Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: • Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: • 1 1 0 0 1 0 0 1 1 • =1 . 1 3 3 - 0 . A12 + 2. 1 1 3 - 3 . 1 1 3 = • 1 0 1 0 1 1 0 1 0 • = 1.(3+3-1) – 0 + 2. (-1) – 3 (1) = 5 – 2 – 3 = 0 • Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A no vale 4 , al ser de valor nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 3. • Conclusión: Una fila o columna es combinación lineal de otra/s. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

6. RANGO DE UNA MATRIZ • RANGO DE UNA MATRIZ • Es el orden del determinante de mayor orden de valor no nulo de dicha matriz. • Ejemplo 3 • Sea la matriz A = • Vemos que hay al menos un elemento ( a11 = 1) que es distinto de 0, luego el RANGO de A es, al menos, igual a 1  Rang (A) ≥ 1 • Vemos que hay, al menos, un determinante de orden dos no nulo: • 1 0 • 0 1 = 1.1 - 0.0 = 1 <> 0 • Luego el Rango de A es, al menos, igual a 2  Rang (A) ≥ 2 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

7. … Ejemplo 3 • Veamos si existe algún determinante de orden 3 no nulo: • 1 0 2 • 0 1 1 = 1 +0+0 – 2 – 1 -0 = - 2 <> 0 • 1 1 1 • Luego el Rango de A es, al menos, igual a 3  Rang (A) ≥ 3. • Y por último sólo nos queda ver si el Rango de A es 4: • Desarrollamos por adjuntos de la primera fila: • =1 . - 0 . + 2. - 3 . = • 1.(2+1+0-0-2-1) – 0. (0+1+0-0-0-2) + 2. (0+1+0-0-0-2) – 3 (0+1+1-1-1-0) = • = 1.0 – 0.(-1) + 2. (-1) – 3.0 = 0 – 0 – 2 – 0 = -2 <> 0 • Luego podemos afirmar que el Rango de la matriz A vale 4 , al ser de valor no nulo el único determinante de orden 4 que existe  Rang (A) = 4. • Nota: Podíamos haber comenzado por estudiar si el Rango era 4, luego si era 3, luego si era 2 y por último si era 1. El orden es lo de menos. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

8. Aplicación práctica • Sea un sistema de 4 ecuaciones con cuatro incógnitas: x,y,z y t. • Estudiamos el rango del determinante que forman los coeficientes: • 1.-Si el rango es cuatro, Rag A = 4 • El sistema es compatible y determinado, • Cada incógnita tiene un valor real determinado. • Ejemplo: x = 2, y = – 3, z = 0 y t = 1/2 • 2.-Si el rango es tres, Rag A = 3 • El sistema es compatible e indeterminado. • El valor de las incógnitas no está determinado (no el de todas). • Tres de las incógnitas dependen del valor de la cuarta. • Ejemplo: x = 2 – t , y = – 3 + 2.t , z = 5 • Hay infinitas soluciones. • 3.-Si el rango es dos (o uno), Rag A = 2 (o Rag A = 1) • El sistema es compatible e indeterminado. • El valor de las incógnitas no está determinado. • Dos ( o una) de las incógnitas dependen del valor de las otras. • Hay infinitas soluciones. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

9. Ejercicio • Resuelve el siguiente sistema: • x – 2.y + z – t = – 4 • 2.x + y – z = 1  A.X = C • x – y + 3.t = 11 • 2.x – 3.y + z + 2.t = 7 • 1 - 2 1 - 1 x 4 • A = 2 1 - 1 0 X = y C = 1 • 1 – 1 0 3 z 11 • 2 - 3 1 2 t 7 • Lo puedo resolver aplicando el método de Gauss-Jordan. • Veamos el rango que presenta la matriz de los coeficientes. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

10. Ejercicio • Hallo el valor del determinante de la matriz. • Para ello busco el pivote, el 1 • Y opero a semejanza del Método de Gauss • 1 - 2 1 - 1 1 -2 1 -1 • |A| = 2 1 - 1 0 = 0 5 -3 2 • 1 – 1 0 3 0 1 -1 4 • 2 - 3 1 2 0 1 -1 4 • A la cuarta fila le resto la tercera: • 1 - 2 1 - 1 • |A| = 0 5 -3 2 = 0, al tener una fila todos ceros. • 0 1 -1 4 • 0 0 0 0 • El rango de A no es 4. El sistema es indeterminado. Apuntes 2º Bachillerato C.S.

11. Ejercicio • Busco cualquier determinante de orden 3 de valor no nulo. • 1 - 2 1 • |A| = 0 5 -3 = -5 +3 = -2 <> 0 • 0 1 -1 • El rango de A es 3, pues existe al menos un determinante de orden 3. • El sistema que me dan se transforma en el siguiente: • x – 2.y + z = – 4 + t • 2.x + y – z = 1  A.X = C • x – y = 11 – 3.t • Por Gauss: F2 = F2 – 2xF1 y F3 = F3 – F1 • x – 2.y + z = – 4 + t • 5. y – 3.z = 9 – 2.t • y – z = 15 – 4.t Apuntes 2º Bachillerato C.S.

12. Ejercicio • Por Gauss: F2 = F2 – 5F3 • x – 2.y + z = – 4 + t • + 2.z = – 66 + 18.t • y – z = 15 – 4.t • Por Gauss, permutando F2 y F3: • x – 2.y + z = – 4 + t • y – z = 15 – 4.t • 2.z = – 66 + 18.t • Resolviendo: • z = – 33 + 9.t • y – (– 33 + 9.t) = 15 – 4.t  y = – 18 + 5.t • x – 2.(– 18 + 5.t ) + (– 33 + 9.t) = – 4 + t • x + 36 – 10.t – 33 – 9.t = – 4 + t  x = – 7 + 20.t • Como se ve los valores de x,y,z dependen de t  Sistema Indeterminado. Apuntes 2º Bachillerato C.S.