Náhodný jev

1. Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že je výsledek pokusu závislý na dalších nám neznámých podmínkách, které můžeme označit jako náhodné činitele. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. • Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka • S náhodnými jevy můžeme pracovat jako s množinami a využít množinových operací

2. Množinová symbolika Symbolem Ωoznačíme celý množinový prostor (ve statistice jev jistý). Symbolem Aoznačíme množinu (část prostoru, jev A). aje prvkem množiny A, zapíšeme: a є A a1; a2;a3 jsou prvky množiny A zapíšeme jako A є{a1; a2; a3} Symbolem {ø} nebo øoznačímeprázdnou množinu (jev nemožný) Pokud vždy, když nastane jev A, nastane i jev B, pak říkáme, že: jev A implikuje jevB, resp. jev A má za následek jev B: A => B znamená to také, že A je podmnožinou B:A ⊂ B Pokud nastane alespoň jeden z jevů A, B, jedná se o sjednocení jevů: A U B Pokud nastanou jevy A, B současně, mluvíme o průniku jevů: A ∩B Jev A nazveme opačný (komlementární, doplňkový) k jevu B, když platí: A U B = Ω a současně A ∩B = ø Doplněk k jevu A značíme A´ nebo Ā

3. Příklad O náhodných jevech A a B jsou známy následující skutečnosti: • (a) Pravděpodobnost, že nastane alespoň jeden z jevů A a B, je 3/4. • (b) Pravděpodobnost, že oba jevy A a B nastanou současně, je 1/4. • (c) Pravděpodobnost, že nenastane jev A, je 2/3. Určete pravděpodobnosti obou jevů A a B. Jaká je pravděpodobnost, že nastane jev A a přitom nenastane jev B? Zadání: Řešení: ¼ A B ¼ 1/12 2/3

4. Definice pravděpodobnosti Elementární jevy jsou takové jevy, které už dále nemůžeme rozložit. Složené jevy se skládají alespoň ze dvou jevů elementárních. • KLASICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI Mějme pokus, který může vykázat n-různých stejně možných výsledků. Mluvíme o nich jako o elementárních jevech. Pokud m z n výsledků má za následek jev A a zbylých n - m výsledkůjev A vylučuje, pak pravděpodobnost jevu A jerovna: P(A) = m/n • STATISTICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI Při dostatečně velkém opakování téhož náhodného pokusu se podíl sledovaného jevu ustaluje kolem nějaké konstanty. Tuto konstantu nazveme pravděpodobností sledovaného jevu a výrok za jednu z mnoha formulací ZÁKONA VELKÝCH ČÍSEL.

5. ZÁKON VELKÝCH ČÍSEL Jestliže jsou pokusné řady dosti dlouhé a dostatečně často se opakují, lze dosáhnout vypočítané pravděpodobnosti v průměru těchto pokusů s libovolnou přesností. Pravděpodobnost, že v ruletě padne červená je 0,5 a černá je také 0,5. Společně dávají jev jistý – není možné, aby padla jiná barva. V tomto případě pravděpodobnosti sčítáme: 0,5 + 0,5 = 1,0 Pokud padne 3x po sobě červená, pravděpodobnost tohoto jevu vypočteme násobením: 0,5*0,5*0,5 = 0,53 = 0,125 Pravděpodobnost, že opět hodíme v dalším hodu červenou, se s každým dalším hodem zmenšuje: pravděpodobnost, že hodíme 5x po sobě červenou je 0,03 , 10x po sobě červenou je 0,001 , ... Tento zákon přesto neříká nic o tom, že jestliže desetkrát po sobě padla červená, musí co nejdříve padnout černá, protože „je zralá“, ba dokonce „přezrálá“. Ani karty ani ruleta ani hrací automaty nemají „paměť“, každý pokus je nezávislý na předchozím.

6. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi • PRAVDĚPODOBNOSTÍ nazveme reálnou funkci, která každému náhodnému jevu přiřadí nezáporné reálné číslo z intervalu < 0 , 1 > a platí pro ni: • pravděpodobnost jistého jevu je 1 • pravděpodobnost nemožného jevu je 0 • pravděpodobnost opačného jevu k jevu A je • jsou-li A a B neslučitelné jevy, pak • jsou-li A a B dva libovolné jevy, pak • je-li , pak mluvíme v tomto případě také o implikaci: A implikuje B zapisujeme jako A => B a znamená to, že A musí být podmnožina B opačně: B => A by znamenalo, že B je podmnožina A

7. Podmíněná pravděpodobnost • Mějme dva jevy A a B takové, že P(B) > 0. Jev A nastává za podmínky, že nastane jev B. • Podmíněná pravděpodobnost, že nastane jev A se definuje jako Nezávislost jevů • Mějme dva jevy A a B takové, že P(A) > 0 a P(B) > 0. • Nechť platí a zároveň , pak jevy A a B jsou na sobě nezávislé. Jevy A a B jsou nezávislé, když platí

8. Příklad: Nezávislost jevů V květinářství začali prodávat sezónní truhlíkové květiny a první den prodali 70 pelargonií a fuchsií 50. Červených pelargonií prodali 30 a červených fuchsií 20. Pokud náhodně vybereme jednu z prodaných květin, jaká je pravděpodobnost, že to bude červená fuchsie? Určete, zda jev A: náhodně vybraná květina je fuchsie a jev B: náhodně vybraná květina je červená, jsou nezávislé. Řešení 1: prodaných pelargónií: 70 prodaných fuchsií: 50 Celkem květin: 120 Jev A: p(A) = 50/120 = 5/12 ... pravděpod., že prodaná květina je fuchsie Jev B: p(B) = (30+20)/120 = 5/12 ... pravděp., že prodaná květina je červená pravděpodobnost vybrání červené fuchsie: p(A ∩ B) = 20/120 = 1/6 = 0,167 p(A) * p(B) = 5/12 * 5/12 = 25/144 = 0,174 Jevy A a B nejsou nezávislé Jevy A a B jsou nezávislé, když platí:

9. Příklad: Nezávislost jevů Řešení 2: prodaných pelargónií: 70 z toho 30 červených prodaných fuchsií: 50 z toho 20 červených Celkem květin: 120 jev A: náhodně vybraná květina je fuchsie jev B: náhodně vybraná květina je červená Jevy jsou nezávislé, když platí a zároveň Jevy A a B nejsou nezávislé

10. Násobení pravděpodobností • Uvažujme jevy A1, A2, …, An takové, že P(A1 ∩A2 ∩ … ∩An-1) > 0. Pak lze vypočítat pravděpodobnost, se kterou nastanou všechny jevy současně jako P(A1∩A2 ∩ … ∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2∩A1) … P(An|A1∩A2 ∩…∩An-1 ) Příklad: Paní Smithová se přepravuje za dcerou postupně třemi leteckými společnostmi. 1. letecká společnost garantuje riziko max. 1%, že ztratí její zavazadlo. 2. letecká společnost garantuje riziko max. 2%, a 3. letecká společnost maximálně 3%, že ztratí její zavazadlo. • Vypočtěte, jak velké je riziko, že se její kufr ztratí. • Vypočtěte s jakou pravděpodobností kufr ztratila 1. letecká společnost za předpokladu, že se kufr ztratil • Vypočtěte, s jakou pravděpodobností by jej ztratila 2. a 3. letecká spol. • Zkontrolujte bod 2 a 3 pomocí jevu jistého

11. ZÁKONY PRAVDĚPODOBNOSTI • Zákony pravděpodobnosti jsou zcela zvláštního druhu • snášenlivé • pružné • nezavrhující zcela pošetilé krajnosti • dlouhodobě spolehlivé • důvěryhodné Příklad: házení mincí • pravděpodobnost, že padne hlava nebo orel je stejná p = 0,5 • jistotu, že padne jeden z těchto jevů vyjádříme p = 1 • házíme-li víckrát, jedná se o nezávislé pokusy, pravděpodobnost výsledných kombinací se násobí: • pravděpodobnost, že padne třikrát po sobě hlava: 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125 • celkem 8 kombinací: HHH, HHO, HOH, OHH, HOO, OHO, OOH, OOO 1 + 3 + 3 + 1 = 8 8 x 0,125 = 1

12. POČET PRAVDĚPODOBNOSTI Pravděpodobnost, že nastane určitá kombinace, závisí na poměru četností dané kombinace a všech kombinací, které mohou nastat. Názorným zobrazením je model římské kašny, kde voda odtékající do další kašny je rovnoměrně rozdělena vpravo a vlevo Pravděpodobnost se dělí analogicky jako teče voda – na polovinu, na čtvrtiny, osminy, šestnáctiny, ... zlomek mocnin čísla 2 1 1/21/2 1/42/41/4 1/8 3/83/81/8 1/16 4/166/164/161/16 Je to dodnes princip hracích automatů: kuličky padají do prostředních přihrádek častěji než do krajních

13. POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty Podobně odvodíme Binomické KOEFICIENTY někdy neprávem nazývané Pascalův trojúhelník – jedničky po obvodu, uvnitř součet čísel vpravo a vlevo z horního řádku: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Ze školní matematiky známe vzorec: (a+b)2= a2 +2ab + b2 analogicky pro (a+b)3= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a+b)5= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Odpovídá kombinačním číslům

14. POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty Matematické vyjádření pravděpodobnosti, že při 5 tazích z karet s vracením vytáhneme srdcovou kartu (jev a) nebo naopak některou z ostatních karet (b) (a+b)5 =a5 + 5a4b+ 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Co představují jednotlivé části vzorce? Rozložíme na elementární jevy: a … pravděpodobnost, že táhneme srdcovou kartu b … jev doplňkový (opačný) - netáhneme srdcovou kartu (a+b).. jev jistý (P=1) 5. mocnina … pokus provedeme v pěti tazích za rovnítkem = a5 … 5 srdcových karet (táhli jsme srdcovou při každém z pěti tahů) 5a4b … 5x může nastat kombinace, kdy srdcovou kartu táhneme ve čtyřech tazích (a4), v jednom tahu jsme táhli jinou než srdcovou kartu (b) 10x ... 10x dvě kombinace: 3 srdcové + 2 jiné nebo 2 srdcové a 3 jiné 5x ... 1 srdcová a 4 jiné 1x ... žádná vytažená karta nebude srdcová

15. POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty pravděpodobnost jevua = 0,25(srdce)a jevub = 0,75 (piky, kara, listy) Výpočet levé strany vzorce: a5+5a4b+10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 a5 = (0,25)5 = 0,00098 0,000977 0,001 5a4b = 5*(0,25)4 *0,75 = 0,01465 0,014648 0,015 10a3b2 = 10*(0,25)3 *(0,75)2 = 0,08789 0,087891 0,088 10a2b3 = 10*(0,25)2 *(0,75)3 = 0,26367 0,263672 0,264 5ab4 = 5*0,25*(0,75)4 = 0,39551 0,395508 0,396 b5 = (0,75)5 = 0,23731 0,237305 0,237 ------------------- ----------------------- ------------- 1,00001 1,000001 1,001 Součet všech možných jevů je jev jistý - nastane s pravděpodobností 1 Červeně - chyba zaokrouhlení. Podle zaokrouhlení rozvoje výsledků za desetinnou čárkou dostaneme také součet pravděpodobností všech možných jevů (jev jistý) s přesností na příslušný počet desetinných míst.

16. POČET PRAVDĚPODOBNOSTI - binomické koeficienty Binomické koeficienty v podobě kombinačního čísla udávají počet kombinací, které mohou nastat: Podrobněji se s tímto vzorcem seznámíme v Kombinatorice