1º I.T.I. : MECANICA I

1º I.T.I. : MECANICA I TEMA Nº 14: DINÁMICA CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO Departamento: INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES

Indice • Punto 14.1 Introducción • Punto 14.2 Traslación • Punto 14.3 Movimiento plano • Punto 14.4 Rotación en torno a un eje fijo • Punto 14.4.1 Movimiento de una recta en la rotación en torno a un eje fijo • Punto 14.4.2 Movimiento de un punto en la rotación en torno a un eje fijo • Punto 14.5 Movimiento plano cualquiera • Punto 15.5.1 Análisis del movimiento absoluto • Punto 14.5.2 Velocidad relativa • Punto 14.5.3 CIR • Punto 14.5.4 Aceleración relativa • Punto 14.6 Movimiento relativo a ejes en rotación • Punto 14.6.1 Posición • Punto 14.6.2 Velocidad • Punto 14.6.3 Aceleración

14.1 Introducción En el capítulo anterior veíamos que para describir perfectamente el movimiento de un punto bastaba con conocer en todo instante su situación. Sin embargo, en el caso del movimiento de un sólido rígido la descripción completa de su movimiento exige que se den la situación y la orientación del cuerpo, interviniendo tanto magnitudes lineales como angulares. En un cuerpo rígido, la separación entre dos puntos cualesquiera es fija e independiente del tiempo, con lo que también lo serán los ángulos determinados por toda tripleta de puntos (figura). Los cuerpos reales nunca son rígidos, no obstante, en la mayoría de las aplicaciones técnicas, las deformaciones debidas a las fuerzas aplicadas suelen ser relativamente pequeñas. Una vez terminado el análisis cinético, deberán calcularse las deformaciones. Si son grandes, es posible que haya que repetir los análisis cinemático y cinético teniendo en cuenta la deformación.

Consideraremos 5 tipos generales de movimiento de un cuerpo rígido: 1.- Traslación. En la traslación de un cuerpo rígido, la orientación de todo segmento rectilíneo del cuerpo se mantiene constante. Un movimiento en el cual una recta se mantenga siempre paralela a la velocidad, se dice que es de traslación rectilínea en el que todo punto del cuerpo sigue una trayectoria rectilínea en el sentido del movimiento. En una traslación curvilínea, la orientación de todo segmento rectilíneo sigue siendo invariable pero los distintos puntos no siguen trayectorias rectilíneas. En la traslación coplanaria, la trayectoria de cada punto se mantiene siempre en un plano.

2.- Rotación en torno a un eje fijo. • En la rotación en torno a un eje fijo, una recta del cuerpo, el eje de rotación, está fija. • Los puntos que no son del eje recorren trayectorias circulares centradas en el eje. • Si el eje de rotación no corta al cuerpo, podemos imaginar que este se extiende hasta incluir el eje de rotación, es decir, a fines cinemáticos el movimiento del cuerpo es el mismo que tendría si formara parte de un cuerpo rígido mayor que incluyera al eje de rotación. • Como cada trayectoria circular está contenida en un plano, la rotación de un cuerpo en torno a un eje fijo es un movimiento plano.

3.- Movimiento plano cualquiera. Cada punto del cuerpo permanece en un plano. La traslación coplanaria y la rotación en torno a un eje fijo constituyen tipos concretos de movimiento plano en los cuales las rectas del cuerpo cumplen condiciones particulares. Todo otro tipo de movimiento plano entra en la categoría de movimiento plano cualquiera. 4.- Rotación en torno a un punto fijo. Uno de los puntos del cuerpo está fijo y cada punto se mueve siguiendo una trayectoria situada en la superficie de una esfera centrada en el punto fijo. 5.- Movimiento cualquiera. El resto de movimientos entra dentro de esta categoría.

La orientación de todo segmento rectilíneo de un cuerpo rígido se mantiene constante. 14.2 Traslación Si A y B son dos puntos cualesquiera del cuerpo, sus posiciones estarán relacionadas por la regla del triángulo para la suma de vectores: Como la posición de B relativa a A (rB/A) es constante tanto en módulo como en dirección, su derivada será nula, así al derivar respecto al tiempo la ecuación anterior se tiene simplemente: Expresión que nos dice que en un cuerpo en traslación todos sus puntos tienen igual velocidad. Podemos derivar respecto al tiempo la ecuación anterior y obtenemos: Expresión que nos dice que en un cuerpo en traslación todos sus puntos tienen igual aceleración. Como la forma, tamaño y orientación del cuerpo no importan para describir el movimiento, la Cinemática de los puntos que constituyen un cuerpo rígido en movimiento de traslación coincide con la Cinemática del punto (capítulo 13).

14.3 Movimiento plano • Cada punto del cuerpo permanece en un plano. • Como todos los puntos de rectas perpendiculares a un plano tienen igual movimiento, bastará considerar el movimiento en un solo plano. En adelante, se utilizará el plano que contiene el centro de masa al que llamaremos plano del movimiento. • Así, la posición de un cuerpo rígido en movimiento plano quedará determinada al dar la situación de un punto y la orientación de una recta del plano del movimiento. • La orientación de la recta se puede determinar o bien dando el ángulo que forma con una dirección fija o dando la situación de dos puntos cualesquiera de la recta. • El movimiento de todo el cuerpo podrá determinarse a partir del movimiento de dicho punto y el movimiento de la recta.

Es importante observar que el movimiento angular de rectas del plano del movimiento es el mismo para toda recta de un cuerpo rígido. Considerando el cuerpo de la figura en el que se han dibujado dos segmentos rectilíneos separados un ángulo fijo β. Ambos están en el plano de movimiento y los ángulos que forman con una dirección fija de referencia son θAB y θCD. Estos ángulos están relacionados de la forma: Al moverse el cuerpo, variarán los ángulos θAB y θCD pero no el ángulo fijo β con lo que al derivar la ecuación anterior respecto al tiempo, tendremos Donde ω es la velocidad angular, variación por unidad de tiempo de la posición angular. Esta ecuación nos dice que todas las rectas del cuerpo tienen igual velocidad angular ω. Derivando respecto al tiempo la ecuación anterior, tenemos Donde α es la aceleración angular, variación por unidad de tiempo de la velocidad angular. Esto nos dice que todas las rectas del cuerpo tienen igual aceleración angular α.

14.4 Rotación en torno a un eje fijo • Se ha indicado que la posición de un cuerpo rígido en movimiento plano queda determinada al dar la situación de un punto y la orientación de una recta del plano del movimiento. • Así, el movimiento plano de todo cuerpo se puede determinar a partir del movimiento de dicho punto y el movimiento de la recta. • En nuestro caso, en la rotación alrededor de un eje fijo, el punto del eje permanece siempre en él. Por tanto, el movimiento de todo cuerpo se podrá determinar a partir del movimiento de una recta. • A continuación se va a analizar: • El movimiento de una recta en la rotación en torno a un eje fijo y • El movimiento de un punto en la rotación en torno a un eje fijo.

14.4.1 Movimiento de una recta en la rotación en torno a un eje fijo En la rotación en torno a un eje fijo, la posición del cuerpo queda determinada al dar la posición angular θ de una recta cualquiera del plano de movimiento. La derivada respecto al tiempo de la posición angular da la velocidad angular ω(t) y la segunda derivada da la aceleración angular α(t) del cuerpo rígido: Si conocemos la aceleración angular en función del tiempo podremos integrar para obtener la velocidad angular y la posición angular en función del tiempo así: α=cte Cuando se conozca la aceleración angular en función de la posición angular y no del tiempo, la regla de la cadena para la derivación da que se puede integrar para obtener la velocidad angular en función de la posición angular

14.4.2 Movimiento de un punto en la rotación en torno a un eje fijo En la rotación en torno a un eje fijo, los puntos que no estén en el eje recorren trayectorias circulares centradas en dicho eje. La velocidad del punto P puede escribirse en función de un vector velocidad angular ω definido por ω = ωk de - dirección: la del eje en torno al cual gira el cuerpo - sentido: regla de la mano derecha y en función de rP (vector de posición del punto P medido relativo al eje de rotación), de la siguiente manera Expresando el producto vectorial en función de las coordenadas x-y, tenemos:

La aceleración del punto P que recorre su trayectoria circular alrededor del eje de rotación, tendrá componentes normal y tangencial Las componentes x-y de la aceleración se obtienen derivando la la velocidad así: Por analogía con la velocidad de P, la componente tangencial de la aceleración se podrá escribir en la forma: donde α es el vector aceleración angular definido por α = αk de - dirección: la del eje en torno al cual gira el cuerpo - sentido: regla de la mano derecha La componente normal de la aceleración se podrá escribir en la forma: así:

PROBLEMA 14.1 El plato de un tocadiscos alcanza su velocidad de funcionamiento de rpm al cabo de 5 revoluciones a partir del momento de ponerlo en marcha. Determinar la aceleración angular inicial α0 del plato si: a) la aceleración angular es constante α = α0 = constante b) la aceleración angular disminuye linealmente con la velocidad angular desde α0 cuando ω = 0 hasta α0/4cuando

PROBLEMA 14.2

14.5 Movimiento plano cualquiera • En este apartado se va a tratar todo movimiento plano en el cual las rectas del cuerpo giren sin que haya ningún punto del cuerpo fijo. • Veremos que los movimiento planos cualesquiera son una superposición de una traslación y una rotación en torno a un eje fijo. • Existen dos métodos generales para la solución de los problemas de movimiento plano cualquiera: • Método 1 (del movimiento absoluto): Se escriben las relaciones geométricas que describen las ligaduras a las que está sometido el cuerpo y su interacción con otros cuerpos. Después se utilizan estas relaciones para describir la situación y movimiento de otros puntos del cuerpo. • Método 2 (del movimiento relativo): Aprovecha el concepto del movimiento relativo de puntos. Como la distancia entre dos puntos de un cuerpo rígido es invariable, las expresiones de la velocidad y aceleración relativas adoptan formas sencillas que sólo dependen de la velocidad angular y de la aceleración angular del cuerpo.

14.5.1 Análisis del movimiento absoluto Las ecuaciones relativas al movimiento angular del cuerpo rígido y al movimiento de alguno de sus puntos se pueden obtener efectuando un análisis minucioso de la relación entre puntos y rectas del cuerpo rígido. Primero se obtiene la situación de un cierto punto del cuerpo en función de la orientación angular de éste. A continuación, las derivadas respecto al tiempo de esta relación dan la velocidad y la aceleración del punto en función de la orientación angular, la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo. Como este método se apoya totalmente en la descripción geométrica del cuerpo o cuerpos del problema, no se pueden deducir unas fórmulas generales. Habrá que deducir fórmulas específicas para cada problema concreto.

PROBLEMA 14.3

14.5.2 Velocidad relativa Si A y B son dos puntos cualesquiera, sus posiciones estarán relacionadas así: y derivándola respecto al tiempo Ecuaciones aplicables a dos puntos cualesquiera, tanto si forman parte del cuerpo rígido como si no. Si los puntos A y B pertenecen a un cuerpo rígido, su separación será constante y el punto B resulta recorrer una trayectoria circular alrededor del punto A. Por tanto, la velocidad relativa vB/A vendrá dada por entonces Por tanto, la velocidad del punto cualquiera B de un cuerpo rígido es la suma de la traslación de todo el cuerpo con A más una rotación de todo el cuerpo alrededor de A.

La ecuación anterior es una ecuación vectorial, que en el caso de movimiento plano, tiene dos componentes escalares independientes. • Por lo tanto, la ecuación de la velocidad relativa se puede utilizar en los siguientes casos: • Para hallar las dos componentes de la velocidad de un cierto punto B cuando se conozcan la velocidad angular del cuerpo y la velocidad de otro punto del cuerpo. • Cuando se conozcan las direcciones de las velocidades de dos puntos A y B (ejemplo: si se deslizan a lo largo de guías fijas) y se da una de las tres magnitudes que faltan (módulo de la velocidad en A, idem en B o la velocidad angular) Cuando dos o más cuerpos rígidos estén unidos por un pasador, podrán escribirse por separado las ecuaciones de la velocidad relativa correspondientes a cada uno de los cuerpos. Uno de los puntos utilizados en cada ecuación deberá ser el punto común que une los dos cuerpos y cuya velocidad será la misma para cada cuerpo.

PROBLEMA 14.4

PROBLEMA 14.5

14.5.3 Centro instantáneo de rotación (CIR) En un movimiento plano cualquiera de un cuerpo, no hay ningún punto que se halle siempre en reposo. No obstante, en cada instante, es siempre posible hallar un punto del cuerpo (o de su extensión), llamado CIR, que tenga velocidad nula. El CIR de un cuerpo rígido en movimiento plano cualquiera no es un punto fijo. La aceleración del CIR no suele ser nula. Por tanto, diferentes puntos del cuerpo rígido serán CIR en diferentes instantes y la situación del CIR se moverá respecto al tiempo. Para situar el CIR trazaremos perpendiculares a las velocidades conocidas (de al menos dos puntos) y el punto de corte indicará el CIR (punto C). Eso es debido a que la velocidad de C es nula y que las velocidades de A y de B se calculan como:

Si las velocidades de los puntos A y de B fuesen paralelas, el CIR debería hallarse en la recta que une dichos puntos. Como el módulo de la velocidad relativa es ωr, la situación del CIR se halla por semejanza de triángulos. Si las velocidades de los puntos fuesen iguales en un instante cualquiera, el cuerpo se hallaría instantáneamente en traslación y ω = 0. (CIR en el infinito). Una vez localizado el CIR, la velocidad de cualquier otro punto del cuerpo se podrá hallar utilizando la ecuación de la velocidad relativa Cuando dos o más cuerpos estén unidos por un pasador, podremos hallar un CIR para cada cuerpo. En general, estos CIR no coincidirán en posición. Como la velocidad absoluta del punto que une dos cuerpos es la misma para cada uno de ellos, los CIR de uno y otro deberán estar sobre la recta que pase por el punto común de ambos cuerpos.

PROBLEMA 14.6

14.5.4 Aceleración relativa Derivando dos veces respecto al tiempo la ecuación de la posición relativa obtenemos: Ecuación aplicable a dos puntos cualesquiera, tanto si forman parte del cuerpo rígido como si no. Si los puntos A y B pertenecen a un cuerpo rígido, su separación será constante y el punto B resulta recorrer una trayectoria circular alrededor del punto A. Por tanto, la aceleración relativa aB/A vendrá dada por y Como la componente normal de la aceleración relativa contiene a ω, habrá que resolver antes el problema de la velocidad relativa para poder resolver el de aceleración relativa.

PROBLEMA 14.7

PROBLEMA 14.8

14.6 Movimiento relativo a ejes en rotación Hasta ahora se ha descrito la posición, la velocidad y la aceleración de cada punto utilizando un sistema de coordenadas fijo. Sin embargo, existen otros tipos de problemas para los cuales conviene describir el movimiento de uno de los puntos relativo a un sistema de coordenadas en rotación, a saber: 1.- Cuando el movimiento se observa desde un sistema de coordenadas que está girando. Ejemplo: Cuando se observa desde la Tierra en rotación el movimiento de cohetes o naves espaciales. 2.- Cuando los movimientos de dos puntos están relacionados de alguna manera pero no son iguales y no están en un mismo cuerpo rígido. Ejemplo: Mecanismos conectados mediante pasadores que se deslizan por ranuras. El movimiento relativo se especifica suficientemente dando la traslación y la rotación de la pieza que contiene la ranura, la forma de dicha ranura y la rapidez con que el pasador la recorre. 3.- Problemas de cinética en los que interviene la rotación de cuerpos rígidos de forma irregular. Para algunos cuerpos, si utilizamos ejes de coordenadas que giran con el cuerpo, los momentos y productos de inercia serán constantes, cosa que no ocurre con ejes fijos, a menos que el cuerpo presente simetrías.

14.6.1 Posición Consideremos que A y B sean dos puntos cualesquiera animados de movimiento plano. En función de un sistema de coordenadas fijo X-Y, las situaciones de A y B vienen dadas por: Supongamos que el punto A pertenece a un cuerpo rígido que gira con velocidad angular ω y con aceleración angular α, de valores: Supongamos además que el movimiento del punto A pueda describirse fácilmente en el sistema de coordenadas fijo. Por otra parte, supongamos que el punto B se mueva de una manera prefijada relativa al cuerpo rígido giratorio (Ejemplo- pasador que corre por una ranura). Aun cuando pudiera ser fácil describir el movimiento del punto B relativo al cuerpo giratorio, pudiera no ser fácil la descripción de su movimiento relativo al sistema de coordenadas fijo X-Y.

Sea x-y un sistema de coordenadas, con origen en el punto A, solidario al cuerpo rígido y que gire con él. Así, el vector de posición relativa es Donde ex y ey son los vectores unitarios asociados a los ejes giratorios, por lo que varían con el tiempo. Por tanto, la posición de B vendrá determinada por: x y rA = XAi + YAj ex = cosθi + senθj ey = - senθi + cosθj son funciones del tiempo conocidas. En donde:

14.6.2 Velocidad Derivando respecto al tiempo la expresión de la posición del punto B: vBrel es la velocidad de B relativa al sistema de coordenadas giratorio x-y y los dos últimos términos aparecen por que las direcciones de los vectores unitarios ex y ey varían con el tiempo por la rotación de los ejes x-y. Como: Tenemos:

Aplicando estos resultados en la ecuación de la velocidad relativa tenemos: Donde vA, vB y ω se miden relativos al sistema de coordenadas fijo X-Y. rB/A y vBrel se miden relativos al sistema de coordenadas giratorio x-y Todos los vectores de la ecuación anterior se deben expresar en un sistema de coordenadas común antes de efectuar las sumas y el producto vectorial. O bien rB/A y vBrel se expresan en el sistema de coordenadas fijo X-Y mediante: ex = cosθi + senθjey = - senθi + cosθj O bien vA y vBdeberán expresarse en el sistema de coordenadas giratorio x-y usando: i = cosθex - senθeyj = senθex + cosθey La elección se basará en la forma en que se conozcan los datos y en la forma en que quieran tenerse los resultados.

Interpretación de la expresión obtenida: Si A y B son dos puntos fijos de un mismo cuerpo rígido, entonces la vBrel = 0, ω será su velocidad angular y la ecuación anterior se reduce a la deducida en el apartado 14.5.2 que analizaba la velocidad relativa en movimiento plano cualquiera. Si A es un punto fijo de un cuerpo rígido en rotación y B es un pasador que corre en una ranura del cuerpo será la velocidad que tendría el punto B si estuviera fijo en el cuerpo en vez de estar moviéndose respecto a él. El último término vBrel (tangente a la ranura) es la velocidad adicional que tiene el punto B a causa de su movimiento a lo largo de la ranura.

PROBLEMA 14.10

14.6.3 Aceleración Derivando respecto al tiempo la ecuación de la velocidad obtenida anteriormente: * Del cálculo de la velocidad relativa: Un cálculo semejante de la derivada de la velocidad de B relativa nos da: es la aceleración de B relativa al sistema de coordenadas giratorio x-y (medida en él). Aplicando las ecuaciones anteriores en la ecuación * y reagrupando términos se llega a

Donde aA, aB, ωyα se miden relativos al sistema de coordenadas fijo X-Y. rB/A, vBrel y aBrel se miden relativos al sistema de coordenadas giratorio x-y Todos los vectores de la ecuación anterior se deben expresar en un sistema de coordenadas común antes de efectuar las sumas y productos vectoriales. O bien rB/A, vBrel y aBrel se expresan en el sistema de coordenadas fijo X-Y mediante: ex = cosθi + senθjey = - senθi + cosθj O bien aA, aB, ωyα deberán expresarse en el sistema de coordenadas giratorio x-y usando: i = cosθex - senθeyj = senθex + cosθey La elección se basará en la forma en que se conozcan los datos y en la forma en que quieran tenerse los resultados.

Interpretación de la expresión obtenida: Si A y B son dos puntos fijos de un mismo cuerpo rígido, entonces la vBrel = aBrel = 0, ω y α son la velocidad angular y la aceleración angular y la ecuación anterior se reduce a la deducida en el apartado 14.5.4 que analizaba la aceleración relativa en movimiento plano cualquiera. Si A es un punto fijo de un cuerpo rígido en rotación y B es un pasador que se desliza por una ranura del cuerpo, la aceleración que tendría el punto B si estuviera fijo en el cuerpo en vez de estar moviéndose respecto a él será: El término aBrel es la aceleración adicional que tiene el punto B a causa de su movimiento a lo largo de la ranura. El término restante 2 ω x vBrel es la aceleración de Coriolis, perpendicular tanto a ωcomo a vBrel y por tanto estará en el plano de movimiento y será perpendicular a la ranura a lo largo de la cual se mueve el pasador.

PROBLEMA 14.11

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