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第 9 章 IIR 数字滤波器设计

第 9 章 IIR 数字滤波器设计. 滤波器设计. 滤波器结构分析： 知道传输函数 G(z) 后寻找合适的结构来实现它 滤波器设计： 逼近指定的频率响应来设计滤波器的传输函数 保证传输函数的稳定性（针对 IIR ）. 预备知识. 设计数字滤波器的两个关键问题： 什么是合理的滤波器频率响应指标 使用 FIR 滤波器还是 IIR 滤波器 得出两个研究内容： 数字滤波器的指标 滤波器类型的选择. 数字滤波器的指标. 在大多数情况下，要求用一个可实现的传输函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标 对于相位响应，可以通过级联全通滤波器来进行校正

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第 9 章 IIR 数字滤波器设计

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  1. 第9章 IIR数字滤波器设计

  2. 滤波器设计 • 滤波器结构分析： • 知道传输函数G(z)后寻找合适的结构来实现它 • 滤波器设计： • 逼近指定的频率响应来设计滤波器的传输函数 • 保证传输函数的稳定性（针对IIR）

  3. 预备知识 • 设计数字滤波器的两个关键问题： • 什么是合理的滤波器频率响应指标 • 使用FIR滤波器还是IIR滤波器 • 得出两个研究内容： • 数字滤波器的指标 • 滤波器类型的选择

  4. 数字滤波器的指标 • 在大多数情况下，要求用一个可实现的传输函数去逼近给定的滤波器幅度响应指标 • 对于相位响应，可以通过级联全通滤波器来进行校正 • 针对四种理想幅度响应的滤波器 • 非因果和无限长的 • 可实现的逼近方法为：对其冲激响应进行截短（式7.30），得到一个有限冲激响应低通滤波器，其幅度响应中出现一个平滑下降的过渡带

  5. 通带和阻带 • 不是理想的通止形式 • 而是通过滤波器在通带和阻带的幅度响应指标以一定容限的允许误差来表征 • 通带和阻带间给出了一个过渡带，以使幅度平滑地从通带下降到阻带 • 在通带内：1-δp≤|G(ejω)|≤ 1+δp|ω|≤ωp • 在阻带内： |G(ejω)|≤δsωs≤|ω|≤π • 频率ωp称为通带截止频率 • 频率ωs称为阻带截止频率 • δp和δs称为峰波纹值

  6. 在0～π间讨论问题 • 数字滤波器的频率响应G(ejω)是ω的周期函数 • 实系数数字滤波的幅度响应是ω的偶函数 • 因此可以在0≤ω≤π内讨论数字滤波器即可 • 峰值通带波纹αp和最小阻带衰减αs • P396例9.1

  7. 滤波器类型的选择 • 使用FIR还是IIR？ IIR： FIR：

  8. FIR与IIR比较 • FIR优势： • 可进行准确的线性相位设计 • 结构具有稳定的量化滤波器系数 • FIR缺点： • 满足相同幅度指标的FIR滤波器的阶数NFIR比IIR滤波器的阶数高得多 • IIR优点： • 在滤波器是否具有线性相位并不重要的条件下，具有更高的计算效率，应用更为广泛。 • IIR缺点： • 如果对相位响应有严格要求，则必须级联全通函数，则计算也很复杂

  9. IIR数字滤波器的基本设计方法 • 先按指标设计模拟滤波器，然后转成数字滤波器 • 原因： • 模拟逼近技术已非常成熟 • 通常能产生闭式的解 • 模拟滤波器设计可以查表 • 在很多应用中，需要模拟滤波器的数字仿真 • 技术关键：把模拟传输函数H(s)转化成数字传输函数G(z)，必须满足以下要求： • s平面的虚轴(jΩ)必须映射到z平面的单位圆上 • 稳定的模拟传输函数能变换为稳定的数字传输函数

  10. IIR数字滤波器的阶数估计 • 根据设计指标估计滤波器所需要的最小阶数N • 为了降低计算复杂度，尽量选取滤波器阶数为N或接近于N的阶数 • 具体方法： • 选择逼近方法:巴特沃兹逼近、切比雪夫逼近还是等波纹滤波器逼近 • 利用相应的设计公式进行阶数估计：式4.35、式4.43和式4.54 • 数字滤波器的阶数在变换中自动确定

  11. 缩放数字传输函数 • 缩放的目的： • 将传输函数乘以一个缩放常数K以保证缩放后的传输函数Gt(z)=KG(z)在通带的最大幅度为1，即缩放后的传输函数的最大增益为0dB。 • 对于低通滤波器：K=1/G(1)，使得在ω=0处传输函数有通带最大增益0dB • 对于高通滤波器：K=1/G(-1)，使得在ω=π处传输函数的增益为0dB • 对于带通滤波器：K=1/G(ejωc)，使得在ω=ωc处传输函数有通带最大增益0dB, ωc为中心频率

  12. 双线性变换法 • 定义从s平面到z平面的一对一映射： 将s平面上一点映射到z平面上一点 • 则数字传输函数G(z)和原模拟传输函数Ha(s)之间的关系为：

  13. 映射关系 • s平面上的任意一点将被映射为z平面内唯一的一点，反正亦然 • s平面上jΩ轴上的点σ0=0映射到z平面单位圆上的点 • s左半平面上的点σ0<0映射到z平面单位圆内的点 • s右半平面上的点σ0>0映射到z平面单位圆外的点 • P400 图9.2

  14. 频率畸变 • 考察双线性变换，可知： • 频率映射曲线如图9.3所示 • 在|ω|较大的时候曲线的非线性程度很高 • 导致频率失真，为频率畸变 • 为避免频率畸变： • 在变换前先对模拟滤波器进行预畸处理

  15. 低阶数字滤波器的设计 • 一阶巴特沃兹低通和高通滤波器 • 二阶带通和带阻数字滤波器 • 简化的双线性变换

  16. 一阶巴特沃兹低通和高通滤波器 • 3dB截至频率为Ωc的一阶巴特沃兹低通模拟滤波器的传输函数为： • 进行双线性变换为： • 同理对巴特沃兹高通模拟滤波器进行处理 • 式9.24式9.25

  17. 二阶带通和带阻数字滤波器 • 二阶带通模拟带通滤波器的传输函数： • 进行双线性变换： • 带阻滤波器：式9.31 式9.32

  18. 简化的双线性变换 • 数字滤波器的设计过程： • 首先对指定的数字滤波器指标进行双线性变换，得到其对应的模拟滤波器指标 • 然后对满足模拟原型滤波器指标的模拟传输函数进行双线性变换得到数字滤波器传输函数 • T对G(z)无影响 • 可选取T=2，则可简化双线性变换为：

  19. IIR数字滤波器设计 • 低通IIR数字滤波器的设计 • 高通IIR数字滤波器的设计 • 带通IIR数字滤波器的设计 • 带阻IIR数字滤波器的设计*

  20. 低通IIR数字滤波器的设计 • 设采样率为1000Hz，设计一个低通巴特沃兹滤波器，通带范围为0 ～ 40Hz，峰值通带波纹为3dB，阻带范围为150～500Hz，最小阻带衰减为60dB • P396 峰值通带波纹、最小阻带衰减 • 程序： Wp = 40/500; Ws = 150/500; [n,Wn] = buttord(Wp,Ws,3,60) [b,a] = butter(n,Wn); freqz(b,a,512,1000); title('Butterworth Lowpass Filter')

  21. 高通IIR数字滤波器的设计 • 设采样率为1000Hz，设计一个9阶高通巴特沃兹滤波器，截止频率为300Hz • 程序： [b,a]=butter(9, 300/500, ‘high’); freqz(b,a,128,1000); axis([0 500 -400 100]);

  22. 带通IIR数字滤波器的设计 • 设采样率为1000Hz，设计一个10阶的带通巴特沃兹数字滤波器，通带为100Hz到200Hz，求冲激响应 • 程序 n=5； wn=[100 200]/500; [b,a]=butter(n,Wn); [y,t]=impz(b,a,101); stem(t,y)

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