Cap tulo 4
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Capítulo 4. Modelo de Redes. Objetivos del Capítulo. Conceptos y definiciones de redes. Importancia de los modelos de redes Modelos de programación lineal, representación en redes y soluciones usando el computador para: * Modelos de transporte. * Modelos de capacidad de transporte

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Capítulo 4

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Cap tulo 4

Capítulo 4

Modelo de Redes


Objetivos del cap tulo

Objetivos del Capítulo

  • Conceptos y definiciones de redes.

  • Importancia de los modelos de redes

  • Modelos de programación lineal, representación en redes y soluciones usando el computador para:

    * Modelos de transporte.

    * Modelos de capacidad de transporte

    * Modelos de asignación

    * Modelo del vendedor viajero

    * Modelos de la ruta mas corta

    * Modelos de la rama mas corta


Cap c3 adtulo 4

Un problema de redes es aquel que puede representarse por:

8

6

  • 9

10

Nodos

Arcos

7

10

Funciones en los arcos


4 1 introducci n

4.1 Introducción

  • La importancia de los modelos de redes:

    * Muchos problemas comerciales pueden ser resueltos a través de modelos redes

    * El resultado de un problema de redes garantiza una solución entera, dada su estructura matemática. No se necesitan restricciones adicionales para obtener este tipo de solución.

    * Problemas de redes pueden ser resueltos por pequeños algoritmos , no importando el tamaño del problema, dada su estructura matemática.


Cap c3 adtulo 4

  • Terminología de Redes

    * Flujo: Corresponde a la cantidad que debe transportarse desde un nodo i a un nodo j a través de un arco que los conecta. La siguiente notación es usada:

    Xij= cantidad de flujo

    Uij= cota mínima de flujo que se debe transportar

    Lij= cota maxíma de flujo que se puede transportar.

    * Arcos dirigidos /no dirigidos: Cuando el flujo puede transportarse en una sola dirección se tiene un arco dirigido (la flecha indica la dirección). Si el flujo puede transportarse en ambas direcciones existe un arco no dirigido (sin flecha).

    * Nodos adyacentes: Un nodo j es adyacente con un nodo i si existe un arco que une el nodo j con el nodo i.


Cap c3 adtulo 4

  • Rutas/Conexión entre nodos

    *Ruta: Una colección de arcos formados por una serie de nodos adyacentes

    * Los nodos están conectados si existe una ruta entre ellos.

  • Ciclos / Arboles /Arboles expandidos

    * Ciclos : Un ciclo se produce cuando al partir de un nodo por un cierto camino se vuelve al mismo nodo por otra ruta.

    * Arbol : Una serie de nodos que no contienen ciclos.

    *Arbol expandido: Es un árbol que conecta todos lo nodos de la red (contiene n-1 arcos).


4 2 problemas de transporte

4.2 Problemas de transporte

Un problema de transporte surge cuando se necesita un modelo costo-efectividad que permita transportar ciertos bienes desde un lugar de origen a un destino que necesita aquellos bienes , con ciertas restricciones en la cantidad que se puede transportar.1


Cap c3 adtulo 4

  • Definición del problema

    * Se tienen m lugares de origen. Cada lugar de origen tiene una capacidad de producción Si

    *Se tienen n destinos. Cada destino j demanda Dj

    *Objetivo:

    Minimizar el costo de transporte de la carga al lugar de destino

    cumpliendo con las restricciones de los lugares de origen.


Farmac utica carlton

Farmacéutica Carlton

  • La farmacéutica Carlton abastece de drogas y otros suministros médicos.

  • Esta tiene tres plantas en: Claveland, Detroit, Greensboro.

  • Tiene cuatro centros de distribución en: Boston, Atlanta, St Louis.

  • La gerencia de Carlton desea realizar el trnsporte de sus productos de la manera más económica posible.


Cap c3 adtulo 4

  • Datos

    Costo de transporte por unidad, oferta y demanda.

  • Supuestos

    * El costo de transporte por unidad es constante

    * Todos los transportes ocurren simultáneamente.

    * Solo se considera el costo de transporte entre el lugar de origen y el de destino

    * La oferta total es igual a la demanda total.


Cap c3 adtulo 4

Destinos

Boston

Origenes

35

Cleveland

30

Richmond

40

S1=1200

32

37

40

Detroit

42

25

S2=1000

Atlanta

35

15

20

St.Louis

Greensboro

28

S3= 800

RED QUE REPRESENTA

EL PROBLEMA

D1=1100

D2=400

D3=750

D4=750


Cap c3 adtulo 4

  • Modelo matemático

    * La estructura del modelo es la siguiente:

    Minimizar <Costo total de transporte>

    sujeto a :

    cantidad a transportar desde la fabrica = oferta de la fábrica

    cantidad a recibir por la distribuidora = demanda de la distribuidora.

    * Variables de decisión:

    Xij = cantidad a transportar desde la fábrica i a la distribuidora j

    donde i = 1(Claveland), 2(Detroit), 3(Greensboro)

    j = 1(Boston), 2(Richmond), 3(Atlanta), 4 (St,Louis)


Cap c3 adtulo 4

Oferta de Cleveland X11+X12+X13+X14 = 1200

Oferta de Detroit X21+X22+X23+X24 = 1000

Oferta de Greensboro X31+X32+X33+X34 = 800

X11

Cleveland

X12

X31

S1=1200

X21

X13

X14

X22

X32

Detroit

X23

S2=1000

X24

X33

Greensboro

S3= 800

X34

Restricciones de la Oferta

Boston

D1=1100

Richmond

D2=400

Atlanta

D3=750

St.Louis

D4=750


Cap c3 adtulo 4

  • El modelo matemático completo

=

=

=

=

=

=

=


Cap c3 adtulo 4

  • Solución optima obtenida a través de Excel


Cap c3 adtulo 4

Rango Optimo

Análisis de Sensibilidad por WINQSB

Si utilizamos esta ruta, el costo total aumentara en $5 por unidad

transportada.


Cap c3 adtulo 4

Rango de factibilidad

Precio sombra de la distribuidora - el costo de demandar una unidad más por la

distribuidora.

Precio sombra de la planta - el costo de cada unidad extra disponible

en la planta.


Cap c3 adtulo 4

  • Interpretación de los resultados del análisis de sensibilidad.

    * Reducción de Costos:

    - La cantidad a transportar que reduce el costo por unidad entrega la ruta más económicamente atractiva.

    - Si una ruta debe usarse obligatoriamente, incurriendo asi en el costo que ello significa, por cada carga transportada , el costo total aumentara en una cantidad igual a la reducción del costo hecha.

    * Precios Sombra:

    - Para las plantas el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad disponible en la planta.

    - Para las distribuidoras, el precio sombra de transporte corresponde al costo de cada unidad extra demandada por la distribuidora.


Compa a de ski montpelier usando un modelo de transporte para un itinerario de producci n

Compañía de ski MontpelierUsando un modelo de transporte para un itinerario de producción

* Montpelier planea su producción de ski para los meses de julio, agosto y septiembre.

* La capacidad de producción y el costo de producción unitario puede varia de un mes a otro.

* La compañía puede destinar tiempo de producción adicional para la fabricación de skis.

* El nivel de producción es capaz de satisfacer la demanda proyectada y un trimestre del nivel de inventario.

* La gerencia desea un itinerario de producción que minimiza el costo del trimestre.


Cap c3 adtulo 4

  • Datos:

    * Inventario inicial = 200 pares

    * Nivel de inventario requerido = 1200 pares

    * Nivel de producción para el próximo trimestre= 400 pares (tiempo normal)

    200 pares (sobretiempo)

    * La tasa de costo de almacenaje ed de 3% mensual por ski

    * El nivel de producción, la demanda esperada para del trimestre, (en pares de ski) y el costo de producción por unidad (por meses)


Cap c3 adtulo 4

  • Análisis de la demanada

    * Demanda neta a satisfacer en Julio = 400 - 200 = 200 pares

    en inventario

    * Demanda neta de agosto = 600

    * Demanda neta en septiembre = 1000 + 1200 = 2200 pares

    demanda esperada inventario req.

  • Análisis de la oferta

    * La capacidad de producción corresponde a la oferta

    * Existen dos tipos de “oferta”

    1.- Oferta producida en tiempo norma (capacidad de producción)

    2.- Oferta producida en sobretiempo.

  • Análisis de los costos unitarios

    Costo Unitario= [costo unitario de producciónt] +

    • [costo unitario de lamacenamiento por mes ][número de

    • meses en inventario]

    • Ejemplo: Una unidad producide en julio en tiempo normal y

    • vendida en septiembre cuesta= 25+ (3%)(25)(2 meses) =

    • $26.50


Cap c3 adtulo 4

Representación de la Red

Producción

Mes/periodo

Mes

Ventas

July

R/T

Julio

T/N

25

25.75

26.50

0

1000

200

Julio

Julio

S/T

30

30.90

31.80

0

500

+M

26

26.78

0

+M

+M

37

0

+M

+M

29

0

Agst.

T/N

600

+M

32

32.96

0

Agst..

800

Capacidad de Producción

Demanda

Agst.

S/T

400

2200

Sept.

Sept.

T/N

400

Exceso

300

Sept.

S/T

200


Cap c3 adtulo 4

Producción Julio: tiempo normal

Destino: Demanda para Julio

Producción Agosto:Sobretiempo

Destino: Demanda de Septiembre

Costo Unitario= $25 (producción)

32+(.03)(32)=$32.96

Costo Unitario =Producción+un mes de almacenamiento


Cap c3 adtulo 4

  • Resumen de la solución óptima.

    * En julio producir 1000 pares en tiempo normal y 500 pares en sobretiempo.

    Total Disponible : 1500 - 200 = 1300 a fines de julio

    * En agosto producir 800 pares en tiempo normal y 500 en sobretiempo. Disponibles = 800 + 300 - 600 = 500 pares

    * En septiembre producir 400 pares en tiempo normal. Con 1000 pares para la posible demanda los cuales se pueden distribuir:

    (1300 + 500 ) + 400 - 1000 = 1200 pares disponibles para ser transportados a Ski Chalet.

    Inventario + Producción - Demanda


4 3 problemas de asignaci n

4.3 Problemas de Asignación

  • Definición del Problema

    * m trabajadores deben ser asignados a m trabajos.

    * Un costo unitario (o ganancia) Cij es asociado al trabajador i que realizara el trabajo j.

    * Minimizar el costo total ( o maximizar la ganancia total) de la asignación de trabajadores a sus respectivos empleos que le corresponde a cada uno, tratando de que esta asignación sea la óptima posible.


Electr nica ballston

Electrónica Ballston

  • Existen 5 diferentes proyectos eléctricos sobre 5 líneas de producción que necesitan ser inspeccionadas.

  • El tiempo para realizar una buena inspección de un área de pende de la línea de producción y del área de inspección.

  • La gerencia desea asignar diferentes áreas de inspección a inspectores de productos tal que el tiempo total utilizado sea mínimo.


Cap c3 adtulo 4

  • Datos

    * Tiempo de inspección en minutos para la línea de ensamble de cada área de inspección.


Red que representa el problema

S1=1

S2=1

S3=1

S4=1

S5=1

RED QUE REPRESENTA EL PROBLEMA

Línea de ensamble

Área de Inspección

D1=1

1

A

2

B

D2=1

3

C

D3=1

D4=1

4

D

D5=1

5

E


Cap c3 adtulo 4

  • Supuestos restricciones

    * El número de trabajadores es igual al número de empleos.

    * Dado a que el problema esta balanceado, cada trabajador es asignado sólo una vez y cada trabajo tiene exactamente un solo trabajador.

    * Para un problema desbalanceado se debe agregar un trabajador “ficticio” (en el caso de que existan más trabajos que trabajadores) o un empleo “ficticio” (en el caso de que existan más trabajadores que trabajos), quedando así el problema balanceado.


Soluci n mediante el m todo h ngaro

Solución mediante el método Húngaro

  • Problema:

    El profesor Michell ha terminado 4 capítulos de su libro y esta pensando en pedir ayuda para terminarlo. El ha elegido a 4 secretarias que podrían tipearle cada uno de sus capítulos. El costo asociado refleja la velocidad de la secretaria y la exactitud con la que realiza el trabajo. Además los capítulo difieren en la cantidad de hojas y en la complejidad. ¿Qué puede hacer el profesor si conoce la siguiente tabla:

    Capítulos

    Secretaría 13 14 15 16

    Juana 96 99 105 108

    María 116 109 107 96

    Jackeline 120 102 113 111

    Edith 114 105 118 115


Cap c3 adtulo 4

  • Restricciones del Método

    * Solo problemas de minimización.

    * Número de personas a asignar m es igual al número de lugares m.

    * Todas las asignaciones son posibles

    * Una asignación por persona y una persona por asignación

  • Matriz de Costos

    Capítulos

    Secretaría 13 14 15 16

    Juana 96 99 105 108

    María 116 109 107 96

    Jackeline 120 102 113 111

    Edith 114 105 118 115


Cap c3 adtulo 4

  • Restar el Menor valor de cada fila

    Capítulos

    Secretaría 13 14 15 16

    Juana 0 3 9 12

    María 20 13 11 0

    Jackeline 18 0 11 9

    Edith 9 0 13 10

  • Restar el menor valor de cada columna en la matriz anterior

    Capítulos

    Secretaría 13 14 15 16

    Juana 0 3 0 12

    María 20 13 2 0

    Jackeline 18 0 2 9

    Edith 9 0 4 10


Cap c3 adtulo 4

  • Trazar el mínimo número de líneas que cubran los ceros de la matriz obtenida en el punto anterior.

    Capítulos

    Secretaría 13 14 15 16

    Juana 0 3 0 12

    María 20 13 2 0

    Jackeline 18 0 2 9

    Edith 9 0 4 10

  • Si el número de líneas es igual al número de filas se esta en la solución óptima, sino identificar el menor valor no rayado restarselo a los demás números no rayados y sumarlo en las intersecciones.

    Pare este caso corresponde al valor 2


Cap c3 adtulo 4

Capítulos

Secretaría 13 14 15 16

Juana 0 5 0 14

María 18 13 0 0

Jackeline 16 0 0 9

Edith 7 0 2 10

  • Las asignaciones corresponde a los valores donde existen 0

    Juana Cap. 13

    María Cap. 16

    Jackeline Cap. 15

    Edith Cap. 14

    *Costo Asignación: 96 + 96 +113 +105 =410


Cap c3 adtulo 4

  • Casos especiales

    * Cuando un trabajador no puede realizar un empleo en particular

    * Cuando un trabajador puede ser asignado a más de un trabajo.

    * Un problema de maximización.


4 4 problema del vendedor viajero

4.4 Problema del vendedor viajero

  • Definición del problema

    • Existen m nodos

    • Un costo unitario Cij es asociado al arco (i,j).

    • El objetivo es encontrar el ciclo que minimizeel costo total al visitar todos los nodos exactamente una vez.

  • Se trata de un tour es un recorrido que comienza en una ciudad de partida visitando cada ciudad (nodo) de una cierta red, exactamente una vez y volviendo al punto de partida.

  • El objetivo es minimizar el viaje, ya sea desde los puntos de vista de tiempo y distancia.

    -


Cap c3 adtulo 4

  • Complejidad

    • Escribir el modelo matemático y resolverlo resulta muchas veces incómodo, ya que un problema de 20 ciudades requiere de 500,000 restricciones.

  • Importancia

    - Diversas aplicaciones pueden ser resueltas como un problema de vendedor viajero

    - Ejemplo

    * Rutas a seguir por buses escolares

    * Distribución de bombas militares

    - El problema tiene importancia teórica porque este representa una clase de problemas llamados NP-completos.


Cap c3 adtulo 4

AGENCIA GUBERNAMENTAL DE EMERGENCIA

  • Se debe realizar una visita a cuetro oficinas locales de la AGE, partiendo de la oficina principal y volviendo a la misma, la cual esta ubicada en Northridge, Southern California.

  • Datos

    Tiempo en minutos para trasladarse de una oficina a otra


Cap c3 adtulo 4

40

2

3

Red que representa el problema de vendedor viajero de AGE

25

35

50

40

50

1

4

65

45

30

80

Of. Princ


Cap c3 adtulo 4

  • Solución

    - Identificación de los posibles ciclos.

    * Existen (m-1)1 ciclos posibles

    * Solo problemas pequeños pueden ser resuletos.

    - Se utiliza una combinación de problemas de asignación con la técnica Branch and Bound.

    * Problemas con menos de 20 nodos pueden ser resueltos en forma eficiente por este método.


Cap c3 adtulo 4

EL PROBLEMA AGE - Identificación de los posibles ciclos

CicloCosto Total

1. H-O1-O2-O3-O4-H210

2. H-O1-O2-O4-O3-H 195

3. H-O1-O3-O2-O3-H 240

4. H-O1-O3-O4-O2-H 200

5. H-O1-O4-O2-O3-H 225

6. H-O1-O4-O3-O2-H 200

7. H-O2-O3-O1-O4-H 265

8. H-O2-O1-O3-O4-H 235

9. H-O2-O4-O1-O3-H 250

10. H-O2-O1-O4-O3-H 220

11. H-O3-O1-O2-O4-H 260

12. H-O3-O1-O2-O4-H260


Cap c3 adtulo 4

Datos de entrada para el problema de vendedor viajero en WINQSB


Cap c3 adtulo 4

Solución de WINQSB -Una combinación de

problema de asignación y la técnica

Branch and Bound


Cap c3 adtulo 4

40

2

3

25

35

50

40

1

50

4

65

45

30

80

Of. Princ


4 5 problemas de la ruta m s corta

4.5 Problemas de la Ruta más corta

  • Se trata de encontrar la ruta de menor distancia, o costo ,a entre el punto de partida o nodo inicial y el destino o nodo terminal.

  • Definición del Problema

    - Se tienen n nodos, partiendo del nodo inicial 1 y terminando en el nodo final n.

    - Arcos bi-direccionales conectan los nodos i y j con distancias mayores que cero, dij

    - Se desea encontrar la ruta de mínima distancia que conecta el nodo 1 con el nodo n.


Cap c3 adtulo 4

Lineas Fairway Van

  • Determine la ruta mas corta entre Seattle y El Paso para la siguiente red de carreteras.


Cap c3 adtulo 4

Seattle

Butte

599

1

2

497

691

Boise

180

420

3

4

Cheyenne

345

Salt Lake City

432

Portland

440

Reno

7

8

526

6

138

102

432

5

621

Sac.

291

Denver

9

Las Vegas

11

280

10

108

452

Bakersfield

Kingman

155

Barstow

114

469

15

207

12

14

13

Albuque.

Phoenix

Los Angeles

386

403

16

118

19

17

18

San Diego

425

314

Tucson

El Paso


Cap c3 adtulo 4

  • Solución - Analogía de un problema de programación lineal

    - Variables de decisión

    Xij= 1 si un transporte debe viajar por la carretra que une la ciudad i con la ciudad j.

    0 En cualquier otro caso

    Objetivo = Minimizar S dijXij


Cap c3 adtulo 4

Butte

Seattle

2

599

1

497

Boise

180

3

4

345

Salt Lake City

432

Portland

7

Sujeto a las siguientes restricciones

  • [El numero de carreteras para salir de Seattle (Nodo de inicio)] = 1X12 + X13 + X14 = 1

De una forma similar:

[El número de carreteras para llegar a El Paso (Nodo final)] = 1X12,19 + X16,19 + X18,19 = 1

  • [El número de carreteras para entrar a la cuidad] = [El número de carreteras para salir de la ciudad]. Por ejemplo, en Boise (Ciudad 4):

  • X14 + X34 +X74 = X41 + X43 + X47.

Restricciones mayores que cero


Cap c3 adtulo 4

Solución Optima por WINQSB


Cap c3 adtulo 4

  • Solución-Analogía con un problema de redes

    El algoritmo de Dijkstra’s:

    -Encontrara la distancia mínima del nodo de partida a los otros nodos, en el orden que se encuentrana los nodos con respecto al nodo de inicio.

    - Este algoritmo encuentra la ruta más corta desde el nodo de inicio a todos los nodos de la red.


Cap c3 adtulo 4

Una representación del algoritmo de Dijkstra’s

420

+

=

SLC.

1119

SLC

599

BUT.

599

BUT

+

=

691

1290

CHY.

345

+

SLC

SLC.

=

SLC

497

497

BOI.

BOI

BOI

+

=

432

612

BOI

BOI

180

POR.

180

POR

+

=

602

SAC.

782

SAC

842

SEA.

… Y de esta manera

hasta cubrir toda la red..


4 6 arbol de expansi n m nima

4.6 Arbol de expansión mínima

  • Este problema surge cuando todos los nodos de una red deben conectar entre ellos, sin formar un loop.

  • El árbol de expansión mínima es apropiado para problemas en los cuales la reundancia es expansiva, o el flujo a lo largo de los arcos se considera instantáneo.


Cap c3 adtulo 4

EL TRANSITO DEL DISTRITO METROPOLITANO

  • La ciudad de Vancouver esta planificando el desarrollo de una nueva línea en sistemas de tránsito.

  • El sistema debe unir 8 residencias y centros comerciales.

  • El distrito metropolitano de transito necesita seleccionar un conjunto de líneas que conecten todos los centros a un mínimo costo.

  • La red seleccionada debe permitir:

    - Factibilidad de las líneas que deban ser construídas.

    - Mínimo costo posible por línea.


Cap c3 adtulo 4

RED QUE

REPRESENTA

EL ARBOL

EXPANDIDO.

55

Zona Norte

Universidad

50

3

5

30

Distrito

Comercial

39

38

4

33

34

Zona Oeste

45

32

1

8

28

43

35

2

6

Zona Este

Zona

Centro

Shopping

Center

41

40

37

44

36

7

Zona Sur


Cap c3 adtulo 4

  • Solución - Analogía con un problema de redes

    - El algoritmo que resuelve este problema es un procedimiento muy fácil (“trivial”).

    - Corresponde a una categoría de algoritmos “ávidos”.

    - Algoritmo:

    * Comience seleccionando el arco de menor longitud.

    * En cada iteración, agregue el siguiente arco de menor longitud del conjunto de arcos disponibles , tomando la precaución de no formar ningún loop.

    * El algoritmo finaliza cuando todos los nodos están conectados.

  • Solución mediante el computador

    - Los entrada consiste en el número de nodos, el largo de los arcos y la descripción de la red.


Cap c3 adtulo 4

Solución óptima mediante WINQSB


Cap c3 adtulo 4

RED QU E

REPRESENTA LA

SOLUCIÖN ÖPTIMA

55

Universidad

50

3

5

30

Zona Norte

Distrito

Comercial

39

38

4

33

34

Zona Oeste

45

Loop

32

1

8

28

43

35

2

6

Zona Este

Zona

Centror

Shopping

Center

41

40

37

44

36

Costo Total = $236 milliones

7

Zona Sur


4 7 problema del flujo m ximo

4.7 Problema del flujo máximo

  • Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red.

  • Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único lugar destino a través de arcos que conectan nodos intermedios

  • Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedida

  • La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada dirección del arco.


Cap c3 adtulo 4

  • Definición del Problema

    - Existe un nodo origen (con el número 1), del cual los flujos emanan.

    - Existe un nodo terminal (con el número n), en el cual todos los flujos de la red son depositados.

    - Existen n-2 nodos (númerados del 2, 3,....,n-1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale.

    - La capacidad Cij que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad Cji para la dirección opuesta.


Cap c3 adtulo 4

El objetivo es encontrar la máxima cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los arcos.


Cap c3 adtulo 4

COMPAÑÍA QUIMICA UNIDA

  • Química unida produce pesticidas y otros productos de control agrícola.

  • El veneno químico necesario para la producción es depositado en grandes tambores.

  • Una red de tubos y válvulas regula el flujo del químico de los tambores a las diferentes áreas de producción.

  • El departamento de seguridad debe diseñar un procedimiento que vacíe los tambores de la forma más rápida posible dentro de los tubos del área de depósito, usando la misma red de tubos y válvulas.

  • El procedimiento debe determinar:

    - Qué válvulas deben abrirse y cerrarse

    - Estimar el tiempo total de descarga.


Cap c3 adtulo 4

No se permite flujo de 4 a 2.

  • Datos

0

El máximo flujo de 2 a 4 es 8

4

8

7

2

3

0

6

1

10

0

0

3

2

0

1

6

7

4

10

2

Tambores

con químico

0

Tubo de Seg.

1

0

4

2

12

8

3

0

5


Cap c3 adtulo 4

  • Solución - Analogía de un problema de programación lineal

    • Variables de decisión

      Xij - Flujo que viaja desde el nodo i hacia el nodo j a través del arco que conecta ambos nodos.

    • Función Objetivo - Maximizar el flujo que sale del nodo 1

      Max X12 + X13

    • Restricciones

      • [Flujo total que sale del nodo 1] = [Flujo total que entra en el nodo 7]

        X12 +X13 = X47 + X57 + X67

      • [Para cada nodo intermedio: Flujo que entra = flujo que sale]

        Nodo 2: X12 + X32= X23 +X24 + X26

        Nodo 3:X13 +X23 + 63 = X32 +X35 + X36

        Nodo 4:X24 +X64= X46 + X47

        Nodo 5:X35 +X65= X56 + X57

        Nodo 6:X26 +X36 + X46 +X56 = X63 +X64 +X65 + X67


Cap c3 adtulo 4

  • EL flujo no puede exceder la capacidad de los arcos

  • X12 10; X13 10; X23 1; X24 8; X26 6; X32 1;

    X35 15; X36 4; X46 3; X47 7; X56 2; X57 8;

    X63 4; X64 3; X65 2; X67 2;

  • Los flujos no pueden ser negativos: Todos Xij >= 0

  • Se debe tener presente que este problema es relativamente pequeño y la solución puede ser obtenida rápidamente usando el modelo de programación lineal.

  • Sin embargo para problemas de mayor envergadura se aconseja usar el modelo de redes.


  • Cap c3 adtulo 4

    • Solución-Analogía con un problema de redes

      - La idea básica es la siguiente:

      * Encontrara un sin capacidad en cada uno de sus arcos.

      * Aumentar el flujo de esos arcos por la mínima capacidad de uno de los arcos de la ruta.

      * Repetir este procedimiento hasta completar la ruta de manera tal que todos los arcos tengan una capacidad residual positiva.

      *Designar un nodo origen y un nodo de flotación

      * Definir las capacidades de todos los arcos en la red ( en ambos sentidos)

      * A continuación se muestra la solución obtenida usando WINQSB.


    Cap c3 adtulo 4

    7

    7

    7

    2

    2

    10

    8

    8

    El máximo flujo obtenido por WINQSB

    8

    4

    2

    Flujo Máximo= 17

    1

    6

    7

    Tambores

    con químico

    Tubo de Seg.

    3

    5


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