روش عناصر محدود Finite Element Procedures

2. روش عناصر محدود Finite Element Procedures کریم عابدی

3. فصل چهارم: فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك

4. 1- مقدمه در فصل پيشين در مورد فرمول بندي عناصر محدود با مختصات تعميم يافته (Generalized coordinates) بحث نموديم. هدف اساسي و اصلي از ارائه عناصر محدود با مختصات تعميم يافته، تقويت فهم خود از روش عناصر محدود بود، ولي اشاره كرديم كه در اغلب تحليل هاي عملي استفاده از عناصر محدود ايزوپارامتريك موثرتر است. همراه كردن يك مفهوم فيزيكي با مختصات تعميم يافته ناممكن بود، با وجود اين با بيان مختصات تعميم يافته α بر حسب تغيير مكان هاي نقاط گرهي عنصر û دريافتيم كه عموما هر ضريب چند جمله اي ( يعني α1 ، α2 و ...) يك تغيير مكان واقعي نيست، بلكه مساوي با تركيب خطي تغيير مكان هاي نقاط گرهي عنصر مي باشد.

5. 1- مقدمه • دشواري هاي مدل هاي مختصات تعميم يافته : • دشواري مرزهاي انحنادار، • ناسازگاري هاي ايجاد شده در عناصر صفحه اي و پوسته اي، • كار آيي كم فرمول بندي: • الف) ضرورت تعیین: • ب) انتگرال گیری تحلیلی برای یافتن تمامی درایه های ماتریس سختی. ايده اصلي فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك، يافتن رابطه اي است بين تغيير مكان هاي عنصر در هر نقطه اي و تغيير مكان هاي نقاط گرهي با استفاده مستقيم از توابع درون يابي (Interpolation functions) يا توابع شكل (Shape functions). بنابراين در فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك، برای تعیین ماتریس H، ماتريس تبديل A-1 تعيين نمي شود.

6. 1- مقدمه مبناي فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك، درون يابي مختصات عنصري و تغيير مكان هاي عنصر با استفاده از توابع درون يابي يكساني است كه در يك دستگاه مختصات طبيعي (Natural Coordinate System)تعريف مي شوند. به عنوان مثال يك ميله خرپايي دو گرهي را در نظر مي گيريم و دو دستگاه مختصات كلي (Global) و طبيعي (Natural) را براي آن تعريف مي كنيم: درونيابي مختصات كلي واقعي X بر حسب مختصات طبيعي:

7. 1- مقدمه كه در آن توابع و ، توابع درون يابي يا توابع شكل مي باشند. خاصيت بنيادي تابع درون يابي hi اين است كه مقدار آن در دستگاه مختصات طبيعي در گره i مساوي 1 و در ساير گره ها صفر مي باشد. درون يابي تغيير مكان هاي كلي ميله U ( مشابه مختصات X ) بر حسب مختصات طبيعي عبارت است از: دستگاه مختصات طبيعي بر حسب تعداد ابعاد عنصر، يك بعدي ( بر حسب r )، دوبعدي ( بر حسب , sr )، و يا سهبعدي ( بر حسب , s , tr )، خواهد بود ( يك بعدي براي عنصر ميله اي خرپايي، دوبعدي براي عناصر كرنش مسطح و تنش مسطح و متقارن محوري، سهبعدي براي عناصر سهبعدي عمومي).

8. 1- مقدمه در ابتدا فرمول بندي عناصر محدودي را كه در آنها درجات آزادي صرفا از نوع تغيير مكان هاي گرهي مي باشند، (عناصر محيط پيوسته Continuum Element) ( نظير عناصر خرپايي، عناصر كرنش مسطح ، تنش مسطح، متقارن محوري، سهبعدي عمومي) را مورد بررسي قرار خواهيم داد. سپس در مورد عناصري كه در آنها دوران ها نيز در درجات آزادي وارد مي شوند (عناصر سازه اي Structural Elements) ( نظير تيرها، صفحات و پوسته ها) بحث و بررسي خواهيم نمود.

9. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته - فرمول بندي ماتريس هاي عناصر محيط پيوسته، صرف نظر از اينكه عنصر يكبعدي، دوبعدي يا سهبعدي مورد نظر باشد، عموما يكسان است. بر همين اساس در ارائه عمومي فرمول بندي ها، معادلات يك عنصر سهبعدي را مورد بررسي قرار مي دهيم. فرمول بندي هاي عناصر يكبعدي و دوبعدي به آساني با استفاده از محورهاي مختصات مربوطه و توابع درون يابي مناسب بدست مي آيند. درون يابي مختصات براي يك عنصر سهبعدي عمومي عبارت است از: كه در آنها x و y و z‌ مختصات هر نقطه اي از عنصر مي باشند (كلي يا محلي). xi و yi و zi و i =1, 2, ….q ، مختصات ‌گره i از عنصر مي باشند و q برابر با تعداد گره هاي عنصر مي باشد. درون يابي تغییرمکان براي يك عنصر سهبعدي عمومي نیز عبارت است از:

10. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته hi ها در مختصات طبيعي عنصر تعريف مي شوند و داراي متغيرهاي r‌، s، t‌مي باشند كه از 1- تا 1 تغيير مي كنند. براي عناصر يك بعدي، hi تنها به متغيرهاي مختصات r و براي عناصر دو بعدي hiتنها به متغيرهاي r ‌وs و براي عناصر سه بعدي hiبه متغيرهاي r ‌وs و t بستگي خواهند داشت. خاصيت بنيادي تابع درون يابي hi اين است كه مقدار آن در دستگاه مختصات طبيعي در گره i مساوي 1 و در ساير گره ها صفر مي باشد. با استفاده از اين شرايط، توابع hi مربوط به آرايش نقاط گرهي خاص به طريقه اي سيستماتيك بدست مي آيند. بدين صورت كه نخست توابع درون يابي مربوط به يك عنصر بنيادي دو گرهي بدست مي آيد. اضافه نمودن يك گره ديگر موجب ايجاد يك تابع درون يابي ديگري شده و يك اصلاح به توابع درون يابي پيشين اعمال مي گردد.

11. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته الف) توابع درون يابي عنصر يكبعدي

12. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته الف) توابع درون يابي عنصر يكبعدي سهگرهی- مثال

13. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته ب) توابع درون يابي عنصر دوبعدي

14. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته ب) توابع درون يابي عنصر دوبعدي 7گرهی- مثال

15. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته توابع درون يابي عنصر دوبعدي 8گرهی- مثال

16. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته پ) توابع درون يابي عنصر سهبعدي (شش وجهي يا آجري)

17. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته پ) توابع درون يابي عنصر سهبعدي (شش وجهي يا آجري) - مثال

18. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته بنابراين ملاحظه مي شود كه عناصر ايزوپارامتريك داراي دو مزيت اساسي مي باشند: 1- با استفاده از درون يابي مختصات و ... ، عناصر مي توانند بدون هيچگونه دشواري داراي مرزهاي انحنادار باشند. 2- توابع تغيير مكان اين عنصر را مي توان به آساني ايجاد نمود (عنصر مي تواند داراي هر تعداد گره باشد). - در فرمول بندي ایزوپارامتريک، تغيير مكان هاي عناصر به طريقه مشابه مختصات هندسه عنصر درون يابي مي شوند، به عبارت ديگر داريم: كه در آن u و v و w تغيير مكان هاي محلي (يا كلي) عنصري در هر نقطه عنصر بوده و ui و vi و wi ، i= 1, 2,…,qتغيير مكان هاي عنصر در گره هايش مي باشد.

19. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته مثال: اسخراج ماتریس درون یابی H برای عنصر تنش مسطح چهارضلعی 4 گرهی: مثال: اسخراج ماتریس درون یابی H برای عنصر سهبعدی عمومی 8 گرهی:

20. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته ت) نحوه تعيين ماتريس سختي عنصر ايزوپارامتريك - براي محاسبه ماتريس سختي يك عنصر، محاسبه ماتريس تبديل كرنش-تغيير مكانBضروري مي باشد. كرنش هاي عنصر بر حسب مشتقات تغيير مكان هاي عنصر نسبت به مختصات محلي (يا كلي) به دست مي آيند: از آنجا كه مختصات عنصر در دستگاه مختصات طبيعي تعريف مي شوند، داريم: مي توان رابطه معكوسي را نيز بدست آورد:

21. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته مشتقات زير را مي توان با استفاده از قاعده زنجيره اي (Chain rule) بدست آورد: ملاحظه مي كنيم كه براي محاسبه ، نياز داريم كه را محاسبه نماييم. اين بدان معني است كه صريحا به روابط معكوس نياز داريم. ايجاد اين روابط معكوس به طور صريح عموما دشوار است، لذا طريقه زير را پيش مي گيريم: به صورت نماد ماتريسي خواهيم داشت:

22. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته ماتریس ژاکوبی برای عناصر سهبعدی ماتریس ژاکوبی برای عناصر دوبعدی ماتریس ژاکوبی برای عناصر یکبعدی

23. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته كه در آن J‌ عملگر ژاكوبي (Jacobian operator) مي باشد كه مشتقات مختصات طبيعي را به مشتقات مختصات محلي (يا كلي ) ربط مي دهد. محاسبه عملگر ژاكوبي بسيار راحت است. براي تعيين ، خواهيم داشت: كه ايجاب مي كند كه معكوس ژاكوبي موجود باشد. - معكوس J هنگامي موجود است كه يك تناظر يك به يك بين مختصات طبيعي و محلي (يا كلي) عنصر وجود داشته باشد (به عبارت ديگر به ازاي هر r و s‌ و t‌ فقط يك x و y و z به طور متناظر وجود داشته باشد). - در حالاتي كه عنصر داراي اعوجاج زيادي بوده و يا به روي خودش خم شده باشد، رابطه منحصر به فردي بين دستگاه هاي مختصات طبيعي و محلي (يا كلي) وجود ندارد.

24. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته - اكنون با استفاده از و مي توان مشتقات را محاسبه كرد و در نتيجه مي توان ماتريس تبديل كرنش-تغيير مكان B‌ را با استفاده از رابطه زير ايجاد نمود: كه در آن û برداري است كه شامل تغيير مكان هاي نقاط گرهي است. يادآوري مي كنيم كه J بر عناصر ماتريس B اثر مي گذارد. ماتريس سختي عنصر متناظر با درجات آزادي محلي عنصر عبارت است از: عناصر ماتريس B، توابعي از مختصات طبيعي r و s و t مي باشند. بنابراين انتگرال گيري حجمي روي حجم مختصات طبيعي بسط مي يابد و ضروري است كه ديفرانسيل حجمي dV نيز بر حسب مختصات طبيعي نوشته شود. در حالت كلي داريم:

25. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته برای حالات خاص دوبعدی و سهبعدی خواهيم داشت: به همين ترتيب با داشتن خواهيم داشت: بردار نيروي جسمي بردار نيروي سطحي بردار تنش اوليه

26. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته مثال: ماتریس های درون یابی تغییر مکان H، ماتریس درون یابی کرنش-تغییر مکان B و عملگر ژاکوبی J را برای عنصر خرپایی سه گرهی نشان داده شده در شکل زیر استخراج کنید. h1 h2 h3 حل: با استفاده از توابع درون يابي عنصر داريم: (الف) ماتريس كرنش-تغيير مكان B از طريق مشتق گيري از H نسبت به r و پيش ضرب نمودن نتيجه حاصله در معكوس عملگر ژاكوبي بدست مي آيد:

27. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته (ب) براي تعيين J از رابطه زير استفاده مي كنيم: (پ) بنابراين: كه در آن يادآوري مي كنيم كه چون گره 3 در وسط عنصر خرپايي قرار دارد، x به طور خطي بين گره هاي 1 و 2 درون يابي مي شود. نتيجه مشابهي نيز با استفاده تنها از گره هاي 1و 2 براي درون يابي هندسي بدست مي آيد. حال با استفاده از رابطه (پ)، داريم:

28. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته مثال: عملگر ژاکوبی J عناصر دو بعدی نشان داده شده در شکل را ایجاد کنید. حل: عملگر ژاكوبي براي دستگاه هاي مختصات كلي X و Y و محلي x و y يكسان مي باشد. از اين رو براي آساني كار از دستگاه هايمختصاتمحلي استفاده مي كنيم.

29. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته با استفاده از توابع درون يابي براي عنصر 1 نتيجه زير حاصل مي گردد: به طور مشابه براي عنصر 2 داريم: همچنين براي عنصر 3 داريم:

30. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته در این مرحله ذکر یک نکته مهم، ضروری است و آن استفاده از انتگرال گیری عددی (Numerical integration) در تعیین ماتریس سختی عنصر است. محاسبه تحلیلی انتگرال گیری حجمی ( ) عموما موثر نیست، بویژه هنگامی که از درون یابی های مرتبه بالاتر استفاده می شود و یا هنگامی که عنصر دارای اعوجاج است. بنابراین از انتگرال گیری عددی استفاده می شود. در حقیقت انتگرال گیری عددی را باید به عنوان یک قسمت مکمل محاسبه ماتریس سختی عنصر ایزوپارامتریک تلقی نمود. انتگرال گیری عددی را به طور خلاصه می توان به صورت زیر بیان کرد: اعضای ماتریس F به r و s وt بستگی دارند. مناسب ترین و متداول ترین روش انتگرال گیری در تعیین ماتریس سختی، روش انتگرال گیری عددی Gauss-Legendre می باشد

31. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته بحثی در مورد انتگرال گیری عددی با استفاده از روش انتگرال گیری عددی Gauss-Legendre نقاط نمونه گیری و وزن ها در انتگرال گیری عددی Gauss-Legendre

32. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته انتگرال گیری عددی گوسی در میدان های چهار ضلعی

33. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته بنابراین با استفاده از روش انتگرال گیری عددی Gauss-Legendre، ماتریس سختی عنصر به صورت زیر محاسبه می شود: که در آن Fijk ماتریس F می باشد که در نقطه (ri , sj , tk) محاسبه شده است و αijkمقدار ثابت معلومی می باشد که بستگی به مقادیرri و sj و tkدارد. نقاط نمونه گیری ri و sj و tkو فاکتورهای وزنی متناظر با آنها αijkبه گونه ای انتخاب می شوند که حداکثر دقت در انتگرال گیری حاصل شود. طبیعتا دقت انتگرال گیری را می توان با افزایش تعداد نقاط نمونه گیری افزایش داد.

34. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته نحوه محاسبه ماتریس های سختی در عناصر محدود یکبعدی نحوه محاسبه ماتریس های سختی در عناصر محدود دوبعدی نحوه محاسبه ماتریس های سختی در عناصر محدود سهبعدی

35. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته مرتبه مناسب انتگرال گیری عددی انتخاب مرتبه انتگرال گیری عددی در عمل مهم است، زیرا اولا هنگامی که انتگرال گیری از مرتبه بالاتر مورد استفاده قرار می گیرد، هزینه تحلیل نیز افزایش می یابد و ثانیا استفاده از مرتبه های مختلف انتگرال گیری تاثیر بسیار زیادی در نتایج حاصل دارد. نکته اول در انتخاب مرتبه انتگرال گیری عددی این است که از لحاظ تئوریک اگر از مرتبه های به حد کافی بالا استفاده شود، تمامی ماتریس ها به طور بسیار دقیق تعیین خواهند شد. از سوی دیگر با استفاده از مرتبه انتگرال گیری بسیار پایین ممکن است که ماتریس ها خیلی غیر دقیق تعیین می شوند و در حقیقت حل مساله ناممکن می گردد. جدول صفحه بعد مرتبه های توصیه شده انتگرال گیری عددی تام گوسی (Full Gaussian Numerical integration) برای تعیین عنصر ایزوپارامتریک مبتنی بر تغییر مکان را نشان می دهد. انتگرال گیری عددی ”تام“ را به عنوان مرتبه ای در انتگرال گیری تعریف می کنیم که ماتریس ها را به طور کامل (Exact) بدست دهد (به عبارت دیگر مقادیری که به طور تحلیلی انتگرال گیری شده اند)، البته هنگامی که عنصر از نظر هندسی دارای اعوجاج قابل توجهی نباشد.

36. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته مرتبه هاي توصيه شده انتگرال گيري عددي تام گوسي

37. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته استفاده از این مرتبه انتگرال گیری برای یک عنصر با اعوجاج هندسی موجب نخواهد شد که ماتریس های عنصری به طور کامل انتگرال گیری شوند، ولی با وجود این تحلیل قابل اطمینان است، زیرا خطاهای انتگرال گیری به طور قابل قبولی کوچک اند، البته با این فرض که اعوجاج هندسی عناصر معقول باشد. اگر اعوجاجات هندسی عنصر بسیار بزرگ باشند و در تحلیل غیرخطی، مرتبه انتگرال گیری بالاتر ممکن است که مناسب باشد. دلیل اصلی برای توصیه مرتبه های انتگرال گیری عددی در جدول مذکور، این است که قابلیت اطمینان روش های عناصر محدود اهمیت فراوانی دارد و اگر یک انتگرال گیری مرتبه پایین تر از مرتبه تام مورد استفاده قرار گیرد، عموما تحلیل غیر قابل اطمینان خواهد شد.

38. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته * یک نکته مهم: یادآوری می کنیم که فرمول بندی تغییر مکان تحلیل عناصر محدود موجب یک انرژی کرنشی کوچک تر از انرژی کرنشی کامل مدل ریاضی / مکانیکی مورد بحث می شود و به طور فیزیکی یک فرمول بندی تغییر مکان موجب تخمین بیش از حد سختی سیستم می گردد. بنابراین اگر ماتریس های سختی عناصر مبتنی بر تغییر مکان را از طریق انتگرال گیری عددی به طور غیر دقیق تعیین کنیم، در این صورت انتظار داریم که در مجموع نتایج حل بهتری را بتوانیم بدست آوریم. البته این نکته هنگامی امکان پذیر است که خطا در انتگرال گیری عددی به طور مناسبی با تخمین بیش از حد سختی سازه که به علت گسسته سازی عناصر محدد می باشد، جبران شود. به عبارت دیگر اگر در انتگرال گیری عددی از مرتبه ای کمتر از مرتبه مورد نیاز برای تعیین ماتریس های سختی عناصر به طور کامل (برای عناصر بدون اعوجاج هندسی) استفاده شود، در این صورت می توان انتظار داشت که نتایج حاصل بهتر شوند. در این مورد که از مرتبه انتگرال گیری کاسته می شود، به روش بکار برده شده انتگرال گیری کاهش یافته (Reduced integration method) اطلاق می شود. به عنوان مثال استفاده از انتگرال گیری گوسی 2*2 برای تعیین ماتریس سختی عنصر ایزوپارامتریک نه گرهی، متناظر با یک انتگرال گیری کاهش یافته می باشد.

39. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته دو طريقه استفاده از انتگرال گيري عددي در تعيين ماتريس سختي عنصر ايزوپارامتريك: 1- تعيين ماتريس و انتگرال گيري عددي از درايه هاي ماتريس F؛ 2- تعيين ماتريس هاي و اعمال انتگرال گيري عددي. مثال: عبارات مورد نياز براي تعيين ماتريس سختي عنصر محدود چهار گرهي ایزوپارامتریک نشان داده شده در شكل را استخراج كنيد. شرايط تنش مسطح يا كرنش مسطح را فرض كنيد.

40. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته براي اين عنصر با استفاده از توابع درون يابي، درون يابي مختصات عبارت است از: همچنين درون يابي تغيير مكان: كرنش هاي عنصر به صورت زير مي باشند: براي تعيين مشتقات تغيير مكان ضروري است كه روابط زير تعيين شوند:

41. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته كه در آن داريم: بنابراين براي هر مقدار r و s با فرض ، مي توان عملگر ژاكوبي را با استفاده از عبارات نشان داده شده براي ، تشكيل داد. فرض كنيد كه J را در ، تعيين نموده و عملگر را با Jij و دترمينان آن را با det Jij نماش دهيم، در اين صورت داريم:

42. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته براي تعيين كرنش هاي عنصر از روابط زير استفاده مي كنيم:

43. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته بدين ترتيب مي توان ماتريس تبديل كرنش-تغيير مكان را در نقطه (ri , sj) ايجاد نمود. به عبارت ديگر رابطه زير را بدست مي آوريم: كه در ان انديس هاي پايينi و jدلالت بر اين دارند كه تبديل كرنش-تغيير مكان در نقطه (ri , sj) تعيين شده است. به عنوان مثال اگر x=r وy=s باشد ( به عبارت ديگر ماتريس سختي يك عنصر مربعي مورد نياز است كه داراي طول اضلاع مساوي 2 مي باشد)، عملگر ژاكوبي ماتريس واحد است و از اين رو داريم: حال ماتريس Fij به آساني به صورت زير بدست مي آيد: كه در آن ماتريس خواص مصالح C‌در جدول داده شده است. در حالت شرايط تنش مسطح يا كرنش مسطح، انتگرال گيري در صفحه r و s انجام می شود و فرض مي شود كه تابع F در سرتاسر ضخامت عنصر ثابت است. بنابراين ماتريس سختي عنصر به صورت زير مي باشد:

44. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته كه در ان tij ضخامت عنصر در نقطه نمونه گيري (ri, sj)‌ مي باشد (در تحليل كرنش مسطح tij =1‌است). با داشتن ماتريس هاي Fij به صورتي كه داده شده است و فاكتورهاي وزني انتگرال گيري كه در دسترس مي باشند، ماتريس سختي مورد نظر را مي توان به آساني تعيين نمود.

45. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته ث) توابع درون یابی عنصر مثلثی دوبعدی و عناصر چهاروجهی (گوه ای) سه بعدی گفتیم که عناصر ایزوپارامتریک ” چهارضلعی دوبعدی“ و ” شش وجهی سه بعدی“ می توانند برای مدل نمودن اشکال هندسی بسیار عمومی مورد استفاده قرار بگیرند ولی در برخی حالات عناصر مثلثی یا گوه ای ممکن است که جلب نظر کند. دو روش در فرمول بندی عناصر مذکور وجود دارد: ث-1) بدست آوردن عناصرمثلثی دوبعدی و چهاروجهی سه بعدی از طریق متلاشی کردن عناصر چهارضلعی دوبعدی و شش وجهی سه بعدی به نظر می رسد که یک طریقه طبیعی ایجاد عناصر مثلثی، اعوجاج دار نمودن عنصر چهارضلعی بنیادی برای ایجاد شکل مثلثی مورد نیاز باشد. در عمل نیل به هدف مذکور از طریق اختصاص دادن یک گره مشابه در مختصات کلی، به دو گره گوشه عنصر حاصل می گردد.

46. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته متلاشی نمودن فرم های عناصر چهارگرهی دوبعدی و هشت گرهی سه بعدی

47. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته مثال : نشان دهید که از متلاشی نمودن ضلع 1-2 عنصر چهارضلعی چهار گرهی نشان داده شده در شکل زیر، یک عنصر مثلثی با کرنش ثابت بدست می آید. حل: با استفاده از توابع درون یابی داریم: بنابراین با استفاده از شرایط x1=x2و y1=y2 نتیجه زیر حاصل می گردد: از این رو با مختصات گرهی داده شده در شکل داریم:

48. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته نتیجه می شود که: با استفاده از فرض ایزوپارامتریک، همچنین داریم:

49. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته بنابراین داریم: در این صورت نتیجه زیر حاصل می گردد: به ازای کلیه مقادیر u2 , v2 , u3 ,v3و نیز مقادیر u4 , v4، بردار کرنش ثابت بوده و مستقل از r و s است. بنابراین عنصر مثلثی یک مثلث کرنش ثابت می باشد.

50. 2- فرمول بندي عناصر محدود ايزوپارامتريك محيط پيوسته در مثال پیشین تنها یک حالت خاص را در نظر گرفتیم. با وجود این با استفاده از روشی مشابه به نظر می رسد که متلاشی نمودن هر ضلعی از عنصر تنش مسطح چهارضلعی یا عنصر کرنش مسطح چهارضلعی همواره موجب ایجاد یک مثلث کرنش ثابت خواهد شد. جالب توجه است که در فرمول بندی مورد استفاده در مثال مذکور، ماتریس J-1 در s=+1 تکین بود، ولی هنگامی که ماتریس کرنش-تغییر مکان محاسبه می شود، این حالت تکینی ناپدید می گردد. - بنابراین اگر در یک برنامه کامپیوتری، فرمول بندی عمومی عنصر چهارگرهی برای ایجاد یک مثلث کرنش ثابت بکار گرفته شود، در این صورت تنش ها نباید در دو گره محلی که به آنها یک گره در مختصات کلی اختصاص داده شده است، محاسبه شوند (از آنجا که تنش ها در سرتاسر عنصر ثابت اند، به آسانی در مرکز عنصر ، یعنی در r =0 و s =0 تعیین می گردند).