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§5.3 平面向量的数量积 要点梳理 1. 平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 θ ，则数量 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 .

§5.3 平面向量的数量积 要点梳理 1. 平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 θ ，则数量 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 . 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 ，两非零向量 a 与 b 平行的充要条件是. 基础知识 自主学习. | a |·| b |cos θ. a · b =| a || b |·cos θ. 0. a · b =0. a · b =±| a || b |. 2. 平面向量数量积的几何意义

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§5.3 平面向量的数量积 要点梳理 1. 平面向量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b ，它们的夹角为 θ ，则数量 叫做 a 与 b 的数量积（或内积），记作 .

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Presentation Transcript

  1. §5.3 平面向量的数量积 要点梳理 1.平面向量的数量积 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量 叫做a与b的数量积（或内积），记作. 规定：零向量与任一向量的数量积为. 两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两非零向量a与b平行的充要条件是. 基础知识 自主学习 |a|·|b|cos θ a·b=|a||b|·cos θ 0 a·b=0 a·b=±|a||b|

  2. 2.平面向量数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 的乘积. 3.平面向量数量积的重要性质 （1）e·a=a·e=； （2）非零向量a，b，a⊥b； （3）当a与b同向时，a·b=； 当a与b反向时，a·b= , a·a=，|a|=; （4）cos θ=； （5）|a·b||a||b|. |b|cosθ |a|cos θ a·b=0 |a||b| -|a||b| a2 ≤

  3. 4.平面向量数量积满足的运算律 （1）a·b=（交换律）； （2）（ a）·b= =（为实数）； （3）（a+b）·c= . b·a a·b a·b a·c+b·c

  4. 5.平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a·b=，由此得到 （1）若a=（x，y）,则|a|2= 或|a| . （2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离|AB|=|AB|= . （3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a⊥b . x1x2+y1y2 x2+y2 x1x2+y1y2=0

  5. 基础自测 1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ） A. B. C. D. 解析 设a和b的夹角为θ，|a|cos θ=|a| C

  6. 2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于 （ ） A. B. C. D. 解析 B

  7. 3.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a·（b·c）等于 （ ）3.已知a=(1,-3),b=(4,6)，c=(2,3)，则a·（b·c）等于 （ ） A.（26，-78） B.（-28，-42） C.-52 D.-78 解析a·(b·c)=(1,-3)×(4×2+6×3)=(26,-78). A

  8. 4.向量m=(x-5,1),n=(4,x),m⊥n，则x等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析 由m·n=0，得4(x-5)+x=0，得x=4. D

  9. 5.（2009·江西文，13）已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）⊥b,则k=.5.（2009·江西文，13）已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,2),若（a-c）⊥b,则k=. 解析 ∵a-c=(3,1)-(k,2)=(3-k,-1), (a-c)⊥b，b=(1,3), ∴(3-k)×1-3=0,∴k=0. 0

  10. 题型一 平面向量的数量积 【例1】已知向量a=(cos x,sin x), b=(cos ,-sin )，且x∈[ ]. (1)求a·b及|a+b|; (2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值. 利用数量积的坐标运算及性质即可求解，在求|a+b|时注意x的取值范围. 题型分类 深度剖析 思维启迪

  11. 解 ＞0 ∴|a+b|=2cos x.

  12. (2)由(1)可得f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =2(cos x- )2- . ∵x∈[ ] ，∴ ≤cos x≤1， ∴当cos x= 时，f(x)取得最小值为- ； 当cos x=1时，f(x)取得最大值为-1.

  13. 探究提高（1）与三角函数相结合考查向量的数探究提高（1）与三角函数相结合考查向量的数 量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此 类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公 式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三 角恒等变换的相关知识. （2）求平面向量数量积的步骤：首先求a与b的夹角 为θ,θ∈［0°，180°］，再分别求|a|，|b|， 然后再求数量积即a·b=|a||b|cosθ，若知道向量 的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.

  14. 知能迁移1 （1）已知O是△ABC内部一点， =0， 且∠BAC=30°，则△AOB的面积为 （ ） A.2 B.1 C. D. 解析 由 =0得O为△ABC的重心. ∴S△AOB= S△ABC. 又 cos 30°=2 ， 得 =4. ∴S△ABC= sin 30°=1.∴S△AOB= . D

  15. （2）（2009·重庆理，4）已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2，则向量a与b的夹角是 （ ）（2）（2009·重庆理，4）已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2，则向量a与b的夹角是 （ ） A. B. C. D. 解析 ∵a·(b-a)=a·b-a2=2,∴a·b=2+a2=3 ∴cos〈a，b〉= ∴a与b的夹角为 . C

  16. 题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题 【例2】已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b= （1）求证：a⊥b； （2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b, y=-ka+tb，满足x⊥y，试求此时 的最小值. （1）可通过求a·b=0证明a⊥b. （2）由x⊥y得x·y=0，即求出关于k,t的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个量k，得出关于 t的函数，从而求出最小值. 思维启迪

  17. (1)证明 ∵a·b=cos(-θ)·cos( -θ)+sin(-θ) ·sin( -θ)=sin θcos θ-sin θ cosθ=0. ∴a⊥b. （2）解 由x⊥y得x·y=0, 即［a+（t2+3）b］·（-ka+tb）=0， ∴-ka2+（t3+3t）b2+［t-k（t 2+3）］a·b=0， ∴-k|a|2+（t3+3t）|b|2=0. 又|a|2=1，|b|2=1， ∴-k+t3+3t=0，∴k=t3+3t. ∴ 故当t= 时， 有最小值 .

  18. 探究提高 （1）两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零.因此，可以将证两向量的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零. （2）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关长度、角度和垂直问题.

  19. 知能迁移2已知平面向量a=（- , ）,b=(- , -1). (1)证明：a⊥b; (2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2- 2)b, y=-ka+t2b,且x⊥y，试把k表示为t的函数. (1)证明a·b= ·( ,-1) ∴a⊥b.

  20. (2)解 ∵x⊥y,∴x·y=0, 即［a+(t2-2)b］·（-ka+t2b）=0. 展开得-ka2+［t2-k(t2-2)］a·b+t2(t2-2)b2=0, ∵a·b=0,a2=|a|2=1,b2=|b|2=4, ∴-k+4t2（t2-2）=0,∴k=f(t)=4t2 (t2-2).

  21. 题型三 向量的夹角及向量模的问题 【例3】（12分）已知|a|=1，a·b= ，（a- b）·（a+b）= ， 求：（1）a与b的夹角； （2）a-b与a+b的夹角的余弦值. 解 （1）∵（a-b）·（a+b）= ， ∴|a|2-|b|2= ， 又∵|a|=1，∴|b|= 3分 设a与b的夹角为θ， 则cos θ= ∵ 0°≤θ ≤ 180°,∴θ=45°. 6分 5分

  22. （2）∵（a-b）2=a2-2a·b+b2 ∴|a-b|= 8分 （a+b）2=a2+2a·b+b2=1+2× ∴|a+b|= , 设a-b与a+b的夹角为 ， 10分 则cos = 12分

  23. 探究提高（1）求向量的夹角利用公式cos〈a，b〉= .需分别求向量的数量积和向量的模. （2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法. ①|a|2=a2=a·a;②|a±b|2=a2±2a·b+b2; ③若a=(x,y)，则|a|= .

  24. 知能迁移3已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°. (1)计算：①|a+b|;②|4a-2b|; (2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)？ 解 由已知，a·b=4×8×(- )=-16. （1）①∵|a+b|2=a2+2a·b+b2 =16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|=4 .

  25. ②|4a-2b|2=16a2-16a·b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=3×162, ∴|4a-2b|=16 . （2）若(a+2b)⊥(ka-b),则(a+2b)·(ka-b)=0, ∴ka2+（2k-1）a·b-2b2=0. 16k-16（2k-1）-2×64=0，∴k=-7.

  26. 方法与技巧 1.数量积a·b中间的符号“·”不能省略，也不能用“×”来替代. 2.要熟练类似（ a+μb)·(sa+tb)= sa2+( t+μs) a·b+μtb2的运算律（ 、μ、s、t∈R）. 3.求向量模的常用方法：利用公式|a|2=a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算. 4.一般地，（a·b）c≠(b·c)a即乘法的结合律不成立.因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c共线的向量，同理右边（b·c）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c ≠(b·c)a. 思想方法 感悟提高

  27. 失误与防范 1.零向量:(1)0与实数0的区别，不可写错：0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0;(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系. 2.a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0a⊥b. 3.a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c.即消去律不成立. 4.向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，〈 〉应为120°,而不是60°.

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