Rete di Hopfield applicata al problema del TSP Federica Bazzano 197112

1. Rete di Hopfield applicata al problema del TSPFederica Bazzano 197112

2. Traveling Salesman Problem Dato un numero finito di città A, B, C,..., e le distanze dij fra esse, il problema consiste nella determinazione di un tour ovvero una sequenza di città da visitare, in modo che ogni città venga visitata una sola volta, minimizzando il percorso seguito e ritornando alla città di partenza.

3. Applicazione della rete di Hopfield al TSP • Per risolvere con la rete di Hopfield il problema del TSP occorre stabilire una corrispondenza tra variabili di stato della rete e variabili del problema, tra la funzione energia e la funzione obiettivo; • Un tour viene rappresentato tramite una matrice quadrata V(n x n) dove la (x, i)-esima componente è pari ad 1 se la x-esima città viene attraversata al i-esimo step del tour, 0 altrimenti. Indicheremo con vx,iuna generica componente di V; • Chiameremo D ∈ ℜn×nla matrice delle distanze dove la (x, y)-esima componente rappresenta la distanza tra la x-esima e la y-esima città. Indicheremo con dx, y la generica componente di D.

4. Funzione energia L’evoluzione dinamica della rete di Hopfield, a partire dallo stato iniziale, fa diminuire la funzione energia, fin quando non si arriva in uno stato che rappresenta un minimo locale della funzione energia e che, vista la corrispondenza tra funzione energia e funzione obiettivo, potrebbe costituire una “buona” soluzione del problema combinatorio. • E1: Vincolo di riga, solo 1 città presentein una riga; • E2: Vincolo di colonna, solo 1 città presente in una colonna; • E3: Vincolo globale, tutte le n città attraversate; • E4: Vincolo sulladistanza, la distanzatotalepercorsasia minima; • A, B, C, D, N: sonocostanti.

5. Matrice dei pesi • Una voltatrovata la funzioneenergiacorrispondenteallafunzioneobiettivo del problema del TSP, puòesseredeterminata la matricedeipesi per la rete; • Dopovaripassaggi per ricondurre la funzioneenergianellasuaclassicanotazione, sièottenuto: • da cui segue che possiamo risolvere il problema del TSP utilizzando la matrice dei pesi W che ha come (x+i, y+i)-esima componente:

6. Funzione di attivazione • La funzione di attivazione segue anch’essa vari vincoli per ottenere un percorso valido e può essere definita come segue: • Dove aijrappresenta l’attivazione per l’unità in riga i-esima e colonna j-esima,  ed m rappresentano una costante di tempo e un parametro; • il primo termine della funzione di attivazione decresce ad ogni iterazione, il secondo, terzo, quarto e quinto rappresentano i vincoli per ottenere un tour valido.

7. Funzione di output • La funzione di uscita invece è la seguente: • dove Vxiè l’output del neurone, il valore di  determina la pendenza della funzione e la tangente iperbolica da un output come quello mostrato in figura.

8. Procedura di apprendimento • Inizializzazione: • Matricedelledistanze; • Matricedeipesi; • Vettore di input casuale : uxi(0) = u00 + ((rand-1)/20.0); • Si presental’inputalla rete e sicalcolal’attivazioneinizialecome: • Si calcolal’output

9. Procedura di apprendimento • Si itera • finchè un criterio di stop non èsoddisfatto. • Criteri di stop: • Raggiungimento di un fissatointervallo di tempo; • Raggiungimento di unostato stabile; • Raggiungimento del numeromassimo di iterazioni. • Si trova un tour e sicalcola la lunghezza del percorso.

10. Conclusioni Nella risoluzione del TSP con la rete di Hopfield l'ottimalità non è sempre garantita e il sistema potrebbe cadere in minimi locali. Il risultato potrebbe essere migliorato aggiungendo rumore alle dinamiche di rete, per creare una sorta di differenziazione nella speranza che il sistema evolva nonostante la vicinanza ad un minimo locale.