III Porządki
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 84

III Porządki PowerPoint PPT Presentation


  • 54 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

III Porządki. Materiały pomocnicze do wykładu. uczelnia: PJWSTK przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak data: kwiecień 2009. Relacje porządkujące. Przykład: marynarka wojenna. kapitan marynarki. porucznik marynarki. admirał. chorąży. komandor. marynarz.

Download Presentation

III Porządki

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Iii porz dki

III Porządki

Materiały pomocnicze do wykładu

uczelnia: PJWSTK

przedmiot: Matematyka Dyskretna 1

wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

data: kwiecień 2009


Iii porz dki

Relacje porządkujące


Przyk ad marynarka wojenna

Przykład: marynarka wojenna

kapitan marynarki

porucznik marynarki

admirał

chorąży

komandor

marynarz

mat

bosman


Przyk ad marynarka wojenna1

Przykład: marynarka wojenna

marynarz

mat

bosman

chorąży

porucznik marynarki

kapitan marynarki

komandor

admirał


Przyk ad marynarka wojenna2

Przykład: marynarka wojenna

admirał, komandor, kapitan marynarki,

porucznik marynarki, chorąży sztabowy,

bosman, mat, marynarz


Przyk ad wojska l dowe

Przykład: wojska lądowe

pułkownik

generał

kapral

porucznik

plutonowy

major

sierżant


Przyk ad wojska l dowe1

Przykład: wojska lądowe

kapral

plutonowy

sierżant

porucznik

major

pułkownik

generał


Przyk ad wojska l dowe2

Przykład: wojska lądowe

generał, pułkownik, major, porucznik,

chorąży, sierżant, plutonowy, kapral


Przyk ad pjwstk struktura

Przykład: PJWSTK - struktura

Prodziekan Wydziału

Informatyki

Prorektor ds.

studenckich

Dziekan Wydziału

Informatyki

Dziekan Wydziału

Sztuki Nowych

Mediów

Rektor

Prorektor ds.

ogólnych


Przyk ad pjwstk struktura1

Przykład: PJWSTK - struktura

Rektor

Prorektor ds.

ogólnych

Prorektor ds.

studenckich

Dziekan Wydziału

Informatyki

Dziekan Wydziału

Sztuki Nowych Mediów

Prodziekan Wydziału

Informatyki


Przyk ad

Przykład

Zbiór: {11,12,13,10}

Relacja: 

Graf:


Przyk ad1

Przykład

Zbiór: {10,11,12,13}

Relacja: 

Graf:

10

11

12

13


Przyk ad2

Przykład

Zbiór: {2,4,6,8}

Relacja: | (podzielności)

Graf:


Przyk ad3

Przykład

Zbiór: {2,4,6,8}

Relacja: | (podzielności)

Graf:

4

2

6

8


Przyk ad4

Przykład

Zbiór: {1,2,5,10}

Relacja: | (podzielności)

Graf:


Przyk ad5

Przykład

Zbiór: {1,2,5,10}

Relacja: | (podzielności)

Graf:

2

1

5

10


Przyk ad6

Przykład

Zbiór: P(X), gdzie X={1,2},

P(X)=????

Relacja: 

Graf:


Przyk ad7

Przykład

Zbiór: P(X), gdzie X={1,2},

P(X)={, {1},{2},{1,2}}

Relacja: 

Graf:


Przyk ad8

Przykład

Zbiór: P(X), gdzie X={1,2},

P(X)={, {1},{2},{1,2}}

Relacja: 

Graf:

{1}

{2}

{1,2}


Definicja

Definicja

Relację binarną r w zbiorze X nazywamy relacją

porządku częściowego lub krótko relacją

porządku wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona

zwrotna,antysymetryczna i przechodnia,

tzn. dla wszystkich x, y, z  X,

  • (x,x)r,

  • jeśli (x,y)r i (y,x)r, to x = y,

  • jeśli (x,y)r i (y,z)r, to (x,z)r.


Relacja zwrotna antysymetryczna przechodnia

Relacja: zwrotna, antysymetryczna, przechodnia

  • R = 

  • R = |

  • R = 


Iii porz dki

Diagramy Hassego


Przyk ad9

Przykład

Przykład

Zbiór: {1,2,5,10}

Relacja: | (podzielności)

Graf:

2

1

5

10


Przyk ad10

Przykład

Przykład

Zbiór: {1,2,5,10}

Relacja: | (podzielności)

Graf:

10

2

2

5

1

5

1

10


Przyk ad11

Przykład

Przykład

Zbiór: {1,2,5,10}

Relacja: | (podzielności)

Graf:

Diagram Hassego

10

2

2

5

1

5

1

10


Definicja1

Definicja

Diagramem Hassego relacji porządku r w

zbiorze X nazywamy graf niezorientowany

G=(X,E), którego zbiorem wierzchołków

jest zbiór X , a krawędzie są określone

następująco

(x,y)Î E wttw (x,y)Îr i nie istnieje zÎX, że z¹x, z¹y i (x,z)Îr i (z,y)Îr


Iii porz dki

Elementy wyróżnione


Definicja2

Definicja

Element x0 nazywamy

maksymalnym

w zbiorze uporządkowanym (X,r)

wtedy i tylko wtedy, gdy

nie istnieje yÎX taki, że

x0¹ y i (x0,y)Îr.


Definicja3

Definicja

Element x0 nazywamy

minimalnym

w zbiorze uporządkowanym (X,r)

wtedy i tylko wtedy, gdy

nie istnieje yÎX taki, że

x0¹ y i (y,x0)Îr.


Definicja4

Definicja

Element x0 nazywamy

najmniejszym

w zbiorze uporządkowanym (X,r)

wtedy i tylko wtedy, gdy

dla każdego yÎX, (x0,y)Îr.


Definicja5

Definicja

Element x0 nazywamy

największym

w zbiorze uporządkowanym (X,r)

wtedy i tylko wtedy, gdy

dla wszystkich yÎX,

(y,x0)Îr.


Przyk ad12

Przykład

Przykład

Zbiór: {2,4,6,8,10,12,16}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

16

8

12

10

4

6

2


Przyk ad13

Przykład

Przykład

Elementymaksymalne

Zbiór: {2,4,6,8,10,12,16}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

16

8

12

10

4

6

2

Elementminimalny i najmniejszy


Przyk ad14

Przykład

Przykład

Zbiór: {4,6,8,12,16,48}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

48

16

12

8

4

6


Przyk ad15

Przykład

Przykład

Elementmaksymalny i największy

Zbiór: {4,6,8,12,16,48}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

48

16

12

8

6

Elementyminimalne

4


Przyk ad16

Przykład

Przykład

Zbiór: {1,2,5,10}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

10

2

5

1


Przyk ad17

Przykład

Przykład

Elementmaksymalny i największy

Zbiór: {1,2,5,10}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

10

2

5

1

Elementminimalny i najmniejszy


Przyk ad18

Przykład

Przykład

Zbiór: {4,8,16}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

16

8

4


Przyk ad19

Przykład

Przykład

Elementmaksymalny i największy

Zbiór: {4,8,16}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

16

8

4

Elementminimalny i najmniejszy


Iii porz dki

Przykład: PJWSTK - struktura

Rektor

Prorektor ds.

ogólnych

Prorektor ds.

studenckich

Dziekan

Wydziału

Sztuki Nowych

Mediów

Dziekan

Wydziału

Informatyki

Prodziekan

Wydziału

Informatyki


Iii porz dki

Przykład: PJWSTK - struktura

Element największy i maksymalny

Rektor

Prorektor ds.

ogólnych

Prorektor ds.

studenckich

Dziekan

Wydziału

Sztuki Nowych

Mediów

Dziekan

Wydziału

Informatyki

Prodziekan

Wydziału

Informatyki

Elementy minimalne


Iii porz dki

Przykład: PJWSTK - struktura

Rektor

Prorektor ds.

studenckich

Prorektor ds.

ogólnych

Dziekan

Wydziału

Sztuki Nowych

Mediów

Dziekan

Wydziału

Informatyki

Prodziekan

Wydziału

Informatyki

Elementy nieporównywalne


Iii porz dki

Ograniczenia i kresy zbiorów


Definicja6

Definicja

Niech r będzie relacją porządku w X

oraz niech A będzie podzbiorem X.

Ograniczeniem górnym

zbioru A w X nazywamy element x0ÎX,

taki, że

(a,x0)Îr dla wszystkich aÎA.


Definicja7

Definicja

Ograniczeniem dolnym

zbioru A w X nazywamy element x1ÎX

taki, że

(x1,a)Îr dla wszystkich aÎA.


Przyk ad20

Przykład

Przykład

Przykład

Zbiór: {2,4,6,8,10,12,16}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

16

8

12

10

4

6

2

Rozważmy zbiór {2,6}


Przyk ad21

Przykład

Przykład

Przykład

Ograniczenia górne zbioru {2,6}

Zbiór: {2,4,6,8,10,12,16}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

16

8

12

10

4

6

2

Ograniczenie dolne zbioru {2,6}


Przyk ad22

Przykład

Przykład

Przykład

Zbiór: {2,4,6,8,10,12,16}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

16

8

12

10

4

6

Rozważmy zbiór {2,4}

2


Przyk ad23

Przykład

Przykład

Przykład

Ograniczenia górne zbioru {2,4}

Zbiór: {2,4,6,8,10,12,16}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

16

8

12

10

4

6

2

Ograniczenie dolne zbioru {2,4}


Uwaga

Uwaga

Podzbiór zbioru uporządkowanego

może mieć wiele różnych ograniczeń

górnych i wiele różnych ograniczeń

dolnych.

Ograniczenia dolne i ograniczenia

górne danego zbioru A mogą,

ale nie muszą, należeć do zbioru A.


Definicja8

Definicja

Kresem górnym (supremum)

zbioru A, podzbioru zbioru

uporządkowanego (X,r) nazywamy

najmniejsze ograniczenie górne zbioru A,

oznaczone przez sup A, tzn. x0 = sup A

wttw

  • (a,x0)Îr dla każdego aÎA,

  • jeśli b jest ograniczeniem górnym zbioru A, to (x0,b)Îr.


Definicja9

Definicja

Kresem dolnym (infimum)

podzbioru A zbioru uporządkowanego (X,r)

nazywamy największe ograniczenie dolne zbioru A

oznaczone przez inf A,

tzn. x1 = inf A wttw

  • (x1,a)Îr dla każdego aÎ A,

  • jeśli b jest ograniczeniem dolnym zbioru A, to (b,x1)Îr.


Przyk ad24

Przykład

Przykład

Przykład

Zbiór: {2,4,6,8,10,12,16}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

16

8

12

10

4

6

2


Przyk ad25

Przykład

Przykład

Przykład

Zbiór: {2,4,6,8,10,12,16}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

16

8

sup{2,4}=4

12

10

4

6

2

inf{2,4}=2


Przyk ad26

Przykład

Przykład

Zbiór: {1,2,5,10}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

10

2

5

1


Przyk ad27

Przykład

Przykład

Zbiór: {1,2,5,10}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego:

sup{2,5}=10

10

2

5

inf{2,5}=1

1


Iii porz dki

Krata


Definicja10

Definicja

Zbiór uporządkowany, w którym dla

dowolnych dwóch elementów istnieje

kres górny i kres dolny nazywamy

kratą


Przyk ad28

Przykład

Zbiór: {2,4,6,8}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego

To nie jest krata!

8

4

6

2


Przyk ad29

Przykład

Zbiór: {2,4,6,18,24,72}

Relacja: | (podzielności)

Diagram Hassego

To jest krata!

72

24

18

4

6

2


Iii porz dki

Porządek liniowy i dobry porządek


Definicja11

Definicja

Relację binarną r w zbiorze X nazywamy

porządkiem liniowym

wtedy i tylko wtedy, gdy

  • r jest relacją porządku częściowego,

  • r jest relacją spójną, tzn. dla dowolnych x,yÎX

    (x,y)Îr lub (y,x)Îr lub x = y.


Lemat

Lemat

Niech (X,r) będzie zbiorem liniowo

uporządkowanym, wtedy

  • jeśli w X istnieje element maksymalny, to jest on elementem największym,

  • jeśli w X istnieje element minimalny, to jest on elementem najmniejszym.


Przyk ad30

Przykład

Zbiór: {14,11,12,13,10}

Relacja: 

10

11

12

13

14


Przyk ad31

Przykład:

kapral

plutonowy

sierżant

porucznik

major

pułkownik

generał


Definicja12

Definicja

Relacją binarną w X nazywamy

dobrym porządkiem

wtedy i tylko wtedy, gdy jest

to porządek liniowy i dobrze ufundowany,

tzn.

każdy niepusty podzbiór zbioru X

ma element pierwszy.


Przyk ad32

Przykład

Zbiór {4,5,6,7} z relacją 

jest dobrym porządkiem.

Zbiór (4,7) z relacją 

NIE jest dobrym porządkiem.


Iii porz dki

Szczególne porządki


Porz dek produktowy

Porządek produktowy

Niech (U1,r1), (U2,r2) , ..., (Uk,rk) będą zbiorami

częściowo uporządkowanymi.

Porządkiem produktowym

zdefiniowanym w zbiorze U1×U2 ×... × Uk

nazywamy relację r taką że

(x1,x2,..., xk) r (x’1,x’2,..., x’k)

wttw, gdy

(x1,x’1)r1 , (x2,x’2)r2, ......, (xk,x’k)rk.


Porz dek produktowy1

Porządek produktowy

Rozważmy zbiory (U1,,r1), (U2,,r2),

gdzie U1=U2={1,2,3,5,7} oraz r1= r2 = .

(3,2)

(1,1)

(5,7)

(1,5)

(2,3)


Porz dek produktowy2

Porządek produktowy

(5,7)

(1,5)

(2,3)

(3,2)

(1,1)


Porz dek s ownikowy

Porządek słownikowy

Niech (U1,r1), (U2,r2) , ..., (Uk,rk) będą zbiorami

częściowo uporządkowanymi.

Porządkiem słownikowym

zdefiniowanym w zbiorze U1×U2 ×... × Uk

nazywamy relację r taką że

(x1,x2,..., xk) r (y1,y2,...,yk)

wttw, gdy

xi=yi dla każdego i=1,...,k

lub

istnieje m (1 m k) takie, że xm  ym i (xm,ym)rk

i dla każdego i=1,...,k-1, xi = yi.


Porz dek s ownikowy1

Porządek słownikowy

101

000

010

110

001


Porz dek s ownikowy2

Porządek słownikowy

000

001

010

101

110


Porz dek leksykograficzny

Porządek leksykograficzny

Niech S będzie ustalonym alfabetem

uporządkowanym liniowo przez relację r.

W zbiorze S* definiujemy relację rL, porządku

leksykograficznego, następująco

(x1,x2,...xn) rL (y1,y2,...ym)

wttw albo

n £ m i dla wszystkich 0<i£n , xi=yi

albo istnieje takie 0<k £ min(n,m), że dla każdego

i, 0<i<k,

xi = yi oraz (xk,yk)r, xk ¹ yk.


Porz dek leksykograficzny1

Porządek leksykograficzny

babb

ab

b

aac

abc


Porz dek leksykograficzny2

Porządek leksykograficzny

aac

ab

abc

b

babb


Porz dek leksykograficzny3

Porządek leksykograficzny

marynarz

bosman

mat

kapitan

komandor

admirał


Porz dek leksykograficzny4

Porządek leksykograficzny

admirał

bosman

kapitan

komandor

marynarz

mat


Porz dek standardowy

Porządek standardowy

Niech S będzie ustalonym alfabetem

uporządkowanym liniowo przez relację r.

W zbiorze S* definiujemy relację r*, porządku

standardowego, następująco

(x1,x2,...xn) r* (y1,y2,...ym)

wttw albo

n < m

albo n=m i (x1,x2,...xn) rn (y1,y2,...yn),

gdzie rn jest porządkiem słownikowym w Sn.


Porz dek standardowy1

Porządek standardowy

babb

ab

b

aac

abc


Porz dek standardowy2

Porządek standardowy

b

ab

aac

abc

babb


Porz dek standardowy3

Porządek standardowy

marynarz

bosman

mat

kapitan

komandor

admirał


Porz dek standardowy4

Porządek standardowy

mat

bosman

admirał

kapitan

komandor

marynarz


  • Login