名義利率和實際利率
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名義利率和實際利率. 第四章. 4.1 名義利率和實際利率. 請複習單利和複利的定義 ( 從第 1 章 ) 複利 – 依利率複利利息 針對既定的計息期間 計算利息的時間標準 – 一年. 名義利率. 名義利率的定義 : 一種完全不考慮複利的利率 例如 , 若按月複利 ,則 每年 8% 為名義利率. 實際利率. 定義 : 實際利率 為真實的利率,其適用於特定的時間週期 . 在時間週期中 , 若考慮名義利率的複利 ,即為實際利率 . 實際利率普遍以年為表示的基準 : 即 “ i a ”.

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名義利率和實際利率

第四章


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4.1 名義利率和實際利率

  • 請複習單利和複利的定義 (從第 1 章)

  • 複利 –

    • 依利率複利利息

    • 針對既定的計息期間

  • 計算利息的時間標準 –一年


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名義利率

  • 名義利率的定義:

    一種完全不考慮複利的利率

  • 例如, 若按月複利,則每年8% 為名義利率


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實際利率

定義:

  • 實際利率 為真實的利率,其適用於特定的時間週期.

  • 在時間週期中,若考慮名義利率的複利,即為實際利率.

  • 實際利率普遍以年為表示的基準: 即 “ia”

所有利率的公式 公式, 因 , 查表值, 和試算表關係, 必須以實際利率來適當考量金前的時間價值.


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三種時間單位

  • 時間週期–表達利息的週期 (要說明).

    • 如: “每月1%”

  • 複利週期(CP) –付出或賺取利息的最短時間單位.

    • 如: “每年8%, 按月複利”

  • 複利頻率–在時間週期 t 內發生複利的次數m.

    • 如: “每月1%, 按月複利” 的 m = 1

    • 如: “每年10%, 每年複利” 的 m = 12

一年分為:365 天, 52 週, 12 月

一季為: 3 個月, 每年有 4 季


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每 CP 的實際利率

每複利週期 (CP) 的實際利率:

如: 每年 r = 9%, 按月複利:

m = 12 …….(一年有12 個月)

每月 i = 0.09/12 = 0.0075 或 0.75%/月


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常引用的兩種形式

  • 引用兩種利率:

    1. 引用 名義利率

    2. 引用 實際利率

  • 名義和實際利率普遍用於企業, 財務, 和工程經濟

  • 兩者都需要加以暸解,才能解決以各種方式描述利率的問題


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名義利率的定義

  • 名義利率的定義:

    一種完全不考慮複利的利率

  • 亦即 “只是名義上的”, “而非真正、實際的利率”…

  • 每年 8%,按月 複利

    • 8% 並非真正的實際(年)利率

    • 8% 代表的是名義利率

    • 實際利率將考慮每月複利


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名義利率的例子

  • 每月1.5%,為期 24 個月

    • 等同於: (1.5%)(24) =每 24 個月36%

  • 每月1.5%,為期 12 個月

    • 等同於: (1.5%)(12 個月) = 18%/年

  • 每 6 個月1.5%,為期 1 年

    • 等同於: (1.5%)(2個 6 月) = 每年 3%

  • 每週 1%,為期 1 年

    • 等同於: (1%)(52 週) =每年 52%


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例題4.1


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例題4.1(續)


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4.2 年實際利率

  • r = 年名義利率

  • m = 每年複利期數

  • i = 每複利期數 (CP)的實際利率 = r/m

  • ia =年實際利率

r/年= (實際 i / CP ) X (CP / 年) =(i)X(m)


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例題4.2


4 2 4 5

表4.2 用公式[4.5]算實際年利率


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例題4.3


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例題4.3(續)


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例題4.3(續)


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例題4.3(續)


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例題4.3(續)


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例題4.3(續)


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4.3 任何時間週期的實際利率

  • 如何計算真正而實際的年利率.

  • 我們假設年為衡量時間的標準.

  • 年可由各種複利期數所構成 (在一年內).

  • 本書的公式 [4.8] 為實際利率的關係


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例子: 實際利率的計算

  • 年利率為 8%, 按季複利

  • 則實際年利率為多少?

  • 用公式 [4.8],以 r = 0.08, m = 4

實際 i = (1 + 0.08/4)4 – 1

= (1.02)4 – 1

= 0.0824 或 8.24%/年


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例題4.4


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例題4.4(續)


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例題4.4(續)


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例題4.4(續)


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例題4.4(續)


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例題4.4(續)


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例題4.5


4 4 pp cp

4.4 等值關係式:比較支付週期 (PP) 與 複利週期 (CP)

要考慮:

  • 現金流動的頻率 可能等於或不等於 複利的頻率

  • 若現金流動的頻率等於複利的頻率 –沒問題 !

  • 若否, 則必須作調整


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情況

情況參照本書

  • PP = CP 4.5 和 4.6 節

  • PP > CP 4.5 和 4.6節

  • PP < CP 4.7節


4 5 pp cp

4.5 等值關係: PP ≥ CP 時的單一金額

只有單一的現金流量, 也就是, P 和 F 值

用 P = F(P/F,i,n) 或 F = P(F/P,i,n)求 P 或 F , 有兩種相當的方法求 i 和 n 因子.

方法 1. 對實際利率因子 i 而言:

  • 用 i= r/m 求 CP 內的 i

    對總期數因子 n 而言:

  • 用 n = (m)(支付期數) 求P 和 F 值之間發生的 CP 數


4 5 pp cp1

r

-

m

實際 i = (1+ ) 1

m

4.5等值關係: PP ≥ CP 時的單一金額

只有單一的現金流量, 也就是, P 和 F 值

用 P = F(P/F,i,n) 或 F = P(F/P,i,n)求 P 或 F , 有兩種相當的方法求 i 和 n 因子.

方法 2.

  • 用實際 i 的公式 [4.8] 求名義利率時間週期的實際利率

  • 設 n 為名義利率描述中的週期數


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單一金額: 用方法 1的數字例題

  • 若現在的 $5000 每年以 6% 賺取利息, 按月複利,求 5 年後的未來值 .

  • 實際月利率 i 為 i = 6%/12 = 0.5%

  • CP 的總年數以及每年 m = 12 次,為 n = (12)(5) = 60 期

    F = 5000(F/P,0.5%,60) = 5000(1.3489)

    = $6744


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例題4.6


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例題4.6(續)


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例題4.6(續)


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例題4.6(續)


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例題4.6(續)


4 6 pp cp

4.6 等值關係式: PP ≥ CP 時的系列

  • 當現金流量涉及一系列時 (A, G, 或 g),以現金流動的頻率來定義 PP

  • 若 PP ≥ CP…

    • 計算每支付週期的實際 i

    • 用正確的 n 為 總支付期數.


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系列: 數字的例子

F7 = ?

每年 r = 20%, 按季複利

0 1 2 3 4 5 6 7 年

A = $500 (每 6 個月)

PP > CP ,因 PP = 6-個月, 而 CP = 季

計算每 6-個月PP 的實際 i

i6-月 表示把 r 調整為適合 PP 者


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系列: 數字的例子

  • 調整利率

    • r = 20% 年, 按季複利

    • i/季 = 0.20/4 = 0.05 = 每季 5%

    • 6 個月支付週期中有2 季

  • 實際 i = (1.05)2– 1 = 每6 個月10.25%

    現在, 利率符合支付週期了

  • 求 F 7年= F 14期F = 500(F/A,10.25%,14) = 500(28.4891) = $14,244.50


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例題4.7


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例題4.7(續)


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例題4.7(續)


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例題4.8


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例題4.8(續)


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例題4.8(續)


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例題4.8(續)


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例題4.9


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例題4.9(續)


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例題4.9(續)


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例題4.9(續)


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例題4.9(續)


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例題4.9(續)


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例題4.9(續)


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例題4.9(續)


4 7 pp cp

4.7 PP < CP 時的單一金額與系列

  • 這種情況跟前者 PP ≥ CP不同

  • 在此, PP 小於複利週期 CP

  • 扯出的問題是,要如何處理在週期內的複利

  • 請研究例題 4.10


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例題4.10


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例題4.10(續)


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例題4.10(續)


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例題4.10(續)


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例題4.10(續)


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4.8 連續複利的實際利率

  • 請回想,實際 i = (1 + r/m)m– 1

  • 若複利的頻率 m 趨近於無限大,則會發生什麼事?

    • 這表示在一個支付週期內的複利次數無限多, 且

    • 兩次複利間的時間趨近於 “0”

  • 對既定的 r 值而言,將會趨近於有限的 i 值


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連續實際複利率的推導

  • 改寫實際 i 的關係為

  • 現在, 來看讓 “m” 趨近無限大的影響. 這要取上式的界限為 m→∞

  • 記得對數 e 的定義為


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連續實際複利率的推導

因而:

  • 當利率為連續複利時,實際 i 為:

Effective i = er – 1

  • 當利率為連續複利時,要求既定i的等值名義利率,則用:


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例題4.11


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例題4.11(續)


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例題4.12


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例題4.12(續)


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4.9 隨時間而改變的利率

  • 實務上, 不會隨時間改變而維持相同的利率, 除非是以契約明定之.

  • 會存在 “隨時間而改變的利率 –是很正常的 !

  • 如有必要, 要如何處理這種狀況?


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變動的利率: 要求現值

要求現值:

  • 把每筆現金流量都以各期利率,追朔至預期的時間點如下:

    P = F1(P/F,i1,1) + F2(P/F,i1,1)(P/F,i2,1) + …+Fn(P/F,i1,1)(P/F,i2,1)(P/F,i3,1)…(P/F,in,1)

此過程會涉及計算!


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變動的利率: 觀察

  • 除非特殊狀況,我們極少以變動利率來評估問題的模型.

  • 若有必要, 最好是建立試算表模型

  • 實施那個工作可能蠻棘手的


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例題4.13


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例題4.13(續)


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例題4.13(續)


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例題4.13(續)


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