Teorija potra nje i
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 73

Teorija potražnje I PowerPoint PPT Presentation


  • 70 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Teorija potražnje I. Maksimizacija korisnosti i funkcija potražnje. Potrošačev problem - ukratko. U analizi ponašanja potrošača istaknuli smo četiri konstrukcijska elementa: Skup mogućih izbora Skup dostupnih izbora (budžetski skup) Relaciju preferencije ≿ definiranu na

Download Presentation

Teorija potražnje I

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Teorija potra nje i

Teorija potražnje I

Maksimizacija korisnosti

i funkcija potražnje


Potro a ev problem ukratko

Potrošačev problem - ukratko

  • U analizi ponašanja potrošača istaknuli smo četiri konstrukcijska elementa:

    • Skup mogućih izbora

    • Skup dostupnih izbora (budžetski skup)

    • Relaciju preferencije ≿definiranu na

    • Pretpostavku ponašanja (potrošač bira najbolju od mogućih alternativa u skladu sa svojom relacijom preferencije) ili

      tako da x* ≿ x za svaki


Funkcija korisnosti ukratko

Funkcija korisnosti - ukratko

  • Svaka binarna relacija koja je potpuna, refleksivna, tranzitivna i neprekidna može se predstaviti funkcijom koju zovemo funkcija korisnosti

  • Funkcija korisnosti sadrži iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿

  • Svojstva preferencija prenose se na svojstva funkcije korisnosti


Funkcija korisnosti ukratko1

Funkcija korisnosti - ukratko

  • Ako su preferencije racionalne, neprekidne, lokalno nezasićene i konveksne, funkcija korisnosti se “lijepo ponaša”

  • Ove pretpostavke osiguravaju da je funkcija korisnosti neprekidna

  • Mi ćemo još pretpostaviti i da je diferencijabilna (tada možemo koristiti metode diferencijalnog računa za detaljniju analizu potrošačevog ponašanja)


Funkcija korisnosti ukratko2

Funkcija korisnosti - ukratko

  • Također znamo da je funkcija korisnosti strogo rastuća i strogo kvazikonkavna te da su to njena ordinalna svojstva (koja se ne mijenjaju pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija)

  • Oblik funkcije korisnosti (da li je ona konkavna ili konveksna) je kardinalno svojstvo funkcije korisnosti koje se ne čuva pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija


Funkcija korisnosti ukratko3

Funkcija korisnosti - ukratko

  • Funkcija korisnosti nam je potrebna jer se njenom maksimizacijom izvodi funkcija potražnje

  • U tu svrhu razvit ćemo model u kojem potrošači između košara dobara koje su im dostupne biraju onu koju najviše vole


Izbor potro a a

Izbor potrošača

  • Walrasovski budžetski skup

  • Cijene i bogatstvo (dohodak) su strogo pozitivni


Potro a ev problem

Potrošačev problem

  • Potrošačev problem može se napisati kao

    ... (3.1)


Pitanja

Pitanja

  • Pitanja koja postavljamo:

    • Da li postoji rješenje ovog problema?

    • Ako rješenje postoji, kako do njega doći?


Da li rje enje postoji

Da li rješenje postoji?

  • Budući da je u (x) neprekidna funkcija definirana na skupu

    koji je kompaktan (zatvoren i ograničen), možemo primjeniti Teorem o maksimalnoj vrijednosti

  • Prema ovom teoremu neprekidna funkcija definirana na kompaktnom skupu ima maksimum (i minimum)

  • Dakle, ovaj problem ima rješenje


Kako do rje enja

Kako do rješenja?

  • Potrošač se suočava sa problemom maksimizacije funkcije cilja (korisnosti) uz ograničenja

  • Funkcije ograničenja mogu biti predstavljene kao:

    • uvjeti nenegativnosti

    • jednakosti

    • nejednakosti

      (primjeri za L=2)


Kako do rje enja1

Kako do rješenja?

  • Naše ograničenje dato je u formi nejednakosti

  • Ova činjenica, zajedno sa činjenicom da imamo i uvjete nenegativnosti, omogućuje primjenu Kuhn-Tuckerove metode

  • Ovu metodu nelinarnog programiranja detaljnije će obraditi profesor Neralić


Kako do rje enja2

Kako do rješenja?

  • Mi ćemo poći od pretpostavke monotonosti preferencija te naročito njihove lokalne nezasićenosti

  • Ovo svojstvo osigurat će da će se optimalno rješenje nalaziti u gornjem rubu budžetskog skupa, dakle, ograničenje će biti obvezujuće

  • Tako će se potrošačevo ograničenje moći izraziti u formi jednakosti ili


Kako do rje enja3

Kako do rješenja?

  • U svijetu L = 2 i uz momentalno zanemarivanje uvjeta nenegativnosti potrošačev problem postaje


Kako do rje enja4

Kako do rješenja?

  • Geometrijski, naš cilj je pronaći najviši nivo skup (krivulju indiferencije) koji ima dodirnu točku sa skupom ograničenja

  • Dakle, krivulju koja je tangencijalna na skup ograničenja u točki optimalnog rješenja x*


Maksimizacija korisnosti

Maksimizacija korisnosti

  • Slika 3.1: U optimalnom rješenju x* najviša nivo krivulja od f tangencijalna je na skup ograničenja C

b

x*

C


Maksimizacija korisnosti1

Maksimizacija korisnosti

  • Nagib nivo krivulje od f u točci x* je


Maksimizacija korisnosti2

Maksimizacija korisnosti

  • Skup ograničenja, odnosno njegov gornji rub, lokalno aproksimiramo funkcijom ograničenja h

  • Nagib funkcije ograničenjau točci x* je


Maksimizacija korisnosti3

Maksimizacija korisnosti

  • Kako su (zbog tangencijalnosti) nagibi funkcije f i ograničenja h u točci optimalnog rješenja x*jednaki, možemo pisati

    ... (3.2)


Maksimizacija korisnosti4

Maksimizacija korisnosti

  • Preuredimo ovaj izraz na sljedeći način

    ... (3.3)


Maksimizacija korisnosti5

Maksimizacija korisnosti

  • Kako su vrijednosti ovih omjera jednake te uz pretpostavku da su nazivnici različiti od nule, vrijednost ovog omjera označit ćemo sa

    ... (3.4)


Maksimizacija korisnosti6

Maksimizacija korisnosti

  • Napišimo izraz (3.4) kao dvije jednadžbe

    ... (3.5)


Maksimizacija korisnosti7

Maksimizacija korisnosti

  • Imamo dvije jednadžbe sa tri nepoznanice

  • Treća jednadžba nam je jednadžba ograničenja pa sustav jednadžbi postaje:


Maksimizacija korisnosti8

Maksimizacija korisnosti

...(3.6)


Maksimizacija korisnosti9

Maksimizacija korisnosti

  • Definirajmo Lagrangeovu funkciju

  • Ako uvrstimo naše funkcije cilja i ograničenja izraz postaje

    ... (3.7)


Maksimizacija korisnosti10

Maksimizacija korisnosti

  • Sistem (3.6) ekvivalentan je zahtjevu da je diferencijal od L jednak nuli,

  • Odavde slijedi da se ekstremi traže “bez ograničenja”

  • Ovo funkcionira samo kada su i

    iz izraza (3.3) u optimalnom rješenju različiti od nule


Kvalifikacija ograni enja

Kvalifikacija ograničenja

  • To se naziva kvalifikacija ograničenja

    i predstavlja blagu restrikciju skupa ograničenja

  • Ono znači da se kritične točke funkcije ograničenja h ne nalaze među rješenjima ovog sistema jednadžbi


Kvalifikacija ograni enja1

Kvalifikacija ograničenja

  • Ako je ograničenje linearno, kvalifikacija ograničenja bit će automatski zadovoljena

  • Može se prijeći na postupak maksimizacije korisnosti kao da se radi o neograničenoj optimizaciji


Maksimizacija korisnosti11

Maksimizacija korisnosti

  • Kritične ili stacionarne točke u problemu neograničene optimizacije dobiju se izjednačavanjem parcijalnih derivacijaprvog reda po svim varijablama s nulom


Maksimizacija korisnosti12

Maksimizacija korisnosti

  • Ovi se uvjeti nazivaju uvjeti prvog reda (First Order Conditions)

  • Za izraz (3.7) uvjeti prvog reda su sljedeći:

    ... (3.8)


Maksimizacija korisnosti13

Maksimizacija korisnosti

  • Jednadžbe (3.8) predstavljaju nužne ali ne i dovoljne uvjete za maksimum

  • Za dovoljne uvjete treba konzultirati uvjete drugog reda

  • Međutim, ako je funkcija korisnosti strogo kvazikonkavna (opadajuća MRS za dva dobra), tada su uvjeti prvog reda i nužni dovoljni da bi rješenje bilo pravi unutarnji maksimum


Geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Označimo sa

    i sa

    gradijent vektore funkcije korisnosti i ograničenja u točci x


Geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora1

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Budući da nivo skupovi od f i h imaju isti nagib u točci x* , njihovi gradijenti u točki x* leže na istom pravcu

  • Gradijent vektor pokazuje smjer najbrže promjene funkcije

  • U slučaju maksimuma oni pokazuju u istom smjeru ( u slučaju minimuma u obrnutom)


Geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora2

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Slika 3.2: Gradijenti od f i h leže na istom pravcu kroz x* kada je x* ograničeni maksimum (a) ili minimum (b) (kolinearni su)

x*

x*

C

C


Geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora3

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Izraz (3.5) uz pomoć gradijent vektora možemo napisati kao

    ili f (x*) = h (x*)


Geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora4

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • To znači da su gradijent vektori kolinearni

  • Lagrange-ov multiplikator je faktor proporcionalnosti, skalar kojim se množi gradijent vektor ograničenja kako bi se izjednačio (i po duljini) sa gradijent vektorom funkcije korisnosti


Geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora5

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije 2 varijable i jednog ograničenja u formi jednakostiuz pomoć gradijent vektora izražava se kao

    ... (3.9)


Geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora6

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije n varijabli i jednog ograničenja u formi jednakostiuz pomoć gradijent vektora izražava se kao

    ... (3.10)


Geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora7

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Ako umjesto jednog ograničenja u formi jednakosti imamo m jednadžbi koje definiraju skup ograničenja, logika analize ostaje ista ali se umjesto gradijent vektora koristi Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda


Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograni enja

Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja


Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograni enja1

Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja

  • Kaže se da ograničenje

    zadovoljava NDCQ (nondegenerate constraint qualification) (nedegeneriranu kvalifikaciju ograničenja) ako vrijedi r(Dh(x*))=m ,to jest, ako je rang Jacobijeve matrice maksimalan

  • Ovo je uvjet regularnosti koji osigurava da skup ograničenja ima svugdje dobro definirane n-m dimenzionalne tangencijalne ravnine


Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu l 2

Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2

  • Uvažavajući uvjete tangentnosti iz (3.2)-(3.4) prve dvije jednadžbe iz (3.8) možemo napisati kao

    što je poznati izraz za jednakost granične stope supstitucije MRS i omjera cijena u točci ravnoteže potrošača


Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu l 21

Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2

  • U rubnom optimumu gdje ova jednakost ne vrijedi, potrošač nije u mogućnosti podesiti potrošnju oba dobra da se izjednače MRS i omjer cijena


Geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora8

Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

Slika 3.3:

(a) Unutarnje rješenje (b) Rubno rješenje

x2

x2

p

λp

p

x1

x1


Ekonomska interpretacija lagrange ovog multiplikatora

Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Kada sistem jednadžbi (3.8) riješimo za dobijemo sljedeći rezultat

  • Ovo pokazuje da u točci optimalne potrošnje potrošač ostvaruje jednaku graničnu korisnost po jedinici novca (dohotka)


Ekonomska interpretacija lagrange ovog multiplikatora1

Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Izraz

    pokazuje koliko dodatne korisnosti potrošač dobije ako potroši malo više na dobro i

  • To znači da potrošač ima više novaca za potrošiti, to jest, da je njegovo ograničenje oslabljeno

  • Slabljenje ograničenja znači da potrošač ima veći dohodak


Ekonomska interpretacija lagrange ovog multiplikatora2

Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Ovaj rezultat implicira da predstavlja graničnu vrijednost relaksiranja ograničenja u problemu maksimizacije korisnosti

  • Pokazuje (u optimumu) graničnu korisnost dodatne novčane jedinice u potrošnji, to jest, graničnu promjenu korisnosti izazvanu graničnim povećanjem dohotka


Ekonomska interpretacija lagrange ovog multiplikatora3

Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Tako se ekonomski interpretira kao granična korisnost dohotka

  • Na taj način predstavlja novu mjeru vrijednosti rijetkih resursa u problemu maksimizacije uz ograničenje


Rje enje problema maksimizacije korisnosti

Rješenje problema maksimizacije korisnosti

  • Dakle, rješenjem problema maksimizacije korisnosti uz ograničenje kada je rješenje jedinstveno dobijemo dvije vrste objekata:

    • Vektor (ili skup vektora) optimalnog rješenja x* i vrijednost Lagrange-ovog multiplikatora

    • Vrijednost potrošačeve maksimalne korisnosti


Rje enje problema maksimizacije korisnosti1

Rješenje problema maksimizacije korisnosti

  • Analizirajmo prvo vektor optimalne potrošnje

  • Vektor optimalne potrošnje x* ovisi o parametrima iz problema potrošačevog izbora (p i w) i bit će jedinstveno određen


Rje enje problema maksimizacije korisnosti2

Rješenje problema maksimizacije korisnosti

  • Rješenje problema maksimizacije potrošačeve korisnosti uz dato ograničenje možemo smatrati FUNKCIJOM iz skupa cijena i dohotka,

    , u skup količina


Funkcija potra nje

Funkcija potražnje

  • Pravilo koje svakom paru cijena i bogatstva

    u problemu maksimizacije korisnosti pridružuje vektor optimalne potrošnje označava se sa i predstavlja Walrasovu (običnu, tržišnu) funkciju potražnje

  • Ako se svakom paru cijene-bogatstvo pridružuje SKUP optimalnih vektora potrošnje to se naziva Walrasovo višeznačno preslikavanje ili korespondencija potražnje


Maksimizacija korisnosti funkcija potra nje

Maksimizacija korisnosti – funkcija potražnje

  • Slika 3.4: Izvođenje krivulje potražnje iz maksimizacije korisnosti


Funkcija potra nje1

Funkcija potražnje

  • Iz Slike 3.4 vidljivo je da će različite razine dohotka i cijene dobra 2 mijenjati položaj i oblik krivulje potražnje za dobrom 1

  • Međutim, njen će položaj i oblik uvijek ovisiti o relaciji preferencije datog potrošača


Korespondencija potra nje

Korespondencija potražnje

  • Kada je preslikavanje višeznačno, umjesto pojma funkcija potražnje koristimo pojam korespondencija potražnje

  • Ako je u neprekidna funkcija korisnosti koja predstavlja lokalno nezasićenu relaciju preferencije ≿ definiranu na skupu moguće potrošnje , tada Walrasova korespondencija potražnje x(p,w) ima sljedeća svojstva:


Korespondencija potra nje1

Korespondencija potražnje

  • Walrasova korespondencija potražnje je:

    • Homogena nultog stupnja

    • Zadovoljava Walrasov zakon

    • Konveksna je


Korespondencija potra nje2

Korespondencija potražnje

  • Homogenost nultog stupnja

    • Skup mogućih potrošnji u problemu maksimizacije korisnosti ne mijenja se ako se sve cijene i dohodak pomnože sa nekim skalarom

    • To znači da se u tim uvjetima ne mijenja ni skup optimalnih košara dobara


Korespondencija potra nje3

Korespondencija potražnje

  • Walrasov zakon

    • Jedini način da x* bude optimalna košara dobara je ako ne postoji košara koja je u budžetskom skupu a koju bi potrošač više volio

    • Ovo proizlazi iz pretpostavke o lokalnoj nezasićenosti preferencija i vrijedi samo ako x* zadovoljava


Korespondencija potra nje4

Korespondencija potražnje

  • Konveksnost

    • x(p,w) je konveksni skup ako je funkcija korisnosti u kvazikonkavna

    • Konveksnost preferencija implicira konveksnost x(p,w) (Slika 3.5.(a))

    • Stroga konveksnost preferencija implicira da je vrijednost x(p,w) jedinstveno određena (Slika 3.5.(b))

    • Ovo podrazumijeva strogu kvazikonkavnost funkcije korisnosti jer ona isključuje mogućnost ravnih dijelova na krivulji indiferencije


Konveksnost i stroga konveksnost preferencija

Konveksnost i stroga konveksnost preferencija

  • Slika 3.5.a: Konveksnost preferencija i x(p,w)

  • Slika 3.5.b: Stroga konveksnost preferencija i x(p,w)

x2

x2

x

x

x’’

x’’

x’

x’

x1

x1


Indirektna funkcija korisnosti

Indirektna funkcija korisnosti

  • Drugi značajni objekt koji se dobije kao rezultat maksimizacije korisnosti je maksimalna vrijednost potrošačeve korisnosti

  • Posljedica ovog rezultata je formiranje indirektne funkcije korisnosti


Indirektna funkcija korisnosti1

Indirektna funkcija korisnosti

  • Walrasova funkcija potražnje x(p,w) daje košaru dobara koja maksimizira potrošačevu korisnost uz dato budžetsko ograničenje

  • Ako supstituiramo ovu košaru u funkciju korisnosti, dobijemo korisnostkoju potrošač dobiva birajući tu košaru pri cijenama p i dohotku w


Indirektna funkcija korisnosti2

Indirektna funkcija korisnosti

  • Ovu funkciju nazvat ćemo indirektnom funkcijom korisnosti v (p, w)

  • Definirat ćemo ju kao

  • Primijetimo da je direktna korisnost funkcija košare dobara x dok je indirektna korisnost funkcija cijena i dohotka p i w


Svojstva indirektne funkcije korisnosti

Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • Svojstva uglavnom “naslijeđena” od funkcije potražnje

  • Pretpostavlja se lokalna nezasićenost preferencija

  • Indirektna funkcija korisnosti koja odgovara lokalno nezasićenim preferencijama ima sljedeća svojstva:


Svojstva indirektne funkcije korisnosti1

Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • Homogena nultog stupnja

  • Strogo rastuća u w i ne-rastuća u p

  • Kvazikonveksna u (p,w)

  • Neprekidna

  • Vrijedi Royev identitet


Svojstva indirektne funkcije korisnosti2

Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • Homogenost nultog stupnja:

    • Proizlazi iz homogenosti funkcije potražnje

    • Kako se košara koju potrošač konzumira ne mijenja ako se sve cijene i dohodak promijene za isti iznos tako se ne mijenja ni korisnost koju potrošač njome dobiva

    • Kako vrijedi

    • To isto vrijedi


Svojstva indirektne funkcije korisnosti3

Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • je strogo rastuća u w

    • zbog lokalne nezasićenosti

  • i ne-rastuća u p:

    • jer povećanje jedne ili više cijena smanjuje skup dostupnih izbora


Svojstva indirektne funkcije korisnosti4

Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • je kvazikonveksna u (p,w)

    • Skup je konveksan za sve

    • Konveksna kombinacija dva vektora koji daju istu indirektnu korisnost neće biti veća od te indirektne korisnosti (dokaz u knjizi)


Svojstva indirektne funkcije korisnosti5

Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • je neprekidna

    • Male promjene u p i w rezultiraju u malim promjenama korisnosti

    • Ovo je naročito očito u slučaju kada su krivulje indiferencije strogo konveksne i diferencijabilne


Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potra nje

Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje

  • Izraz koji nam omogućava povratak od indirektne korisnosti do funkcije potražnje naziva se Royev identitet

  • Uz pretpostavku (koja se može dokazati) da postoji za koji vrijedi

    .. (3.11)

    kao i uz pretpostavku da je indirektna funkcija korisnosti diferencijabilna


Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potra nje1

Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje

  • Parcijalne derivacije prvog reda po cijeni indirektne funkcije korisnosti bit će

    ...(3.12)

  • Kako vrijedi


Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potra nje2

Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje

  • Tako izraz (3.12) postaje

    ... (3.13)

    čime smo dobili traženu funkciju potražnje


  • Login