teorija potra nje i
Download
Skip this Video
Download Presentation
Teorija potražnje I

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 73

Teorija potražnje I - PowerPoint PPT Presentation


  • 193 Views
  • Uploaded on

Teorija potražnje I. Maksimizacija korisnosti i funkcija potražnje. Potrošačev problem - ukratko. U analizi ponašanja potrošača istaknuli smo četiri konstrukcijska elementa: Skup mogućih izbora Skup dostupnih izbora (budžetski skup) Relaciju preferencije ≿ definiranu na

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Teorija potražnje I' - kelly-meyer


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
teorija potra nje i

Teorija potražnje I

Maksimizacija korisnosti

i funkcija potražnje

potro a ev problem ukratko
Potrošačev problem - ukratko
  • U analizi ponašanja potrošača istaknuli smo četiri konstrukcijska elementa:
    • Skup mogućih izbora
    • Skup dostupnih izbora (budžetski skup)
    • Relaciju preferencije ≿definiranu na
    • Pretpostavku ponašanja (potrošač bira najbolju od mogućih alternativa u skladu sa svojom relacijom preferencije) ili

tako da x* ≿ x za svaki

funkcija korisnosti ukratko
Funkcija korisnosti - ukratko
  • Svaka binarna relacija koja je potpuna, refleksivna, tranzitivna i neprekidna može se predstaviti funkcijom koju zovemo funkcija korisnosti
  • Funkcija korisnosti sadrži iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿
  • Svojstva preferencija prenose se na svojstva funkcije korisnosti
funkcija korisnosti ukratko1
Funkcija korisnosti - ukratko
  • Ako su preferencije racionalne, neprekidne, lokalno nezasićene i konveksne, funkcija korisnosti se “lijepo ponaša”
  • Ove pretpostavke osiguravaju da je funkcija korisnosti neprekidna
  • Mi ćemo još pretpostaviti i da je diferencijabilna (tada možemo koristiti metode diferencijalnog računa za detaljniju analizu potrošačevog ponašanja)
funkcija korisnosti ukratko2
Funkcija korisnosti - ukratko
  • Također znamo da je funkcija korisnosti strogo rastuća i strogo kvazikonkavna te da su to njena ordinalna svojstva (koja se ne mijenjaju pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija)
  • Oblik funkcije korisnosti (da li je ona konkavna ili konveksna) je kardinalno svojstvo funkcije korisnosti koje se ne čuva pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija
funkcija korisnosti ukratko3
Funkcija korisnosti - ukratko
  • Funkcija korisnosti nam je potrebna jer se njenom maksimizacijom izvodi funkcija potražnje
  • U tu svrhu razvit ćemo model u kojem potrošači između košara dobara koje su im dostupne biraju onu koju najviše vole
izbor potro a a
Izbor potrošača
  • Walrasovski budžetski skup
  • Cijene i bogatstvo (dohodak) su strogo pozitivni
potro a ev problem
Potrošačev problem
  • Potrošačev problem može se napisati kao

... (3.1)

pitanja
Pitanja
  • Pitanja koja postavljamo:
    • Da li postoji rješenje ovog problema?
    • Ako rješenje postoji, kako do njega doći?
da li rje enje postoji
Da li rješenje postoji?
  • Budući da je u (x) neprekidna funkcija definirana na skupu

koji je kompaktan (zatvoren i ograničen), možemo primjeniti Teorem o maksimalnoj vrijednosti

  • Prema ovom teoremu neprekidna funkcija definirana na kompaktnom skupu ima maksimum (i minimum)
  • Dakle, ovaj problem ima rješenje
kako do rje enja
Kako do rješenja?
  • Potrošač se suočava sa problemom maksimizacije funkcije cilja (korisnosti) uz ograničenja
  • Funkcije ograničenja mogu biti predstavljene kao:
    • uvjeti nenegativnosti
    • jednakosti
    • nejednakosti

(primjeri za L=2)

kako do rje enja1
Kako do rješenja?
  • Naše ograničenje dato je u formi nejednakosti
  • Ova činjenica, zajedno sa činjenicom da imamo i uvjete nenegativnosti, omogućuje primjenu Kuhn-Tuckerove metode
  • Ovu metodu nelinarnog programiranja detaljnije će obraditi profesor Neralić
kako do rje enja2
Kako do rješenja?
  • Mi ćemo poći od pretpostavke monotonosti preferencija te naročito njihove lokalne nezasićenosti
  • Ovo svojstvo osigurat će da će se optimalno rješenje nalaziti u gornjem rubu budžetskog skupa, dakle, ograničenje će biti obvezujuće
  • Tako će se potrošačevo ograničenje moći izraziti u formi jednakosti ili
kako do rje enja3
Kako do rješenja?
  • U svijetu L = 2 i uz momentalno zanemarivanje uvjeta nenegativnosti potrošačev problem postaje
kako do rje enja4
Kako do rješenja?
  • Geometrijski, naš cilj je pronaći najviši nivo skup (krivulju indiferencije) koji ima dodirnu točku sa skupom ograničenja
  • Dakle, krivulju koja je tangencijalna na skup ograničenja u točki optimalnog rješenja x*
maksimizacija korisnosti
Maksimizacija korisnosti
  • Slika 3.1: U optimalnom rješenju x* najviša nivo krivulja od f tangencijalna je na skup ograničenja C

b

x*

C

maksimizacija korisnosti1
Maksimizacija korisnosti
  • Nagib nivo krivulje od f u točci x* je
maksimizacija korisnosti2
Maksimizacija korisnosti
  • Skup ograničenja, odnosno njegov gornji rub, lokalno aproksimiramo funkcijom ograničenja h
  • Nagib funkcije ograničenjau točci x* je
maksimizacija korisnosti3
Maksimizacija korisnosti
  • Kako su (zbog tangencijalnosti) nagibi funkcije f i ograničenja h u točci optimalnog rješenja x*jednaki, možemo pisati

... (3.2)

maksimizacija korisnosti4
Maksimizacija korisnosti
  • Preuredimo ovaj izraz na sljedeći način

... (3.3)

maksimizacija korisnosti5
Maksimizacija korisnosti
  • Kako su vrijednosti ovih omjera jednake te uz pretpostavku da su nazivnici različiti od nule, vrijednost ovog omjera označit ćemo sa

... (3.4)

maksimizacija korisnosti6
Maksimizacija korisnosti
  • Napišimo izraz (3.4) kao dvije jednadžbe

... (3.5)

maksimizacija korisnosti7
Maksimizacija korisnosti
  • Imamo dvije jednadžbe sa tri nepoznanice
  • Treća jednadžba nam je jednadžba ograničenja pa sustav jednadžbi postaje:
maksimizacija korisnosti9
Maksimizacija korisnosti
  • Definirajmo Lagrangeovu funkciju
  • Ako uvrstimo naše funkcije cilja i ograničenja izraz postaje

... (3.7)

maksimizacija korisnosti10
Maksimizacija korisnosti
  • Sistem (3.6) ekvivalentan je zahtjevu da je diferencijal od L jednak nuli,
  • Odavde slijedi da se ekstremi traže “bez ograničenja”
  • Ovo funkcionira samo kada su i

iz izraza (3.3) u optimalnom rješenju različiti od nule

kvalifikacija ograni enja
Kvalifikacija ograničenja
  • To se naziva kvalifikacija ograničenja

i predstavlja blagu restrikciju skupa ograničenja

  • Ono znači da se kritične točke funkcije ograničenja h ne nalaze među rješenjima ovog sistema jednadžbi
kvalifikacija ograni enja1
Kvalifikacija ograničenja
  • Ako je ograničenje linearno, kvalifikacija ograničenja bit će automatski zadovoljena
  • Može se prijeći na postupak maksimizacije korisnosti kao da se radi o neograničenoj optimizaciji
maksimizacija korisnosti11
Maksimizacija korisnosti
  • Kritične ili stacionarne točke u problemu neograničene optimizacije dobiju se izjednačavanjem parcijalnih derivacijaprvog reda po svim varijablama s nulom
maksimizacija korisnosti12
Maksimizacija korisnosti
  • Ovi se uvjeti nazivaju uvjeti prvog reda (First Order Conditions)
  • Za izraz (3.7) uvjeti prvog reda su sljedeći:

... (3.8)

maksimizacija korisnosti13
Maksimizacija korisnosti
  • Jednadžbe (3.8) predstavljaju nužne ali ne i dovoljne uvjete za maksimum
  • Za dovoljne uvjete treba konzultirati uvjete drugog reda
  • Međutim, ako je funkcija korisnosti strogo kvazikonkavna (opadajuća MRS za dva dobra), tada su uvjeti prvog reda i nužni dovoljni da bi rješenje bilo pravi unutarnji maksimum
geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • Označimo sa

i sa

gradijent vektore funkcije korisnosti i ograničenja u točci x

geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora1
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • Budući da nivo skupovi od f i h imaju isti nagib u točci x* , njihovi gradijenti u točki x* leže na istom pravcu
  • Gradijent vektor pokazuje smjer najbrže promjene funkcije
  • U slučaju maksimuma oni pokazuju u istom smjeru ( u slučaju minimuma u obrnutom)
geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora2
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • Slika 3.2: Gradijenti od f i h leže na istom pravcu kroz x* kada je x* ograničeni maksimum (a) ili minimum (b) (kolinearni su)

x*

x*

C

C

geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora3
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • Izraz (3.5) uz pomoć gradijent vektora možemo napisati kao

ili f (x*) = h (x*)

geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora4
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • To znači da su gradijent vektori kolinearni
  • Lagrange-ov multiplikator je faktor proporcionalnosti, skalar kojim se množi gradijent vektor ograničenja kako bi se izjednačio (i po duljini) sa gradijent vektorom funkcije korisnosti
geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora5
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije 2 varijable i jednog ograničenja u formi jednakostiuz pomoć gradijent vektora izražava se kao

... (3.9)

geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora6
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije n varijabli i jednog ograničenja u formi jednakostiuz pomoć gradijent vektora izražava se kao

... (3.10)

geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora7
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • Ako umjesto jednog ograničenja u formi jednakosti imamo m jednadžbi koje definiraju skup ograničenja, logika analize ostaje ista ali se umjesto gradijent vektora koristi Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda
jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograni enja1
Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja
  • Kaže se da ograničenje

zadovoljava NDCQ (nondegenerate constraint qualification) (nedegeneriranu kvalifikaciju ograničenja) ako vrijedi r(Dh(x*))=m ,to jest, ako je rang Jacobijeve matrice maksimalan

  • Ovo je uvjet regularnosti koji osigurava da skup ograničenja ima svugdje dobro definirane n-m dimenzionalne tangencijalne ravnine
implikacije uvjeta prvog reda u svijetu l 2
Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2
  • Uvažavajući uvjete tangentnosti iz (3.2)-(3.4) prve dvije jednadžbe iz (3.8) možemo napisati kao

što je poznati izraz za jednakost granične stope supstitucije MRS i omjera cijena u točci ravnoteže potrošača

implikacije uvjeta prvog reda u svijetu l 21
Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2
  • U rubnom optimumu gdje ova jednakost ne vrijedi, potrošač nije u mogućnosti podesiti potrošnju oba dobra da se izjednače MRS i omjer cijena
geometrijska interpretacija lagrange ovog multiplikatora8
Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

Slika 3.3:

(a) Unutarnje rješenje (b) Rubno rješenje

x2

x2

p

λp

p

x1

x1

ekonomska interpretacija lagrange ovog multiplikatora
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • Kada sistem jednadžbi (3.8) riješimo za dobijemo sljedeći rezultat
  • Ovo pokazuje da u točci optimalne potrošnje potrošač ostvaruje jednaku graničnu korisnost po jedinici novca (dohotka)
ekonomska interpretacija lagrange ovog multiplikatora1
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • Izraz

pokazuje koliko dodatne korisnosti potrošač dobije ako potroši malo više na dobro i

  • To znači da potrošač ima više novaca za potrošiti, to jest, da je njegovo ograničenje oslabljeno
  • Slabljenje ograničenja znači da potrošač ima veći dohodak
ekonomska interpretacija lagrange ovog multiplikatora2
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • Ovaj rezultat implicira da predstavlja graničnu vrijednost relaksiranja ograničenja u problemu maksimizacije korisnosti
  • Pokazuje (u optimumu) graničnu korisnost dodatne novčane jedinice u potrošnji, to jest, graničnu promjenu korisnosti izazvanu graničnim povećanjem dohotka
ekonomska interpretacija lagrange ovog multiplikatora3
Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora
  • Tako se ekonomski interpretira kao granična korisnost dohotka
  • Na taj način predstavlja novu mjeru vrijednosti rijetkih resursa u problemu maksimizacije uz ograničenje
rje enje problema maksimizacije korisnosti
Rješenje problema maksimizacije korisnosti
  • Dakle, rješenjem problema maksimizacije korisnosti uz ograničenje kada je rješenje jedinstveno dobijemo dvije vrste objekata:
    • Vektor (ili skup vektora) optimalnog rješenja x* i vrijednost Lagrange-ovog multiplikatora
    • Vrijednost potrošačeve maksimalne korisnosti
rje enje problema maksimizacije korisnosti1
Rješenje problema maksimizacije korisnosti
  • Analizirajmo prvo vektor optimalne potrošnje
  • Vektor optimalne potrošnje x* ovisi o parametrima iz problema potrošačevog izbora (p i w) i bit će jedinstveno određen
rje enje problema maksimizacije korisnosti2
Rješenje problema maksimizacije korisnosti
  • Rješenje problema maksimizacije potrošačeve korisnosti uz dato ograničenje možemo smatrati FUNKCIJOM iz skupa cijena i dohotka,

, u skup količina

funkcija potra nje
Funkcija potražnje
  • Pravilo koje svakom paru cijena i bogatstva

u problemu maksimizacije korisnosti pridružuje vektor optimalne potrošnje označava se sa i predstavlja Walrasovu (običnu, tržišnu) funkciju potražnje

  • Ako se svakom paru cijene-bogatstvo pridružuje SKUP optimalnih vektora potrošnje to se naziva Walrasovo višeznačno preslikavanje ili korespondencija potražnje
maksimizacija korisnosti funkcija potra nje
Maksimizacija korisnosti – funkcija potražnje
  • Slika 3.4: Izvođenje krivulje potražnje iz maksimizacije korisnosti
funkcija potra nje1
Funkcija potražnje
  • Iz Slike 3.4 vidljivo je da će različite razine dohotka i cijene dobra 2 mijenjati položaj i oblik krivulje potražnje za dobrom 1
  • Međutim, njen će položaj i oblik uvijek ovisiti o relaciji preferencije datog potrošača
korespondencija potra nje
Korespondencija potražnje
  • Kada je preslikavanje višeznačno, umjesto pojma funkcija potražnje koristimo pojam korespondencija potražnje
  • Ako je u neprekidna funkcija korisnosti koja predstavlja lokalno nezasićenu relaciju preferencije ≿ definiranu na skupu moguće potrošnje , tada Walrasova korespondencija potražnje x(p,w) ima sljedeća svojstva:
korespondencija potra nje1
Korespondencija potražnje
  • Walrasova korespondencija potražnje je:
    • Homogena nultog stupnja
    • Zadovoljava Walrasov zakon
    • Konveksna je
korespondencija potra nje2
Korespondencija potražnje
  • Homogenost nultog stupnja
    • Skup mogućih potrošnji u problemu maksimizacije korisnosti ne mijenja se ako se sve cijene i dohodak pomnože sa nekim skalarom
    • To znači da se u tim uvjetima ne mijenja ni skup optimalnih košara dobara
korespondencija potra nje3
Korespondencija potražnje
  • Walrasov zakon
    • Jedini način da x* bude optimalna košara dobara je ako ne postoji košara koja je u budžetskom skupu a koju bi potrošač više volio
    • Ovo proizlazi iz pretpostavke o lokalnoj nezasićenosti preferencija i vrijedi samo ako x* zadovoljava
korespondencija potra nje4
Korespondencija potražnje
  • Konveksnost
    • x(p,w) je konveksni skup ako je funkcija korisnosti u kvazikonkavna
    • Konveksnost preferencija implicira konveksnost x(p,w) (Slika 3.5.(a))
    • Stroga konveksnost preferencija implicira da je vrijednost x(p,w) jedinstveno određena (Slika 3.5.(b))
    • Ovo podrazumijeva strogu kvazikonkavnost funkcije korisnosti jer ona isključuje mogućnost ravnih dijelova na krivulji indiferencije
konveksnost i stroga konveksnost preferencija
Konveksnost i stroga konveksnost preferencija
  • Slika 3.5.a: Konveksnost preferencija i x(p,w)
  • Slika 3.5.b: Stroga konveksnost preferencija i x(p,w)

x2

x2

x

x

x’’

x’’

x’

x’

x1

x1

indirektna funkcija korisnosti
Indirektna funkcija korisnosti
  • Drugi značajni objekt koji se dobije kao rezultat maksimizacije korisnosti je maksimalna vrijednost potrošačeve korisnosti
  • Posljedica ovog rezultata je formiranje indirektne funkcije korisnosti
indirektna funkcija korisnosti1
Indirektna funkcija korisnosti
  • Walrasova funkcija potražnje x(p,w) daje košaru dobara koja maksimizira potrošačevu korisnost uz dato budžetsko ograničenje
  • Ako supstituiramo ovu košaru u funkciju korisnosti, dobijemo korisnostkoju potrošač dobiva birajući tu košaru pri cijenama p i dohotku w
indirektna funkcija korisnosti2
Indirektna funkcija korisnosti
  • Ovu funkciju nazvat ćemo indirektnom funkcijom korisnosti v (p, w)
  • Definirat ćemo ju kao
  • Primijetimo da je direktna korisnost funkcija košare dobara x dok je indirektna korisnost funkcija cijena i dohotka p i w
svojstva indirektne funkcije korisnosti
Svojstva indirektne funkcije korisnosti
  • Svojstva uglavnom “naslijeđena” od funkcije potražnje
  • Pretpostavlja se lokalna nezasićenost preferencija
  • Indirektna funkcija korisnosti koja odgovara lokalno nezasićenim preferencijama ima sljedeća svojstva:
svojstva indirektne funkcije korisnosti1
Svojstva indirektne funkcije korisnosti
  • Homogena nultog stupnja
  • Strogo rastuća u w i ne-rastuća u p
  • Kvazikonveksna u (p,w)
  • Neprekidna
  • Vrijedi Royev identitet
svojstva indirektne funkcije korisnosti2
Svojstva indirektne funkcije korisnosti
  • Homogenost nultog stupnja:
    • Proizlazi iz homogenosti funkcije potražnje
    • Kako se košara koju potrošač konzumira ne mijenja ako se sve cijene i dohodak promijene za isti iznos tako se ne mijenja ni korisnost koju potrošač njome dobiva
    • Kako vrijedi
    • To isto vrijedi
svojstva indirektne funkcije korisnosti3
Svojstva indirektne funkcije korisnosti
  • je strogo rastuća u w
    • zbog lokalne nezasićenosti
  • i ne-rastuća u p:
    • jer povećanje jedne ili više cijena smanjuje skup dostupnih izbora
svojstva indirektne funkcije korisnosti4
Svojstva indirektne funkcije korisnosti
  • je kvazikonveksna u (p,w)
    • Skup je konveksan za sve
    • Konveksna kombinacija dva vektora koji daju istu indirektnu korisnost neće biti veća od te indirektne korisnosti (dokaz u knjizi)
svojstva indirektne funkcije korisnosti5
Svojstva indirektne funkcije korisnosti
  • je neprekidna
    • Male promjene u p i w rezultiraju u malim promjenama korisnosti
    • Ovo je naročito očito u slučaju kada su krivulje indiferencije strogo konveksne i diferencijabilne
od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potra nje
Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje
  • Izraz koji nam omogućava povratak od indirektne korisnosti do funkcije potražnje naziva se Royev identitet
  • Uz pretpostavku (koja se može dokazati) da postoji za koji vrijedi

.. (3.11)

kao i uz pretpostavku da je indirektna funkcija korisnosti diferencijabilna

od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potra nje1
Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje
  • Parcijalne derivacije prvog reda po cijeni indirektne funkcije korisnosti bit će

...(3.12)

  • Kako vrijedi
od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potra nje2
Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje
  • Tako izraz (3.12) postaje

... (3.13)

čime smo dobili traženu funkciju potražnje

ad