Teorija potra nje i
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 73

Teorija potražnje I PowerPoint PPT Presentation


  • 79 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Teorija potražnje I. Maksimizacija korisnosti i funkcija potražnje. Potrošačev problem - ukratko. U analizi ponašanja potrošača istaknuli smo četiri konstrukcijska elementa: Skup mogućih izbora Skup dostupnih izbora (budžetski skup) Relaciju preferencije ≿ definiranu na

Download Presentation

Teorija potražnje I

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Teorija potražnje I

Maksimizacija korisnosti

i funkcija potražnje


Potrošačev problem - ukratko

  • U analizi ponašanja potrošača istaknuli smo četiri konstrukcijska elementa:

    • Skup mogućih izbora

    • Skup dostupnih izbora (budžetski skup)

    • Relaciju preferencije ≿definiranu na

    • Pretpostavku ponašanja (potrošač bira najbolju od mogućih alternativa u skladu sa svojom relacijom preferencije) ili

      tako da x* ≿ x za svaki


Funkcija korisnosti - ukratko

  • Svaka binarna relacija koja je potpuna, refleksivna, tranzitivna i neprekidna može se predstaviti funkcijom koju zovemo funkcija korisnosti

  • Funkcija korisnosti sadrži iste informacije o potrošačevim preferencijama kao i relacija preferencije ≿

  • Svojstva preferencija prenose se na svojstva funkcije korisnosti


Funkcija korisnosti - ukratko

  • Ako su preferencije racionalne, neprekidne, lokalno nezasićene i konveksne, funkcija korisnosti se “lijepo ponaša”

  • Ove pretpostavke osiguravaju da je funkcija korisnosti neprekidna

  • Mi ćemo još pretpostaviti i da je diferencijabilna (tada možemo koristiti metode diferencijalnog računa za detaljniju analizu potrošačevog ponašanja)


Funkcija korisnosti - ukratko

  • Također znamo da je funkcija korisnosti strogo rastuća i strogo kvazikonkavna te da su to njena ordinalna svojstva (koja se ne mijenjaju pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija)

  • Oblik funkcije korisnosti (da li je ona konkavna ili konveksna) je kardinalno svojstvo funkcije korisnosti koje se ne čuva pod utjecajem pozitivnih monotonih transformacija


Funkcija korisnosti - ukratko

  • Funkcija korisnosti nam je potrebna jer se njenom maksimizacijom izvodi funkcija potražnje

  • U tu svrhu razvit ćemo model u kojem potrošači između košara dobara koje su im dostupne biraju onu koju najviše vole


Izbor potrošača

  • Walrasovski budžetski skup

  • Cijene i bogatstvo (dohodak) su strogo pozitivni


Potrošačev problem

  • Potrošačev problem može se napisati kao

    ... (3.1)


Pitanja

  • Pitanja koja postavljamo:

    • Da li postoji rješenje ovog problema?

    • Ako rješenje postoji, kako do njega doći?


Da li rješenje postoji?

  • Budući da je u (x) neprekidna funkcija definirana na skupu

    koji je kompaktan (zatvoren i ograničen), možemo primjeniti Teorem o maksimalnoj vrijednosti

  • Prema ovom teoremu neprekidna funkcija definirana na kompaktnom skupu ima maksimum (i minimum)

  • Dakle, ovaj problem ima rješenje


Kako do rješenja?

  • Potrošač se suočava sa problemom maksimizacije funkcije cilja (korisnosti) uz ograničenja

  • Funkcije ograničenja mogu biti predstavljene kao:

    • uvjeti nenegativnosti

    • jednakosti

    • nejednakosti

      (primjeri za L=2)


Kako do rješenja?

  • Naše ograničenje dato je u formi nejednakosti

  • Ova činjenica, zajedno sa činjenicom da imamo i uvjete nenegativnosti, omogućuje primjenu Kuhn-Tuckerove metode

  • Ovu metodu nelinarnog programiranja detaljnije će obraditi profesor Neralić


Kako do rješenja?

  • Mi ćemo poći od pretpostavke monotonosti preferencija te naročito njihove lokalne nezasićenosti

  • Ovo svojstvo osigurat će da će se optimalno rješenje nalaziti u gornjem rubu budžetskog skupa, dakle, ograničenje će biti obvezujuće

  • Tako će se potrošačevo ograničenje moći izraziti u formi jednakosti ili


Kako do rješenja?

  • U svijetu L = 2 i uz momentalno zanemarivanje uvjeta nenegativnosti potrošačev problem postaje


Kako do rješenja?

  • Geometrijski, naš cilj je pronaći najviši nivo skup (krivulju indiferencije) koji ima dodirnu točku sa skupom ograničenja

  • Dakle, krivulju koja je tangencijalna na skup ograničenja u točki optimalnog rješenja x*


Maksimizacija korisnosti

  • Slika 3.1: U optimalnom rješenju x* najviša nivo krivulja od f tangencijalna je na skup ograničenja C

b

x*

C


Maksimizacija korisnosti

  • Nagib nivo krivulje od f u točci x* je


Maksimizacija korisnosti

  • Skup ograničenja, odnosno njegov gornji rub, lokalno aproksimiramo funkcijom ograničenja h

  • Nagib funkcije ograničenjau točci x* je


Maksimizacija korisnosti

  • Kako su (zbog tangencijalnosti) nagibi funkcije f i ograničenja h u točci optimalnog rješenja x*jednaki, možemo pisati

    ... (3.2)


Maksimizacija korisnosti

  • Preuredimo ovaj izraz na sljedeći način

    ... (3.3)


Maksimizacija korisnosti

  • Kako su vrijednosti ovih omjera jednake te uz pretpostavku da su nazivnici različiti od nule, vrijednost ovog omjera označit ćemo sa

    ... (3.4)


Maksimizacija korisnosti

  • Napišimo izraz (3.4) kao dvije jednadžbe

    ... (3.5)


Maksimizacija korisnosti

  • Imamo dvije jednadžbe sa tri nepoznanice

  • Treća jednadžba nam je jednadžba ograničenja pa sustav jednadžbi postaje:


Maksimizacija korisnosti

...(3.6)


Maksimizacija korisnosti

  • Definirajmo Lagrangeovu funkciju

  • Ako uvrstimo naše funkcije cilja i ograničenja izraz postaje

    ... (3.7)


Maksimizacija korisnosti

  • Sistem (3.6) ekvivalentan je zahtjevu da je diferencijal od L jednak nuli,

  • Odavde slijedi da se ekstremi traže “bez ograničenja”

  • Ovo funkcionira samo kada su i

    iz izraza (3.3) u optimalnom rješenju različiti od nule


Kvalifikacija ograničenja

  • To se naziva kvalifikacija ograničenja

    i predstavlja blagu restrikciju skupa ograničenja

  • Ono znači da se kritične točke funkcije ograničenja h ne nalaze među rješenjima ovog sistema jednadžbi


Kvalifikacija ograničenja

  • Ako je ograničenje linearno, kvalifikacija ograničenja bit će automatski zadovoljena

  • Može se prijeći na postupak maksimizacije korisnosti kao da se radi o neograničenoj optimizaciji


Maksimizacija korisnosti

  • Kritične ili stacionarne točke u problemu neograničene optimizacije dobiju se izjednačavanjem parcijalnih derivacijaprvog reda po svim varijablama s nulom


Maksimizacija korisnosti

  • Ovi se uvjeti nazivaju uvjeti prvog reda (First Order Conditions)

  • Za izraz (3.7) uvjeti prvog reda su sljedeći:

    ... (3.8)


Maksimizacija korisnosti

  • Jednadžbe (3.8) predstavljaju nužne ali ne i dovoljne uvjete za maksimum

  • Za dovoljne uvjete treba konzultirati uvjete drugog reda

  • Međutim, ako je funkcija korisnosti strogo kvazikonkavna (opadajuća MRS za dva dobra), tada su uvjeti prvog reda i nužni dovoljni da bi rješenje bilo pravi unutarnji maksimum


Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Označimo sa

    i sa

    gradijent vektore funkcije korisnosti i ograničenja u točci x


Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Budući da nivo skupovi od f i h imaju isti nagib u točci x* , njihovi gradijenti u točki x* leže na istom pravcu

  • Gradijent vektor pokazuje smjer najbrže promjene funkcije

  • U slučaju maksimuma oni pokazuju u istom smjeru ( u slučaju minimuma u obrnutom)


Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Slika 3.2: Gradijenti od f i h leže na istom pravcu kroz x* kada je x* ograničeni maksimum (a) ili minimum (b) (kolinearni su)

x*

x*

C

C


Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Izraz (3.5) uz pomoć gradijent vektora možemo napisati kao

    ili f (x*) = h (x*)


Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • To znači da su gradijent vektori kolinearni

  • Lagrange-ov multiplikator je faktor proporcionalnosti, skalar kojim se množi gradijent vektor ograničenja kako bi se izjednačio (i po duljini) sa gradijent vektorom funkcije korisnosti


Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije 2 varijable i jednog ograničenja u formi jednakostiuz pomoć gradijent vektora izražava se kao

    ... (3.9)


Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Kvalifikacija ograničenja u slučaju maksimizacije funkcije n varijabli i jednog ograničenja u formi jednakostiuz pomoć gradijent vektora izražava se kao

    ... (3.10)


Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Ako umjesto jednog ograničenja u formi jednakosti imamo m jednadžbi koje definiraju skup ograničenja, logika analize ostaje ista ali se umjesto gradijent vektora koristi Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda


Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja


Jacobijeva matrica parcijalnih derivacija prvog reda za m ograničenja

  • Kaže se da ograničenje

    zadovoljava NDCQ (nondegenerate constraint qualification) (nedegeneriranu kvalifikaciju ograničenja) ako vrijedi r(Dh(x*))=m ,to jest, ako je rang Jacobijeve matrice maksimalan

  • Ovo je uvjet regularnosti koji osigurava da skup ograničenja ima svugdje dobro definirane n-m dimenzionalne tangencijalne ravnine


Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2

  • Uvažavajući uvjete tangentnosti iz (3.2)-(3.4) prve dvije jednadžbe iz (3.8) možemo napisati kao

    što je poznati izraz za jednakost granične stope supstitucije MRS i omjera cijena u točci ravnoteže potrošača


Implikacije uvjeta prvog reda u svijetu L = 2

  • U rubnom optimumu gdje ova jednakost ne vrijedi, potrošač nije u mogućnosti podesiti potrošnju oba dobra da se izjednače MRS i omjer cijena


Geometrijska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

Slika 3.3:

(a) Unutarnje rješenje (b) Rubno rješenje

x2

x2

p

λp

p

x1

x1


Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Kada sistem jednadžbi (3.8) riješimo za dobijemo sljedeći rezultat

  • Ovo pokazuje da u točci optimalne potrošnje potrošač ostvaruje jednaku graničnu korisnost po jedinici novca (dohotka)


Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Izraz

    pokazuje koliko dodatne korisnosti potrošač dobije ako potroši malo više na dobro i

  • To znači da potrošač ima više novaca za potrošiti, to jest, da je njegovo ograničenje oslabljeno

  • Slabljenje ograničenja znači da potrošač ima veći dohodak


Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Ovaj rezultat implicira da predstavlja graničnu vrijednost relaksiranja ograničenja u problemu maksimizacije korisnosti

  • Pokazuje (u optimumu) graničnu korisnost dodatne novčane jedinice u potrošnji, to jest, graničnu promjenu korisnosti izazvanu graničnim povećanjem dohotka


Ekonomska interpretacija Lagrange-ovog multiplikatora

  • Tako se ekonomski interpretira kao granična korisnost dohotka

  • Na taj način predstavlja novu mjeru vrijednosti rijetkih resursa u problemu maksimizacije uz ograničenje


Rješenje problema maksimizacije korisnosti

  • Dakle, rješenjem problema maksimizacije korisnosti uz ograničenje kada je rješenje jedinstveno dobijemo dvije vrste objekata:

    • Vektor (ili skup vektora) optimalnog rješenja x* i vrijednost Lagrange-ovog multiplikatora

    • Vrijednost potrošačeve maksimalne korisnosti


Rješenje problema maksimizacije korisnosti

  • Analizirajmo prvo vektor optimalne potrošnje

  • Vektor optimalne potrošnje x* ovisi o parametrima iz problema potrošačevog izbora (p i w) i bit će jedinstveno određen


Rješenje problema maksimizacije korisnosti

  • Rješenje problema maksimizacije potrošačeve korisnosti uz dato ograničenje možemo smatrati FUNKCIJOM iz skupa cijena i dohotka,

    , u skup količina


Funkcija potražnje

  • Pravilo koje svakom paru cijena i bogatstva

    u problemu maksimizacije korisnosti pridružuje vektor optimalne potrošnje označava se sa i predstavlja Walrasovu (običnu, tržišnu) funkciju potražnje

  • Ako se svakom paru cijene-bogatstvo pridružuje SKUP optimalnih vektora potrošnje to se naziva Walrasovo višeznačno preslikavanje ili korespondencija potražnje


Maksimizacija korisnosti – funkcija potražnje

  • Slika 3.4: Izvođenje krivulje potražnje iz maksimizacije korisnosti


Funkcija potražnje

  • Iz Slike 3.4 vidljivo je da će različite razine dohotka i cijene dobra 2 mijenjati položaj i oblik krivulje potražnje za dobrom 1

  • Međutim, njen će položaj i oblik uvijek ovisiti o relaciji preferencije datog potrošača


Korespondencija potražnje

  • Kada je preslikavanje višeznačno, umjesto pojma funkcija potražnje koristimo pojam korespondencija potražnje

  • Ako je u neprekidna funkcija korisnosti koja predstavlja lokalno nezasićenu relaciju preferencije ≿ definiranu na skupu moguće potrošnje , tada Walrasova korespondencija potražnje x(p,w) ima sljedeća svojstva:


Korespondencija potražnje

  • Walrasova korespondencija potražnje je:

    • Homogena nultog stupnja

    • Zadovoljava Walrasov zakon

    • Konveksna je


Korespondencija potražnje

  • Homogenost nultog stupnja

    • Skup mogućih potrošnji u problemu maksimizacije korisnosti ne mijenja se ako se sve cijene i dohodak pomnože sa nekim skalarom

    • To znači da se u tim uvjetima ne mijenja ni skup optimalnih košara dobara


Korespondencija potražnje

  • Walrasov zakon

    • Jedini način da x* bude optimalna košara dobara je ako ne postoji košara koja je u budžetskom skupu a koju bi potrošač više volio

    • Ovo proizlazi iz pretpostavke o lokalnoj nezasićenosti preferencija i vrijedi samo ako x* zadovoljava


Korespondencija potražnje

  • Konveksnost

    • x(p,w) je konveksni skup ako je funkcija korisnosti u kvazikonkavna

    • Konveksnost preferencija implicira konveksnost x(p,w) (Slika 3.5.(a))

    • Stroga konveksnost preferencija implicira da je vrijednost x(p,w) jedinstveno određena (Slika 3.5.(b))

    • Ovo podrazumijeva strogu kvazikonkavnost funkcije korisnosti jer ona isključuje mogućnost ravnih dijelova na krivulji indiferencije


Konveksnost i stroga konveksnost preferencija

  • Slika 3.5.a: Konveksnost preferencija i x(p,w)

  • Slika 3.5.b: Stroga konveksnost preferencija i x(p,w)

x2

x2

x

x

x’’

x’’

x’

x’

x1

x1


Indirektna funkcija korisnosti

  • Drugi značajni objekt koji se dobije kao rezultat maksimizacije korisnosti je maksimalna vrijednost potrošačeve korisnosti

  • Posljedica ovog rezultata je formiranje indirektne funkcije korisnosti


Indirektna funkcija korisnosti

  • Walrasova funkcija potražnje x(p,w) daje košaru dobara koja maksimizira potrošačevu korisnost uz dato budžetsko ograničenje

  • Ako supstituiramo ovu košaru u funkciju korisnosti, dobijemo korisnostkoju potrošač dobiva birajući tu košaru pri cijenama p i dohotku w


Indirektna funkcija korisnosti

  • Ovu funkciju nazvat ćemo indirektnom funkcijom korisnosti v (p, w)

  • Definirat ćemo ju kao

  • Primijetimo da je direktna korisnost funkcija košare dobara x dok je indirektna korisnost funkcija cijena i dohotka p i w


Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • Svojstva uglavnom “naslijeđena” od funkcije potražnje

  • Pretpostavlja se lokalna nezasićenost preferencija

  • Indirektna funkcija korisnosti koja odgovara lokalno nezasićenim preferencijama ima sljedeća svojstva:


Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • Homogena nultog stupnja

  • Strogo rastuća u w i ne-rastuća u p

  • Kvazikonveksna u (p,w)

  • Neprekidna

  • Vrijedi Royev identitet


Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • Homogenost nultog stupnja:

    • Proizlazi iz homogenosti funkcije potražnje

    • Kako se košara koju potrošač konzumira ne mijenja ako se sve cijene i dohodak promijene za isti iznos tako se ne mijenja ni korisnost koju potrošač njome dobiva

    • Kako vrijedi

    • To isto vrijedi


Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • je strogo rastuća u w

    • zbog lokalne nezasićenosti

  • i ne-rastuća u p:

    • jer povećanje jedne ili više cijena smanjuje skup dostupnih izbora


Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • je kvazikonveksna u (p,w)

    • Skup je konveksan za sve

    • Konveksna kombinacija dva vektora koji daju istu indirektnu korisnost neće biti veća od te indirektne korisnosti (dokaz u knjizi)


Svojstva indirektne funkcije korisnosti

  • je neprekidna

    • Male promjene u p i w rezultiraju u malim promjenama korisnosti

    • Ovo je naročito očito u slučaju kada su krivulje indiferencije strogo konveksne i diferencijabilne


Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje

  • Izraz koji nam omogućava povratak od indirektne korisnosti do funkcije potražnje naziva se Royev identitet

  • Uz pretpostavku (koja se može dokazati) da postoji za koji vrijedi

    .. (3.11)

    kao i uz pretpostavku da je indirektna funkcija korisnosti diferencijabilna


Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje

  • Parcijalne derivacije prvog reda po cijeni indirektne funkcije korisnosti bit će

    ...(3.12)

  • Kako vrijedi


Od indirektne funkcije korisnosti do funkcije potražnje

  • Tako izraz (3.12) postaje

    ... (3.13)

    čime smo dobili traženu funkciju potražnje


  • Login