概率论与数理统计

概率论与数理统计 高教自考复习总第十四讲

提纲 • 回顾与展望 • 概率论的基础 • 随机变量的基础 • 数字特征 • 计算技巧

回顾与展望 学了概率论与数理统计两大块; 查一查微积分、集合、计算方面的基础是否扎实；分析和解决随机现象中问题的能力；考试是能力的综合测试；理论联系实际的重要。

概率论要掌握的基础知识 • 集合论 • 排列组合 • 基本微积分 • 计算技术

事件随机事件不可能事件必然事件包含相等交与并不相容(互斥) 对立(互补) 独立 0概率事件 1概率事件概率的基本概念

概率的基本公式

概率论部分 离散型的分布列为则要求:1. pk≥0 2. ∑pk=1 而Eξ= ∑xk pk(要求绝对收敛.) Eξ2= ∑xk2 pk Dξ= Eξ2－(Eξ) 2

概率论部分 连续型的概率密度函数为p(x), 则要求:1. p(x)≥0 2.∫p(x)dx=1 而Eξ=∫xp(x)dx(要求绝对收敛) Eξ2=∫x2p(x)dx Dξ= Eξ2－(Eξ) 2

随机变量 随机现象量化为一个变量，叫随机变量; 类型：离散型与连续型；分布函数及其性质：离散型的分布列及性质；连续型的概率密度函数及性质；重要的几类随机变量。

随机向量 随机现象作为整体量化为几个变量，叫随机向量; 类型：离散型与连续型; 联合分布函数与边际分布函数; 离散型的联合分布列与边际分布列; 连续型的联合概率密度函数与边际概率密度函数。

概率论部分 数字特征的性质： 1.E(aξ+b)=aE(ξ)+b 2.E(ξ±η)=E(ξ)±E(η) 3.E(ξ*η)=E(ξ)*E(η)? 4.D(aξ+b)=a2D(ξ) 5.D(ξ±η)=D(ξ)+D(η)? 6.D(ξ*η)=D(ξ)*D(η)????

数字特征 离散型用求和：连续型用积分：（都要求绝对收敛。）要掌握基本级数求和公式及基本积分公式。

1)如AB，则 A∪B= A∩B= P(A∪B)= P(A∩B)= P(B-A)= P(A-B)= B 练习 2)如P(A)=0,B为任意事件，则 P(A∪B)= P(A∩B)= A与B独立吗？ P(B) A 0 P(B) √ P(A) P(B)- P(A) 0

单项选择题 *设P(A)=0，B为任一事件，则___; ①A= ②AB ③A与B相互独立 ④A与B互不相容 *A、B为任意两个事件，若A、B之积为不可能事件，则称____; ①A与B相互独立 ②A与B互不相容 ③A与B互为对立事件 ④A与B为样本空间的一个剖分

单项选择题 *设A、B两事件互不相容，0<P(A)=p<1，0<P(B)=q<1，则推不出结论___； ① P(A|B)=0 ② ③ ④ *设随机变量的分布列为  -2 0 2 ，则 E(3 2+5) = ___; p 0.4 0.3 0.3 ① 13 ② 13.2 ③ 13.4 ④ 13.6

单选题 *设A，B为两事件，AB，则不能推出结论____ ①P(AB)=P(A) ②P(AUB)=P(B) ③P(AB)=P(A)-P(B) ④P(AB)=P(B)-P(A) *设离散型随机变量的分布列为其分布函数为F(x),则F(3/2)=___ ① 0.1 ② 0.3 ③ 0.6 ④ 1.0 *随机变量ξ的概率密度函数为p(x)= (-∞<x<+∞),则常数C=___ ① 1/π ② 2/π ③ π ④ π/2

单选题 *随机变量ξ的概率密度函数为 p(x)= 则ξ的数学期望E ξ=____ ① 1/2 ② 1 ③ 2 ④ 4 *设ξ~P(λ)(λ>0)，则D(ξ)/E(ξ)=____ ① 1 ② λ ③ 1/ λ ④ λ2 *随机变量ξ~P(2)，则Eξ2=____ ① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8

*随机变量ξ和η的概率密度函数分别为 pξ(x)= pη(y)= 若ξ和η相互独立，则数学期望E(ξη)=____ ① 1 ② 1/2 ③ 1/3 ④ 1/4 *设随机变量ξ的E(ξ)=μ,D(ξ)=σ2,用切比雪夫不等式估计P(|ξ- μ|≤3σ)____ ① ≤1/9 ② ≤8/9 ③ ≤80/81 ④ ≥8/9 单选题

切贝雪夫不等式 • 随机变量的ξ方差存在，ε>0:

例题 • 一枚硬币抛了1000次，估计正面次数在[400，600]中的概率； • 设ξ~N(12,9),是否有P(6≤ξ≤18)≥0.75 • 一批产品中优质品占一半，从中有放回地抽取，问在100次抽取中优质品的件数不超过45的概率约为多少？超过60件的概率约等于多少？

单项选择题

单项选择题１.Ａ ∴选Ａ

单项选择题１.Ｂ ∴不选Ｂ

单项选择题１.Ｃ ∴不选Ｃ

单项选择题１.Ｄ ∴不选Ｄ

单项选择题２ ∴选Ｃ

单项选择题３ Ａ：至少击中一次；Ｂ：至多击中一次；∴选B Ｃ：恰好击中一次；Ｄ：三次皆不中。

单项选择题４ ＦＹ(y)=P(Y≤y) =P(X≤+∞,Y≤y) =F(+∞,y)∴选Ｄ

单项选择题

填空题

简答题

计算题

综合应用题

2001年秋试题选 *设~B(10,1/3)，则D()/E()=___; ① 1/3 ② 2/3 ③ 1 ④ 10/3 *设~N(,2)，以下结论错误的是___; ① P{-2<<+2}与，无关 ② P{<}=1/2 ③ E(-)=0 ④ D(-)=0

2001年秋试题选 *设~P(2)，则有___成立； ① D(2-3)=1 ② D(2-3)=5 ③ D(2-3)=7 ④ D(2-3)=8 *ξ，η同分布N（，2），且相互独立，下面各式不成立的是___; ① E(2-2η)=0 ② E(2+2η)=4E() ③ D(2-2η)=7 ④ 与η不相关

2001年秋试题选 计算题： *设随机变量的分布函数为 F(x)= 求：⑴常数A；⑵的密度函数p(x)；⑶P{1}

2001年秋试题选 计算题： *若甲盒中装有三个白球，二个黑球，乙盒中装有一个白球，二个黑球。由甲盒中任取一球投入乙盒，再从乙盒中任取一个球。⑴求从乙盒中取得一个白球的概率；⑵若从乙盒中取得一个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球的概率。

2001年秋试题选 综合应用题： *袋中有2只白球，3只黑球，现进行无放回地摸球，定义： = ,η= , 求⑴(ξ,η)的联合分布；⑵ξ,η的边际分布；⑶ξ,η是否相互独立。

2001年秋试题选 简答题 *设随机变量~N（，2），问k取何值时P{≤+k}=0.5 ； *设总体服从普阿松（Poisson）分布，P{X=k}= 其中λ>0为未知参数,X1,X2,…, Xn 为样本，，则2 为2λ的矩估计，对不对？

2001年秋试题选 *设X1，X2，…，Xn为总体X~N(，2)的一个样本，分别为样本均值和样本方差，则服从参数为n-1的t分布的统计量是___; 　①　　　　　　　② 　③　　　　　　　④

2001年秋试题选 *设总体X服从[0,θ]区间上的均匀分布,其中θ>0为未知参数,X1,X2,…，Xn为样本，若为θ的极大似然估计量，则___; ① ② ③对任意n, ④( X1，X2，…，Xn)的不含任何未知参数的函数

2001年秋试题选 *设总体X服从正态分布N(,2),其中与2均为未知参数,X1,X2,…, Xn 为样本,记则2的置信水平为0.90的置信区间是___; ① ② ③ ④

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