D i f e r a n s i y e l denklemler Bölüm-I-

1. D i f e r a n s i y e l denklemler Bölüm-I- www.yeniuniversite.net

2. Diferansiyel denklemler: y=f(x) fonksiyonu ve türev yada türevlerini içeren denklemlerdir. En yüksek türev mertebesi, dif denklemin mertebesidir. En yüksek türev mertebesinin kuveti ise, dif denklemin derecesidir. (I. Mertebeden dif.denklem) h. Cengiz ODABAŞI – Matematik öğretmeni (III. Mertebeden dif.denklem) (II. Mertebeden dif.denklem) (n. Mertebeden dif.denklem) Bir çok matematik model diferansiyel denklemler yardımı ile kurulur. www.yeniuniversite.net

3. Lineer Diferansiyel Denklemler: hem mertebenin hemde derecenin ‘1’ olduğu dif denklemler, lineer dif denklemlerdir. lineer olmayan dif denklemlere ise, non-lineer dif denklem denir. ( I. mertebe, I.dereceden lineer dif denklem) ( I. mertebe, I.dereceden lineer dif denklem) ( II. mertebe, I.dereceden nonlineer dif denklem) ( II. mertebe, I.dereceden nonlineer dif denklem) ( I. mertebe, III.dereceden nonlineer dif denklem) h. Cengiz ODABAŞI – Matematik öğretmeni ( II. mertebe, III.dereceden nonlineer dif denklem) www.yeniuniversite.net

4. Diferansiyel denklemlerde Sınıflandırma: Değişken sayısına göre; i) Adi dif denklemler (Tek değişkenli) ii) Kısmi Türevli dif denklemler (Birden fazla değişkenli) Dereceye göre; i) Lineer (Hem derecesi, hemde mertebesi ‘1’ olan) ii) Non-lineer dif denklemler. (Derecesi veya mertebesi ‘1’den büyük h. Cengiz ODABAŞI – Matematik öğretmeni Mertebeye göre; i) I. Mertebeden dif denklemler ii) Yüksek Mertebeden dif denklemler Katsayılara göre; i) Sabit Katsayılı dif denklemler ii) Değişken Katsayılı dif denklemler Ayrıca, Bernoulli denklemleri , homojen denklemler gibi ayrımları da kullanacağız. www.yeniuniversite.net

5. Genel ve Özel Çözümler dif denkleminin genel çözümü dir. Bu durumda çözüm denklemi sağlamalı; bulunur. h. Cengiz ODABAŞI – Matematik öğretmeni yerlerine yazarsak; bu durumda, çözüm doğrudur. I.mertebeden bir dif denklemin genel çözümünde bir sabit sayı (C ), II.Mertebeden bir dif denklemin genel çözümünde ise iki sabit sayı (C , C gibi) bulunur. 1 1 2 www.yeniuniversite.net

6. * Genel çözüm C gibi sabit yada sabitler içerirken, özel çözümler ise; bu sabitlere keyfi değerler verilerek bulunur. * Genel çözüm belirli bir sabit içeriyor ve keyfi değerler veremiyorsak, çözüm TEKİL(singular) dir. Başlangıç Değer Problemleri * I.Mertebeden bir dif denklem ve m ve n gibi sabitler verildiğinde, dif denklemin çözümünde f(m)=n koşulunu sağlayacak bir f(x) fonksiyonunun bulunması ile ilgili problemlere, Başlangıç Değer Problemi (b.d.p.) denir. m ve n çözümde yerine yazılarak , çözümdeki C sabiti değerce bulunur. Bulunan C değeri genel çözümde yazılarak, özel çözüm bulunmuş olur. h. Cengiz ODABAŞI – Matematik öğretmeni Örnek : denklemi ve y (-1) = e ile oluşan b.d.p. Çözelim; denkleminin çözümü ile bir önceki sayfada verilmişti. y (-1) = e ifadesini çözümde yazarsak; bu C = 1 değerini genel çözümde yazarsak; www.yeniuniversite.net

7. Örnek : . diferansiyel denkleminin çözümünü bulalım; Çözüm : h. Cengiz ODABAŞI – Matematik öğretmeni www.yeniuniversite.net

8. Örnek : diferansiyel denkleminin çözümünü bulalım; Çözüm : h. Cengiz ODABAŞI – Matematik öğretmeni www.yeniuniversite.net

9. Örnek : . diferansiyel denkleminin çözümünü bulalım; Çözüm : h. Cengiz ODABAŞI – Matematik öğretmeni www.yeniuniversite.net

10. Ayrılabilir Diferansiyel denklemler: biçiminde yazılabilen denklemlerdir h. Cengiz ODABAŞI – Matematik öğretmeni bu tür denklemleri çözebilmek için, biçiminde düzenleyip, her iki tarafın integralini alabiliriz; İntegraller hesaplanırsa, buradan genel-özel çözümler bulunur. www.yeniuniversite.net

11. Diferansiyel Denklemler I. Bölüm - S O N - www.yeniuniversite.net