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統計與生活

統計與生活. 第 十一 單元：期望值 授課教師：國立臺灣大學公共衛生學系蕭 朱 杏 教授. 【 本著作除另有註明外，採取 創用 CC 「姓名標示－非商業性－相同方式分享 」臺灣 3.0 版 授權釋出 】. 賭場是靠期望值經營的 大數法則 如何利用模擬求期望值. 為什麼賭場有賺錢的優勢？. 為什麼開賭場的人會賺到錢 ? 因為長期而言，賭場會贏錢。 注意 1: 以上敘述不是在討論賭場贏錢的機率 , 而是在討論賭場贏的錢 , 長期下來是 >0 或 <0 。

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Presentation Transcript

  1. 統計與生活 第十一單元：期望值 授課教師：國立臺灣大學公共衛生學系蕭朱杏 教授 【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示－非商業性－相同方式分享」臺灣3.0版授權釋出】

  2. 賭場是靠期望值經營的 大數法則 如何利用模擬求期望值

  3. 為什麼賭場有賺錢的優勢？ 為什麼開賭場的人會賺到錢? 因為長期而言，賭場會贏錢。 注意1:以上敘述不是在討論賭場贏錢的機率,而是在討論賭場贏的錢,長期下來是>0或<0。 注意2:以上敘述不是在討論單一個人在賭場會輸會贏，而是討論很多賭客(樣本)到賭場賭博之後，賭場最後的平均輸贏。

  4. 目標:期望的表現,平均表現 .長期趨勢下的輸贏(賭場贏或輸) 2.大學成績表現(GPA) 3.國民平均所得(GDP,一萬八?) 4.消費券的使用率(窮人富人誰用的多)

  5. Ex1:付100元可以玩一次輪盤(0-99)，若出現奇數可得200元，若出現偶數得0元Ex1:付100元可以玩一次輪盤(0-99)，若出現奇數可得200元，若出現偶數得0元 每次玩有50%的機率贏得200元。 每次玩有50%的機率期望贏得2000.5+0×0.5=100元。(羊毛出在誰身上) 含手續費，每次玩平均淨贏得0元(200×0.5+ 0×0.5-100) 含手續費，玩1000次平均會有500次贏得200元，共贏得100000元，平均淨贏100-100=0元。 這個0元就是淨贏的期望值(net)。

  6. Ex2:付1萬元可玩一次輪盤(0-99)，若出現賭客選的數可得50萬，若出現其他數得0元Ex2:付1萬元可玩一次輪盤(0-99)，若出現賭客選的數可得50萬，若出現其他數得0元 豪客的玩法(優惠不收手續費) 每次玩有1%的機率贏得50萬元。 每次玩有1%的機率淨贏得:50萬-1萬=49萬元。 每次玩平均淨輸0.5萬元(50萬×0.01+ 0×0.99-1萬)。 這個-5000元就是淨所得的期望值。 長期而言賭場賺翻了。

  7. 機率與期望值 單一個人而言，有人看贏錢的機率(太小不玩) ，有人看獎金高而玩，有人看期望值決定，有人看手續費而玩。 以上哪一個較全面性?何時選哪一個? 對賭場而言看長期的期望值(因為賭場要開很多年吸引很多賭客) Expected value, expectation, E(X), ,

  8. Expected Value(所有可能出現結果的加權平均值) 代表可能的結果,代表對應的機率 Your expected gain (expected value) is前一例,不含手續費的期望值:2001/2+0×1/2=100若擲骰子每面得x元則期望值:($1)/6 + ($2)/6+…+ ($6)/6 = $21/6 for a fair dice

  9. 看一個人或是看很多人 癌病死亡率以肺癌為最高，粗死亡率為每十萬分之27.07，為十大死因癌症首位 Why me? 教育部完成九十一年至九十三年8月底各級學校學生死亡人數統計，總計有2201人不幸喪生，如排除天然災變、外來暴力等外力因素，學生的「意外事故」高達1949件。 衛生署統計的國人十大死因中，每十萬人「意外事故」死亡約為36.3人；教育部的統計則顯示，全國五百多萬名學生中，意外事故每十萬人約有11名學生喪生。 Definitely not me?

  10. 大樂透2億，49號取6號，要不要玩? 大樂透 因此任一組合機率為6 買一張50元,中奬得2億(2)的機率為(6)。 期望得獎金額為0元(1-6×)+(2)元(6)0.012 平均而言每個買券的人樂捐了49.988元 對彩卷公司而言，1萬人來買期望賺49.988萬元，期望賠50萬-49.988萬。 多人參加對誰有利? 為什麼要包牌?希望其中有人中獎 但包牌增加總體中獎機率,但每張中獎機率及期望中獎金額不變

  11. 專賣給馬上搭機旅客的意外險 搭機前付1000元，若發生意外給付100萬。 對單一個人而言，意外發生的機率為0.0001，期望值100萬× 0.0001+0 × 0.9999-1000=-900 對保險公司而言，如果每天15萬的旅客中有1萬人投保,則每天期望盈收值為+900元1萬人

  12. 很多很多 很多保戶會存活，很多人買樂透不會中奬，很多豪賭客會輸 大量累積下來，這是很大的數目(Large Numbers) 很大的數目大數法則(Law of large numbers) 隨機抽樣而得的n筆觀察值之平均，在n很大時，會很接近母體期望值(x1+x2+…+xn)/n E(X)

  13. The Law of Large Numbers 大數法則 當樣本數越來越大的時候,樣本平均值會越來越接近母體的期望值. 換句話說,當n大時,樣本平均值會是母體期望值的一個不錯的估計值

  14. The Law of Large Numbers 大數法則(例1) 亂數表由【臺灣大學 公衛系 蕭朱杏 教授】提供。 降血壓的實際藥效為0.7;現在假設未知,而得利用樣本來估計利用隨機數字150列(令1-7表示有效)07511 88915 41267 16853 84569 79367 32337 01111 00011 11111 11011 01110 10111 11111 若只看1人,平均值為0; 若看5人平均,平均值為0.8; 若看20人,平均值為0.75; What do you see?

  15. The Law of Large Numbers 大數法則(例2-1) 亂數表由【臺灣大學 公衛系 蕭朱杏 教授】提供。 丟一個公正的銅板,問正面的機率利用隨機數字101列(令1-5表示有效)19223 90534 05756 28713 96409 1253110111 00111 01010 10011 00100 1111142544 82853 73676 47150 99400 0192711111 01011 01000 10110 00100 01010 當n=5,平均值為0.8; 當n=20,平均值為0.6; 當n=60,平均值為0.55; What do you see?

  16. The Law of Large Numbers 大數法則(例2-2) 延續上例,當n=5,10,15,20,…,60時10111 00111 01010 10011 00100 1111111111 01011 01000 10110 00100 01010 累積的有效個數為4,7,9,12,13,18,23,26,27,30,31,33平均值為0.8;0.7;0.6;0.6;0.52;0.6;0.66;0.65;0.6;0.6;0.56;0.55 的確有越來越接近0.5的趨勢

  17. The Law of Large Numbers 大數法則(例3) 臺灣大學蕭朱杏 臺灣大學蕭朱杏 Check the effect of n on the sampling distribution of X-bar Check the effect of original population variance

  18. Who needs/applies LLN? For House, Insurance company, Love lottery company, … Not for any individual trial Business? Tell others to take medicine? My taking the medicine?

  19. Common fraud Schemes FBIhttp://www.fbi.gov/scams-safety/fraud

  20. 部落格衝人氣？小心遇到釣魚網站! 刑事警察局-犯罪預防寶典http://www.cib.gov.tw/crime/crime02_2.aspx?no=672

  21. 與大數法則有關的犯罪 請你從1-1000中猜一個數字，然後→打開另一個小信封，裡面也有數字→看，我知道你在想什麼知道我怎麼找到你，我是誰嗎？如果想知道，寄187.45元(現金或支票)到…

  22. 與大數法則有關的犯罪(in literature) 恐懼、身分、住址…猜心詩咒「忘記過去並不可怕，怕的是有人幫你記著。」John Verdon “Think of a number”

  23. 與大數法則有關的犯罪(in literature) A先生找來警察朋友，因為A先生不知道年輕時酗酒酒醉時，曾經做過些什麼可怕而自己不自知的事。後來A先生死了。再後來，有B先生、C先生也收過信也死了。 共同點只有酗酒酒醉。

  24. 與大數法則有關的犯罪(in literature) 有人因為猜中而害怕，而回信的機率？猜中的機率？ 若是751,則1/1000=10/10000Pr(有人回信)=Pr(Y>0|Y ～Bin(104,0.001) )=Pr((Y-np)/(npq)^0.5 > (0-np)/(npq)^0.5)=Pr(Z > -3.164) = 0.9992 有人回信的機率達0.9992!!!

  25. Probability (and Expected Value) in Literature 基地系列(Foundation Series by Isaac Asimov about HariSeldon, creator of Psychohistory) 日(夜,幽,終)巡者(Day Patrol by Sergey Lukianenko)---超凡人看命運機率線 機械公敵(I, Robot, Isaac Asimov) --- saving life based on probability? Anything else in literature?

  26. Foundation series http://en.wikipedia.org/wiki/Foundation_series

  27. I, Robot http://www.imdb.com/title/tt0343818/quotes

  28. Probability and Expected Value in Life/Court? Is he the father?Paternity index=P(DNA|he is)/P(DNA|he is not) Death of 2 sons of Sally Clark: What is the probability? SID for 2=1/73millionReally independent? Is prob the evidence?Court: Prob too small as evidence Some argue: P(evidence|murder)/P(evi|SID) In a single trial vs. in a long run, what to use, & what not to use??

  29. 想一想 找一找文獻(網路,文學作品,法院案例)中使用到機率或期望值或大數法則的例子 100-1歷史系：魔球(Moneyball)奧克蘭運動家隊(Oakland Athletics)以數據而非外表選球員三國：天下合久必分分久必合(這個期望值只有歷史很長之後才看的出來)

  30. LLN-remark:How large is enough? (1/2) To see (x1+x2+…+xn)/n E(X) 直覺: 假設x只有一種可能,永遠都是正面, =1,丟一次就看到E(X)了 假設x有1000種可能,丟幾次呢? Thus, it depends on “variability”the higher the variability of the trials, the larger the sample needed

  31. LLN-remark:How large is enough? (2/2) To see (x1+x2+…+xn)/n E(X) 從sampling distribution來看:因為樣本平均值逼近N(),所以若希望(say),則=100時,n=100則=5時,n=5 Thus, it depends on “variability” the higher the variability of the trials, the larger the sample needed

  32. Computation of Expected Values (1) Use Probability model & formula 骰子每點100元,100/6+200/6+300/6+…+600/6= 吃飯45元,麵60元,麵包24元,機率各為2/3,1/4,1/12,平均花費= (2) Use random digits

  33. Use random digits 亂數表由【臺灣大學 公衛系 蕭朱杏 教授】提供。 一對夫婦計畫要一直生小孩直到生出女兒,或是生了3個就停,問他們平均小孩數是多少?取第130,131列:碰到女生(01-49)就停69051 64817 87174 09517 84534 06489 6905 16 48 17 8717 40 9517 845340 64898787201 97245 05007 16632 81194 14873 20 19 7245 05 007166 32 8119 41 48 7304 平均小孩數=(2+1+1+1+2+1+2+3+3+1+1+2+1+3+1+2+1+1+2)/19=31/19=1.63 (真值=1.77)

  34. 平均要抽幾次才會抽到三個文學院? 亂數表由【臺灣大學 公衛系 蕭朱杏 教授】提供。 這個班同學的組成可分成文學院(45%),法律學院(40%),及其他(15%)數字01~45給文學院;數字46~85給法律學院;數字86~99&00給其他 38448 48789 18338 24697 39364 42006 384484 878918 338246 973936 442006 76688 08708 81486 69487 60513 09297 766880 870881 486694 876051 309297 平均抽10/1=10次 --- should try more for safety

  35. 平均要丟幾次才會連續三個同花? 亂數表由【臺灣大學 公衛系 蕭朱杏 教授】提供。 利用表A的隨機數字: 奇數=正,偶數=反;一次取3個;從101列起; 連續三個奇數或偶數就劃線 19223 90534 05756 28713 96409 12531 192 239 053 405 756 287 139640 912 531; 42544 82853 73676 47150 99400 01927 425 448 285 373 676 471 509 940 001 927; 所以平均要20/5=4次 其實,三個同花機率=1/4,所以4次中會有一次

  36. Summary What is expectation? Expectation is good for many many trials Law of Large Numbers When to use it? How to compute?

  37. 版權聲明

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