La probabilità
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La probabilità Schema classico. Un fatto qualunque , che non sia certo a priori , si dice aleatorio o casuale. Alcuni esempi. Il lancio di un dado da gioco la durata della degenza in ospedale di un ammalato

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La probabilità Schema classico

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Presentation Transcript


La probabilit schema classico

La probabilità

Schema classico


La probabilit schema classico

Un fatto qualunque , che non sia certo a priori , si dicealeatorio o casuale

Alcuni esempi

  • Il lancio di un dado da gioco

  • la durata della degenza in ospedale di un ammalato

  • il numero degli incidenti stradali , nella prossima settimana in un determinato tratto stradale

  • una misurazione scientifica mediante un qualche strumento


La probabilit schema classico

Le proposizioni che a priori sono incerte si chiamanoeventi casuali

Alcuni esempi

  • nella prossima mano di poker verrà un poker d’assi

  • nel lancio del dado uscirà un numero pari

  • la durata della degenza del sig. X sarà minore di 20 giorni

Un evento si dicecertoquando della sua verità si è certi a priori

Esempio: nel lancio del dado otterrò un numero non superiore a 14

Un evento si diceimpossibilequando della sua falsità si è certi a priori

Esempio: nella ruota di Venezia il primo numero che uscirà sarà il 100


La probabilit schema classico

Gli eventi elementari

Consideriamo il lancio di un dado

Evento elementare

Estraiamo una carta da un mazzo

Evento elementare

Consideriamo una macchina automatica produttrice di viti: la prossima vite che sarà prodotta è una delle infinite viti producibili dalla macchina nelle sue condizioni attuali ,ognuna delle quali è unevento elementare


La probabilit schema classico

Definizione : si chiamaSpazio Fondamentaledi un esperimento C , l’insieme dei suoi eventi elementari

  • 1

  • 3

  • 5

  • 2

  • 4

  • 6

asso di cuoriasso di fioriasso di denariasso di picche

2 di cuori2 di fiori2 di denari2 di picche

…..…...…..…..

Definizione : unevento casualeA è un sottoinsieme dello spazio fondamentale 

A=“ la faccia che uscirà sarà pari”

B=“la carta che verrà estratta sarà un asso”

  • Consideriamo un esperimento C e il corrispondente spazio fondamentale L’insiemeE di tutti i sottoinsiemi di  ha le seguenti proprietà:

  •  appartiene ad E

  • Se A appartiene ad E anche A appartiene ad E

  • Se A1 , A2 E anche A1 A2 E


La probabilit schema classico

Teoremase A , B  E , anche AB  E

Teoremase A , B  E , anche A - B  E

DefinizioneDue eventi A , B  E si diconoincompatibili se AB=

Esempio

Si lancia un dado:

consideriamo questi eventi:

  • 1

  • 3

  • 5

  • 2

  • 4

  • 6

A- ”uscirà un numero pari”

B- ”uscirà un multiplo di 3”

C-”uscirà un numero dispari”

A e C sono eventi incompatibili

A e B sono eventi compatibili


La probabilit schema classico

Il concetto di probabilità

Estraiamo una pallina da un’urna contenente 4 palline bianche e 6 palline rosse

  • contiene 10 eventi elementari ciascuno di essi ha probabilità 1/10 di uscita

Consideriamo l’evento :

A:”uscirà una pallina rossa”

Tale evento , unione di 6 eventi equiprobabili , avrà probabilità 6/10

La probabilità di un evento A è data dal rapporto tra il numero k dei casi favorevoli al verificarsi di A e il numero degli n casi possibili.


La probabilit schema classico

  • 1

  • 3

  • 5

  • 2

  • 4

  • 6

L’evento impossibile  ha probabilità P()=0

L’evento certo ha probabilità 1

Se A e B sono eventi incompatibili P(A B) = P(A) +P(B)

Esempi

A: ”nel lancio del dado otterrò un numero non superiore a 14” P(A)=1

B: ”nella ruota di Venezia il primo numero che uscirà sarà il 100” P(B)=0

Lanciamo un dado e consideriamo:

C:” uscirà un numero maggiore di 4” P(C)=2/6

D:” uscirà un numero minore di 3” P(D)=2/6

P(CD)=2/6+2/6=2/3


La probabilit schema classico

1,6

2,6

3,6

4,6

5,6

6,6

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

1,4

2,4

3,4

4,4

5,4

6,4

1,3

2,3

3,3

4,3

5,3

6,3

3,2

4,2

5,2

6,2

1,2

2,2

3,1

4,1

5,1

6,1

1,1

2,1

Se A e B sono eventi compatibili P(A B) = P(A) +P(B) –P( AB)

Lanciamo due dadi e consideriamo lo spazio degli eventi:

A=“la somma dei numeri sarà 5”

P(A)=4/36

B=“il primo numero sarà pari”

P(B)=18/36

AB=(2,3) (4,1)

P(AB)=2/36

P(A B)=4/36+18/36-2/36=5/9


La probabilit schema classico

  • 1

  • 3

  • 5

  • 2

  • 4

  • 6

Probabilità condizionate

Consideriamo gli eventi :

A:”lanciando un dado uscirà un numero dispari”

B:”lanciando un dado uscirà un numero minore di 4”

P(A)=1/2 P(B)=1/2

Supponiamo di sapere che si è verificato A e di voler valutare la probabilità di B , data questa ulteriore informazione.

La indichiamo con P(B/A) e la chiamiamo probabilità condizionata

È cambiato lo spazio degli eventi

  • 1

  • 3

  • 5

P(B/A)=2/3

da cui si ricava:


La probabilit schema classico

  • 1

  • 3

  • 5

  • 2

  • 4

  • 6

Eventi indipendenti

In generale P(B)P(B/A) , se dovesse verificarsi che :P(B)=P(B/A) allora gli eventi A e B sarebbero tra loro indipendenti

Definizione: due eventi A e B sono tra loro indipendenti se P(AB)=P(B)P(A)

Esempio:

Lanciamo un dado e consideriamo gli eventi:

A=1,2,3,4

B= 4,5,6

C=2,4,6

P(A)=4/6 P(B)=3/6 P(C)=3/6

P(A B)=1/6 P(A)P(B)

P(A C)=2/6=P(A)P(C)

A e B sono dipendenti

A e C sono indipendenti


La probabilit schema classico

1,6

2,6

3,6

4,6

5,6

6,6

1,5

2,5

3,5

4,5

5,5

6,5

1,4

2,4

3,4

4,4

5,4

6,4

1,3

2,3

3,3

4,3

5,3

6,3

3,2

4,2

5,2

6,2

1,2

2,2

3,1

4,1

5,1

6,1

1,1

2,1

P(B1 A) P(B1 /A) = = P(A)

P(B1 ) P(A/ B1 )= P(A  B1 )+P(A  B2 )

P(B1 ) P(A/ B1 ) P(B1 ) P(A/ B1 )+P(B2 ) P(A/ B2 )

(21/36)(5/21) P(B1 /A)= = 5/6 (21/36)(5/21)+(15/36)(1/15)

Lanciamo due dadi

consideriamo i due eventi:

B1 = “la somma è minore o uguale a 7”

B2 = “la somma è maggiore di 7 “

B1B2=  B1 B2=

Supponiamo di sapere che:

A= “il primo numero è 2”

Ci chiediamo: “qual è la probabilità che la somma sia minore od uguale di 7?”


La probabilit schema classico

(1/2)(4/8) P(B1 /A)= = 3/5 (1/2)(4/8)+(1/2)(2/6)

Consideriamo due urne dalle seguenti composizioni:

B1

B2

Si sceglie una pallina da un’urna a caso.

La pallina è bianca (evento A)

Qual è la probabilità che la pallina provenga dalla prima urna?

B1

B2


La probabilit schema classico

B1

Bn

B2

La formula di Bayes

Consideriamo n eventi incompatibili B1 ,B2 , . . . ,Bn tali che Bi=

A

sia A un altro elemento di

A=A=

A(B1 B2 . . . Bn )=

(A  B1)  (A  B2) . . .  (A  Bn)

P(A) = P(A  B1 ) + P(A  B2 ) + . . .+ P(A  Bn )=

= P (B1) P (A/ B1 ) + P (B2) P (A/ B2 ) +. . . + P (Bn) P (A/ Bn )


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