第四节   多元复合函数的求导法则
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第四节 多元复合函数的求导法则. 在本节中 , 我们把一元函数微分学中复合函数的求导法则推 广到多元复合函数的情况 . 下面按照多元复合函数不同的复合 情形 , 分三种情形讨论 . 1. 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 . 定理 1. 如果函数 u=φ(t) 及 v=ψ(t) 都在点 t 可导 , 函数 z=f(u,v) 在 对应点 (u,v) 具有连续偏导数 , 则复合函数 z=f[φ(t), ψ(t)] 在点 t 可导 , 且有. 证明 : 在区间 I 内任取一点 t, 设 t 取得增量△ t 后 ,t+△t∈I, 由上

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第四节 多元复合函数的求导法则

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Presentation Transcript


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第四节 多元复合函数的求导法则

在本节中,我们把一元函数微分学中复合函数的求导法则推

广到多元复合函数的情况.下面按照多元复合函数不同的复合

情形,分三种情形讨论.

1.复合函数的中间变量均为一元函数的情形.

定理1.如果函数u=φ(t)及v=ψ(t)都在点t可导,函数z=f(u,v)在

对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f[φ(t), ψ(t)]在点t

可导,且有


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证明: 在区间I内任取一点t,设t取得增量△t后,t+△t∈I,由上

讲定理知,函数 z=f(u,v)在点(u,v)=(φ(t), ψ(t))处可微,故有

其中

除以△t,得到


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又因点t是区间I内任意取定的一点,因而复合函数在I内可导,

且(1)式成立.

公式(1)称为全导数公式,

称为全导数


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这个公式可以推广到复合函数的中间变量多于两个的情形,

例如设 z=f(u,v,w),u=φ(t),v=ψ(t),w=ω(t),复合而得到复合

函数

z=f[φ(t),ψ(t),ω(t)]则在与定理类似的条件下,这函数在

区间I内可导,且 其导数为

例1设z=uv (u>0,u≠1),而u=u(t),v=v(t)均可导,求


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对z=uv我们曾经用对数求导的方法

现在我们利用复合函数的求导,方法要简单.

例2 已知z=u2v2, u=asint,v=bcost, 求


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例3 设z=uv+sint, u=et, v=cost, 求

全导数实际上是复合一元函数的导数,在这里是借助偏导数来

求全导数.

2. 复合函数的中间变量均为多元函数 的情形


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与定理1类似,我们给出下列定理

定理2设 z=f(u,v),u=φ(x,y),v=ψ(x,y) 若z=f(u,v)具有连续偏

导数,u=φ(x,y)及v=ψ(x,y)都有对x及对y的偏导数,则复合二

元函数 z=f[u=φ(x,y),v=ψ(x,y) ] 的两个偏导数存在,且

这种复合函数的导数和全导数的情形没有本质区别,在求

时把y看作常量,由公式(1)


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不同的是,这里由于复合函数 z= f[u=φ(x,y),v=ψ(x,y) ] 及

u=φ(x,y),v=ψ(x,y) 实际上都是x,y的二元函数,因此要把(1)中

的导数记号换成偏导数记号.

类似地,设z=f(u,v,w)具有连续偏导数,而 u=φ(x,y),v=ψ(x,y),

w=ω(x,y) 都具有偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(x,y),ω(x,y)]

有对x,y的偏导数,且


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3.复合函数的中间变量即有一元函数,又有多元函数的情形

定理3. 如果函数u=φ(x,y)在点(x,y)具有对x及对y的偏导数,函

数v=ψ(y)在点y可导,函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导

数,则复合函数z=f[φ(x,y),ψ(y)]在点(x,y)的两个偏导数存在,且


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上述情形实际上是情形2的一种特例,即在情形2中,如变量

v与x无关

;在v对y求导时,由于v是y的一元函数,故

了.

从而

换成

就得到此结果

在情形3中,还会遇到这样的情形:复合函某些中间变量本身又是复合函数的自变量.例如,设z=f(u,x,y)具有连续偏

导数,而u=φ(x,y)具有偏导数,则复合函数z=f[φ(x,y),x,y]可看作情形2中当v=x,w=y的特殊情形,因此


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从而复合函数z=f[φ(x,y),x,y]具有对自变量x及y的偏导

数,且由公式(5),(6)得到

是把复合函数

是不同的,

注意:这里

z=f[φ(x,y),x,y]

中的y看作不变而对x的偏导数,

是把f(u,x,y)中的u,y

看作不变而对x的偏导数,

也有类似的区别


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x

z---u

y

结合上面的情形,我们可知道多元复合函数的求导法则可

有下面几种情形


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x

u

z

x

x

y

z

u

v

w


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x

y

u

v

x

z

是复合函数

是不同的,

这里应该注意,(*)式中的

对自变量x求偏导数;而

是函数f(u,v,x)对其第三变元(相当于中间变量,即把u,v,x看

成相互独立的变量,u,v在这里不是x的函数)x求偏导数,二者一

般不相同.


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x

y

u

v

x

z

上面的计算公式不必刻意去记,但要彻底理解.注意到以下

几点有助于理解并写出上述公式,并在解题中自如地应用.

(1)用图示法表示出函数的复合关系. 如


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(2)函数对某自变量的偏导数之结构

1).项数=中间变量个数 (u,v,x)3个→三项.

2).每一项=函数对中间变量的偏导数×该中间变量对其指

定自变量的偏导数

(3)一般情况,函数z对中间变量u,v,w的偏导数

仍然是以u,v,w为中间变量,x,y为自变量的复合函数,对

它们求偏导数时须重复使用复合函数求导法.

(4)对于抽象函数在求偏导数时,一定要设中间变量.例如


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例4 设z=arctgv, u=cos(xy),v=x+y, 求

u

x

z

v

y


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例5 设z=f(u,x,y) 具有连续偏导数,而u=φ(x,y) 具有偏导数,

求复合函数z=f(φ(x,y) ,x,y] 对x及y的偏导数

.


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是f[φ(x,y) ,x,y]

中的y看作常量,而对自变量x求偏导数; 是把f(u,x,y)中

的u,y看作常量而对中二者也是不同的.间变量x求偏导数

另外

也有类似的区别.

注意:这里

例6 设

分析:若直接引入中间变量设

根据规则,得到


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是不同的

注意:这里

是把f[φ(x,y) ,x,y] 中的y看作常量,而对自变量x求偏导数;

是把f(u,x,y)中的u,y看作常量而对中.间变量x求偏导数

也有类似的区别.

另外

例6 设


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这样做使得函数关系复杂化,而先用乘法公式,再用复合函数求

偏导数公式可使问题简单化.

解答 先用乘法公式

然后对[f(x2-y2,xy)]’x用复合函数求偏导数公式,设u=x2 -y2,

v=xy


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例7 设z=f(y,xy),其中f具有二阶连续偏导数,求


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例7 设z=f(y,xy),其中f具有二阶连续偏导数,求


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三. 多元复合函数的全微分

设z=f(u,v),u=φ(x,y), v=ψ(x,y),则z通过中间变量u,v是x,y的函

数,若f,φ,ψ都可微,则由全微分公式,有


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由(1),(2)知,不论u,v是自变量还是中间变量,(2)式总是成立,这

个性质叫全微分形式的不变性.多元函数具有一阶微分形式

的不变性.它是一元函数相应性质的推广.利用这一性质可以

证明公式或计算导数与微分,特别当函数结构复杂时,更方便.

例8 利用全微分形式的不变性,求函数w=f(xy,yz,zx)的全微分

和偏导数.


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