Teoría de Grafos

1. Teoría de Grafos

2. Índice: 1. Introducción 2. Conceptos matemáticos con ejemplos 3. Explicación del modelo ilustrada con un ejemplo

3. Introducción : El primer ejemplo de trabajo con grafos fue este trabajo que surgió para resolver un problema en la ciudad de Königsberg (Rusia). La ciudad estaba dividida en cuatro partes por dos brazos del río Pregel estando conectadas por siete puentes. La pregunta que se hizo L. Euler fue: ¿Es posible recorrer los siete puentes pasando por todos ellos una única vez, partiendo y llegando al mismo sitio?

4. Conceptos matemáticos : Grafo. Informalmente, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto.

5. Tipos: Grafo simple: Multigrafo: Pseudografo: Grafo dirigido:

6. Terminología: Etiquetado. Distinción que se hace a los vértices y/o aristas mediante una marca que los hace unívocamente distinguibles del resto, es decir, asignarle a cada vértice o arista un nombre. Adyacencia. Se dice que dos vértices son adyacentes si hay una arista que los conecte entre ellos. Grado de un vértice. El grado de un vértice es un número natural de 0 al infinito que designa el número de aristas le conectan con otros vértices.

7. Incidencia. Una arista es incidente a un vértice si ésta lo une a otro. Ponderación. Corresponde a una función que a cada arista le asocia un valor (costo, peso, longitud, etc.), para aumentar la expresividad del modelo. Camino. Un camino es una secuencia de aristas que comienzan en un vértice del grafo y recorren parte o la totalidad del grafo conectando vértices adyacentes.

8. Circuito. Cuando existe un camino que empieza y acaba en el mismo vértice. Isomorfismo. Si dos grafos son isomorfos sólo varía la apariencia, es decir, que se mantienen las adyacencias, estructura, caminos, ciclos, número de vértices y número de aristas. Conexo. Un grafo es conexo si tiene una única componente conexa, es decir, todos los vértices del grafo están relacionados.

9. Grafo original Grafo complementario Familias de grafos simples: Grafo regular: Grafo completo: Grafo complementario: Grafo bipartito: Grafo bipartito completo:

10. Árboles: Un árbol es un grafo conexo y sin ciclos o lazos, es decir, un grafo simple.

11. Terminología: Bosque. Un árbol es considerado un bosque si sus componentes conexas son árboles. Árbol generador. Un árbol generador de un grafo conexo es un subgrafo conexo con el menor número posible de aristas y con todos los vértices del grafo original. No tiene porque ser único. Árbol generador mínimo. El árbol generador mínimo es un árbol generador construido sobre un grafo conexo ponderado con un criterio de selección de aristas definido por su menor peso.

12. Raíz. Un árbol con raíz es un árbol en el que uno de sus vértices ha sido designado como la raíz y todas las aristas están colocadas alejándose de dicha raíz. Padre. Se considera padre de un vértice al vértice adyacente superior. Hijo. Se consideran hijos de un vértice a todos los vértices comunicados por una arista y adyacentes. Hoja. Son los vértices que no tienen hijos.

13. Explicación del modelo: Para indexar los sitios de la red de Internet, buscadores como Google, Yahoo y Bing exploran sistemáticamente la Red comenzando en sitios conocidos. Estos buscadores utilizar los contenidos. Las arañas web(crawler) utilizan tanto la búsqueda en anchura como en profundidad para crear índices.

14. Araña web Una araña web (o araña de la web) es un programa que inspecciona las páginas del WorldWide Web de forma metódica y automatizada. Uno de los usos más frecuentes que se les da consiste en crear una copia de todas las páginas web visitadas para su procesado posterior por un motor de búsqueda que indexa las páginas proporcionando un sistema de búsquedas rápido. Las arañas web suelen ser bots (el tipo más usado de éstos).

15. a b c d f g e h j k i l Ejemplo de búsqueda en profundidadpartiendo del siguiente grafo explicaremos una búsqueda en profundidad: Elegimos empezar por el vértice a para mantener un orden alfabético, podría empezarse por cualquier vértice del árbol en este caso, en otro árbol en el que la raíz fuera más clara debería ser el vértice raíz el primero.

16. a b c f g e Siguiendo las aristas dirigidas de a nos encontramos con los siguientes caminos: 1) (a,b,c,g) y (a,b,f,e) lo que nos da como resultado el siguiente árbol: De a la arista dirigida nos lleva a b, de b, tenemos dos caminos, escogemos primero por orden alfabético ir a c y de este vértice a g; como no tenemos más caminos, volvemos a b y continuamos de b a f y de f a e. Nuevamente no tenemos por donde seguir. Esta parte está completa.

17. d j h l k j Ahora elegimos el vértice d, nuevamente por orden alfabético para continuar nuestra búsqueda. El camino resultante es (d,h,l,k,j). Esta vez es mucho más sencillo encontrar el camino, de d a h, de h a l, de l a k y de k a j. El único vértice no recogido por nuestros dos árboles es i, para este resultado de una búsqueda los árboles son los mostrados; una búsqueda que comenzara en otro vértice daría lugar a otros árboles.