1 / 31

統計學

統計學. 郭信霖 許淑卿. 第六章 常用之機率分配. ■ 6-1 間斷機率分配 ■ 6-2 連續機率分配 --- 常態分配 ■ 6-3 分配間之關係 ■ 6-4 電腦範例 ■ 6-5 流程圖. 介紹幾種常用的機率分配： 間斷機率分配有：　　　　　連續機率分配有：. 間斷均等分配　　　　 ■常態分配 伯努利分配、二項分配 超幾何分配 卜氏分配. 6-1 間斷機率分配（ Discrete Probability distribution ）. 一、間斷均等分配（ discrete Uniform distribution ）

keegan-rice
Download Presentation

統計學

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 統計學 郭信霖 許淑卿

  2. 第六章 常用之機率分配 ■ 6-1間斷機率分配 ■ 6-2 連續機率分配---常態分配 ■ 6-3分配間之關係 ■ 6-4電腦範例 ■ 6-5流程圖

  3. 介紹幾種常用的機率分配： 間斷機率分配有：　　　　　連續機率分配有： 間斷均等分配　　　　 ■常態分配 伯努利分配、二項分配 超幾何分配 卜氏分配

  4. 6-1 間斷機率分配（DiscreteProbability distribution） 一、間斷均等分配（discrete Uniform distribution） 1. 定義： 一間斷隨機變數X，其機率函數如下： f (x) = ，x = 1, 2, …, n 以X～U(n)表之，其中n為母數（或參數）。 2. 特徵數 (1) E(X ) = (2) Var(X ) =

  5. 二、伯努利分配（Bernoulli distribution） 1. 伯努利實驗： (1)僅為一次試驗。 (2)一隨機實驗只有兩種可能的結果，其中一種為成功，另一種為失敗。 以X = 1表成功事件發生，發生機率為p，即p = P(X = 1)； 以X = 0表失敗事件發生，發生機率為q= 1– p，即q = P(X = 0)。

  6. 2. 定義： 一間斷隨機變數X，其機率函數如下：f (x) = px q1-x，x = 0, 1 以X～B(1, p)表之，其中p為母數。 3. 特徵數： (1) E(X ) = p (2)Var(X ) = pq

  7. 三、二項分配（Binomial distribution） 1. 二項實驗： (1) 重覆伯努利實驗n次所得之結果，即為二項實驗。 (2) 每次隨機實驗只有兩種可能的結果，一種為成功，另 一種為失敗。 (3) 每次伯努利實驗互為獨立。 (4) 每次實驗出現成功事件發生機率固定為p。 2. 定義： 一間斷隨機變數X，其機率函數如下： f (x) = C pxqn-x，x = 0, 1, 2, …, n 以X～B(n, p)表之，其中n，p為母數。

  8. 3. 特徵數： (1) E(X ) = np (2) Var(X ) = npq 4. 性質 (1) 若 Xi～B(1, p)，i = 1, 2, …, n，則 X = X1 + X2 + … + Xn～ B(n, p)。 (2) 相加性若X1～B(m, p)，X2～B(n, p)，X1X2，則X1 + X2～ B(m + n, p)；欲求得二項分配之機率值，可由附表A.2中求得。

  9. 四、超幾何分配（Hypergeometric distribution） 1. 超幾何實驗： (1) 由一個含有N個個體的有限母體中，以不放回方式隨 機抽取n個個體為樣本。 (2) 母體內N個個體分為「成功類」K個，「失敗類」N - K個。 (3) 每次試行並非獨立。 (4) 樣本中成功次數以x表之，失敗次數為n - x。 (5) 每次成功機率不等，圖示如下：

  10. 圖6-1

  11. 2.定義： 一間斷隨機變數X，其機率函數如下： f (x) = ，x = max{0, n - (N - K )} ,…, min{n, K} 以X～H(N，n，K )表之，其中N，n，K為母數。 3.特徵數： (1) E(X ) = n  (2) Var(X) = n   ，其中 ，稱為有限母體校正因子。

  12. 五、卜氏分配（Poisson distribution） 1. 卜氏實驗： (1)在某特定時間或特定區域之平均成功次數 為已知。 (2)不管任何時間或區域，在某一段時間或特定區域內，事件發生機率均相同。 (3)在極短時間或很小區域超過一次成功的機率不予列計。 (4) 事件在各段時間或特定區域上之發生相互獨立。 (5)與所選擇的時間或區域之大小成正比。

  13. 2. 定義：一間斷隨機變數 X，其機率函數如下： f (x) = ，x = 0, 1, 2… 以X～P()表之，其中 為母數。 3. 特徵數： (1) E(X ) =  (2) Var(X ) =  4. 性質： 相加性：即若X～P(1)，Y～P(2)且X Y，則W = X + Y～P(1 + 2)

  14. 5. 適用範圍，舉例如下： (1)一週內工廠機器故障次數。 (2)一小時內打進電話的次數。 (3)一頁書內錯字的數目。 (4)一天內某超市進入的顧客人數。 (5)森林中一平方公里內動物的數目。

  15. 6-2 連續機率分配（Continuous probability distribution） 在十八世紀，De Moivre提出常態曲線之數學方程式，由於高斯亦於同時在對同一數量做重覆測量時，在測量誤差的研究上，亦導出此一方程式，故亦稱高斯分配（Gauss distribution）。 1. 定義： 一連續隨機變數X之平均數為，變異數為 2，其機率函數如下： f (x) = e ，-  < x < ，-  < < ，> 0 以X～N (, 2)表之，其中，2為母數。

  16. 2. 特徵數： (1) E(X ) = (2) Var(X ) = 2 3. 性質： (1)常態曲線以平均數 為對稱中心，且= = M。 (2)常態曲線左右雙尾與橫軸漸近，而以橫軸為漸近線。 (3)常態曲線有兩個反曲點，分別在 之處。 (4)常態曲線之峰態為常態峰，即 k = 3 。 (5)f (x)在x = 處有一極大值為f () = 。 (6)常態隨機變數之線性函數，仍為常態隨機變數。 (7)互相獨立之常態隨機變數之線性組合，其分配仍為常態 分配。

  17. (8) 不同常態分配之比較： 2相同，不同 圖6-2 1 < 2， = 

  18. 相同，2不同 圖6-3 1 = 2， < 

  19. 圖6-4 1 < 2， <  不同，2不同

  20. 常態曲線下之面積分別如下： • 表6-1 常態曲線下的面積

  21. 圖示於下：

  22. 若X～N (, 2)經標準化之後，即Z = ，則Z～N (0, 1)。

  23. 4. 標準常態分配（Standard Normal distribution）： • 標準化（normalized）： • 若X～N (, 2)， 則Z = ～N(0, 1) 且N(0, 1)稱為標準常態分配。 (2)定義： 設一連續隨機變數Z，其機率函數如下： f (z) = e ，- < z <  (3)特徵數：E(Z) = 0 Var(Z) = 1

  24. (4)性質： P(Z > 0) = P(Z < 0) = 0.5。 P(Z > a) = P(Z < - a)，a為任意實數。 P(Z > a) = 1 - P(Z < a)，a為任意實數。 P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)，其中a < b，a, b為任意實數。 若Xi～N(, 2)，i = 1, 2,…, n， 則 = ～ N ， 即 Z = ～ N (0, 1)

  25. 圖6-7

  26. 6-3 分配之間的關係 一、超幾何分配與二項分配之關係 若X～H(N, n, K )，當N→ ，則XB(n, p)，p = 。 一般而言，實務上，n/N  1/20，即可成立。 二、二項分配與卜氏分配、常態分配之關係 1.二項分配與卜氏分配 若X～B(n, p)，當n→ ，p很小，則XP()，= np。一般而言，n 100，p 0.01（或n 20，p 0.05），即可成立。

  27. 2.二項分配與常態分配 若X～B(n,p)，則E(X ) = np，Var(X ) = npq，當n→，p, q不十分小時，則X N(, 2)，= np，2 = npq。 即 Z = = ～N(0, 1) 實務上，只要np  5且nq  5即可成立或p→5亦可。 需做一連續性校正： P( a X b ) = P( a - 1/2 < X < b + 1/2 ) =P

  28. 三、卜氏分配與常態分配之關係 若X～P()，= np，當n→，則X N(, 2)，= np，2 = np； 即 Z = = ～N(0, 1) 一般而言，實務上，n > 500，即可成立

  29. 四、圖示 1.各分配理論上要求之條件： 圖6-8 分配關係圖

  30. 2. 各分配實務上要求之條件： 圖6-9 分配關係圖

  31. 6-31

More Related