Magnetostatica 2 15 ottobre 2012
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Magnetostatica 2 15 ottobre 2012. Legge di Biot-Savart Prima formula di Laplace Campo B di una carica in moto Forza magnetica tra due cariche in moto Forza tra due correnti, definizione di ampere Circuitazione di B Legge di Ampère. Legge di Biot-Savart.

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Presentation Transcript


Magnetostatica 2 15 ottobre 2012

Magnetostatica 215 ottobre 2012

Legge di Biot-Savart

Prima formula di Laplace

Campo B di una carica in moto

Forza magnetica tra due cariche in moto

Forza tra due correnti, definizione di ampere

Circuitazione di B

Legge di Ampère


Legge di biot savart

Legge di Biot-Savart

  • Il campo B generato da un filo rettilineo molto lungo

  • Ha solo componente azimutale

  • k è anche espressa mediante la permeabilità magnetica del vuoto


Forza tra due correnti

Forza tra due correnti

1

2

  • Scoperta da Ampère subito dopo l’esperienza di Oersted

  • Limitiamoci al caso di fili paralleli

  • Filo 1 indefinito, genera un campo

  • Filo 2 risente di una forza (attrattiva o repulsiva a seconda del verso relativo delle correnti)

  • Il modulo questa forza vale

  • Formula che sta alla base della definizione di ampere: e` la corrente costante che produce una forza di 2 × 10–7 newton per metro di lunghezza tra due fili rettilinei paralleli a distanza di un metro


Prima formula di laplace

Prima formula di Laplace

  • Dalla legge di Biot-Savart, Laplace propose una formula valida per un circuito di forma arbitraria

  • Esercizi sulla formula di Laplace. Calcolo di B

    • Attorno ad un filo indefinito

    • Sull’asse di una spira circolare

    • Sull’asse di un solenoide


Campo b generato da una carica in moto

Campo B generato da una carica in moto

  • Partiamo dalla 1° f. di Laplace, applicata ad un elemento infinitesimo di un circuito qualunque

  • Riscriviamo il prodotto tra corrente ed elemento di lunghezza

  • Dividiamo l’elemento di campo induzione magnetica per il numero di elettroni, troviamo cosi’ il vettore b generato da un singolo elettrone:


Campo b generato da una carica in moto1

Campo B generato da una carica in moto

  • Carica puntiforme q in moto con velocità v

  • Il modulo di B è proporzionale alla carica q, alla velocità v, al seno dell’angolo tra v e r

  • È inversamente proporzionale al quadrato della distanza r

  • La direzione di B è perpendicolare sia a v che a r

  • Il verso è dato dalla regola della mano destra

r

v

B


Forza magnetica tra due cariche in moto

Forza magnetica tra due cariche in moto

  • Si trova usando l’espressione precedente per B e la forza di Lorentz

  • Analogamente per la forza sulla carica 2 dovuta alla carica 1

F2(1)

v1

v2

r12

F1(2)

B1

B2


Circuitazione del campo b

Circuitazione del campo B

  • Esaminiamola nel caso particolare del campo generato da un filo indefinito

  • Usiamo coordinate cilindriche

  • Se C è una circonferenza e il filo è perpendicolare al piano del cerchio e passa per il suo centro

  • Consideriamo positiva la corrente se ha lo stesso verso del versore normale al cerchio che appoggia su C

  • In tal caso B ha lo stesso verso di dl e la circuitazione e` positiva

i

n

C


Circuitazione del campo b1

Circuitazione del campo B

  • Se si cambia il verso della corrente il 2° membro cambia segno

  • Anche il primo membro cambia segno perché B assume verso opposto

  • Quindi la formula trovata e` valida qualunque sia il verso della corrente,

  • Se si percorre il circuito in verso opposto a quello associato al versore normale, la circuitazione cambia segno

i

n


Circuitazione del campo b2

Circuitazione del campo B

  • Sia l’integrando che l’integrale non dipendono da r

  • Se ora C è una curva arbitraria (concatenata al filo)

  • E di nuovo otteniamo

C


Circuitazione del campo b3

C

Circuitazione del campo B

  • Se la curva C fa n giri attorno al filo la circuitazione è

  • Se la curva è concatenata a più fili la circuitazione totale è la somma delle circuitazioni dei campi B relativi a ciascun filo


Circuitazione del campo b4

Circuitazione del campo B

  • Sia ora C una curva arbitraria non concatenata al filo, percorsa in senso orario

  • Scegliamo due punti P e Q sulla curva, suddividendola in due curve C1 e C2

  • Tracciamo una curva D da P a Q di modo che (percorsa in senso orario) e (percorsa in senso antiorario) siano concatenate con il filo

  • Le due circuitazioni nel membro di destra sono uguali in modulo e di segno opposto, quindi la circuitazione lungo C è nulla

P

D

C1

C2

Q


Legge di amp re

Legge di Ampère

  • Questi risultati possono essere estesi a campi magnetici arbitrari e vari conduttori

  • Proprietà generale del campo induzione magnetica: legge di Ampère

  • Per curve avvolte n volte l’integrale è n volte maggiore

  • Per curve non concatenate la circuitazione è nulla

  • È la 4° equazione dell’em, è stata in seguito completata da Maxwell


Forma differenziale della legge di amp re

Forma differenziale della legge di Ampère

  • Applichiamo il teorema di Stokes alla circuitazione del campo B e riscriviamo la corrente come il flusso della densita` di corrente:

  • Data l’arbitrarieta` della superficie S, ne segue che


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