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Magnetostatica 2 15 ottobre 2012

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Magnetostatica 2 15 ottobre 2012. Legge di Biot-Savart Prima formula di Laplace Campo B di una carica in moto Forza magnetica tra due cariche in moto Forza tra due correnti, definizione di ampere Circuitazione di B Legge di Ampère. Legge di Biot-Savart.

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magnetostatica 2 15 ottobre 2012

Magnetostatica 215 ottobre 2012

Legge di Biot-Savart

Prima formula di Laplace

Campo B di una carica in moto

Forza magnetica tra due cariche in moto

Forza tra due correnti, definizione di ampere

Circuitazione di B

Legge di Ampère

legge di biot savart
Legge di Biot-Savart
  • Il campo B generato da un filo rettilineo molto lungo
  • Ha solo componente azimutale
  • k è anche espressa mediante la permeabilità magnetica del vuoto
forza tra due correnti
Forza tra due correnti

1

2

  • Scoperta da Ampère subito dopo l’esperienza di Oersted
  • Limitiamoci al caso di fili paralleli
  • Filo 1 indefinito, genera un campo
  • Filo 2 risente di una forza (attrattiva o repulsiva a seconda del verso relativo delle correnti)
  • Il modulo questa forza vale
  • Formula che sta alla base della definizione di ampere: e` la corrente costante che produce una forza di 2 × 10–7 newton per metro di lunghezza tra due fili rettilinei paralleli a distanza di un metro
prima formula di laplace
Prima formula di Laplace
  • Dalla legge di Biot-Savart, Laplace propose una formula valida per un circuito di forma arbitraria
  • Esercizi sulla formula di Laplace. Calcolo di B
    • Attorno ad un filo indefinito
    • Sull’asse di una spira circolare
    • Sull’asse di un solenoide
campo b generato da una carica in moto
Campo B generato da una carica in moto
  • Partiamo dalla 1° f. di Laplace, applicata ad un elemento infinitesimo di un circuito qualunque
  • Riscriviamo il prodotto tra corrente ed elemento di lunghezza
  • Dividiamo l’elemento di campo induzione magnetica per il numero di elettroni, troviamo cosi’ il vettore b generato da un singolo elettrone:
campo b generato da una carica in moto1
Campo B generato da una carica in moto
  • Carica puntiforme q in moto con velocità v
  • Il modulo di B è proporzionale alla carica q, alla velocità v, al seno dell’angolo tra v e r
  • È inversamente proporzionale al quadrato della distanza r
  • La direzione di B è perpendicolare sia a v che a r
  • Il verso è dato dalla regola della mano destra

r

v

B

forza magnetica tra due cariche in moto
Forza magnetica tra due cariche in moto
  • Si trova usando l’espressione precedente per B e la forza di Lorentz
  • Analogamente per la forza sulla carica 2 dovuta alla carica 1

F2(1)

v1

v2

r12

F1(2)

B1

B2

circuitazione del campo b
Circuitazione del campo B
  • Esaminiamola nel caso particolare del campo generato da un filo indefinito
  • Usiamo coordinate cilindriche
  • Se C è una circonferenza e il filo è perpendicolare al piano del cerchio e passa per il suo centro
  • Consideriamo positiva la corrente se ha lo stesso verso del versore normale al cerchio che appoggia su C
  • In tal caso B ha lo stesso verso di dl e la circuitazione e` positiva

i

n

C

circuitazione del campo b1
Circuitazione del campo B
  • Se si cambia il verso della corrente il 2° membro cambia segno
  • Anche il primo membro cambia segno perché B assume verso opposto
  • Quindi la formula trovata e` valida qualunque sia il verso della corrente,
  • Se si percorre il circuito in verso opposto a quello associato al versore normale, la circuitazione cambia segno

i

n

circuitazione del campo b2
Circuitazione del campo B
  • Sia l’integrando che l’integrale non dipendono da r
  • Se ora C è una curva arbitraria (concatenata al filo)
  • E di nuovo otteniamo

C

circuitazione del campo b3

C

Circuitazione del campo B
  • Se la curva C fa n giri attorno al filo la circuitazione è
  • Se la curva è concatenata a più fili la circuitazione totale è la somma delle circuitazioni dei campi B relativi a ciascun filo
circuitazione del campo b4
Circuitazione del campo B
  • Sia ora C una curva arbitraria non concatenata al filo, percorsa in senso orario
  • Scegliamo due punti P e Q sulla curva, suddividendola in due curve C1 e C2
  • Tracciamo una curva D da P a Q di modo che (percorsa in senso orario) e (percorsa in senso antiorario) siano concatenate con il filo
  • Le due circuitazioni nel membro di destra sono uguali in modulo e di segno opposto, quindi la circuitazione lungo C è nulla

P

D

C1

C2

Q

legge di amp re
Legge di Ampère
  • Questi risultati possono essere estesi a campi magnetici arbitrari e vari conduttori
  • Proprietà generale del campo induzione magnetica: legge di Ampère
  • Per curve avvolte n volte l’integrale è n volte maggiore
  • Per curve non concatenate la circuitazione è nulla
  • È la 4° equazione dell’em, è stata in seguito completata da Maxwell
forma differenziale della legge di amp re
Forma differenziale della legge di Ampère
  • Applichiamo il teorema di Stokes alla circuitazione del campo B e riscriviamo la corrente come il flusso della densita` di corrente:
  • Data l’arbitrarieta` della superficie S, ne segue che
ad