经济数学基础（线性代数）

经济数学基础（线性代数） 新疆阿克苏电大郭海英 2007.6.23

通过学完本课程，您将可以： 初步熟悉矩阵代数于实际的基本方法，培养自己的抽象思维、逻辑推理以及运算能力。掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法和转置等运算. 理解线性方程组有解判定定理，熟练掌握线性方程组解的情况判定. 课程目标

课程内容 第一章矩阵第二章线性代数

第一章矩阵

1 2 3 4 5 第一章矩阵矩阵的概念矩阵的运算特殊矩阵可逆矩阵矩阵的秩

矩阵的概念 • 矩阵一般用大写英文字母表示：如A、B、C等 • 横向称行，竖向称列. • A——3×4矩阵每一个位置上的数都是A的元素，如1是A的第2行第2列的元素，记为： • 5是A的第1行第4列的元素，记为： • 矩阵定义请看教材第2章定义2.1.

矩阵的概念 • 特别地，当m＝1时，矩阵只有一行，即 • 称为行矩阵；当n＝1时，矩阵只有一列，即 • 称为列矩阵；当m＝n时，矩阵的行列数相同，即称为n阶矩阵（或n阶方阵）在n阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线. 行列数相同的矩阵称为同型矩阵.

否. 同型矩阵是指两矩阵的行、列数分别相同，行矩阵是1×n矩阵，列矩阵是m×1矩阵的，当m，n 1时，不是同型矩阵，只有当 m＝n＝1时为同型矩阵矩阵的概念 • 问题：行矩阵和列矩阵是否为同型矩阵？ .

矩阵的运算 • (数对矩阵的分配律) • (矩阵的左分配律) • (矩阵的右分配律) 加法运算性质性质1(交换律) 性质2(分配律) 矩阵，记为且乘法运算性质

矩阵的转置 设第一列处，的转置矩阵. 将第一行元素写在 · · 第二行元素写在第二列处，这样就可得到转置矩阵的性质 · = 矩阵的运算 ·

矩阵的运算 • 数乘矩阵所满足的算律设A，B为任意m×n， k, h为任意实数，可以验证数与矩阵的乘法满足：（1）k (A+B)=k A+ k B （2）(k+ h)= k A+ h A （3）(k h)A=k(h A) （4）1A=A,(-1）A=-A

设则A-B=? 矩阵的运算

特殊矩阵

特殊矩阵 • 问题：设矩阵A既为上三角矩阵又为下三角矩阵，则A是什么矩阵？是对角矩阵. 因为A是上三角矩阵，即有主对角线以下的元素都为零，且又为下三角矩阵，则有主对角线以上的元素都为零，说明矩阵A的非零元素只能在主对角线上，即矩阵A是对角矩阵.

可逆矩阵

A是不可逆的 可逆矩阵

可逆矩阵

矩阵的秩

零矩阵的秩为多少？ 矩阵的秩 0. 因为零矩阵的所有子式都为0，所以，我们规定零矩阵的秩为0.

矩阵练习 • 重点分析：对于矩阵的乘法尤其要注意它们可进行的条件以及它与数的乘法在运算规律上的不同,即矩阵的乘法不一定满足交换律,亦即一般在ＡＢ≠ＢＡ.关于ＡＢ≠ＢＡ的各种情形我们将通过下面的例题具体说明.

矩阵练习 • 讨论以下给出各组矩阵Ａ,Ｂ的乘法运算ＡＢ,ＢＡ及ＡＢ与ＢＡ的关系. 例1：解:按照矩阵的乘法规则来讨论 • Ａ２×２,Ｂ２×１故ＡＢ存在但ＢＡ无意义(即Ｂ与Ａ不能左右顺序相乘);

矩阵练习 例2：解:按照矩阵的乘法规则来讨论Ａ２×２,Ｂ２×１故ＡＢ存在, 又Ｂ２×１,Ａ１×２故ＢＡ也存在, 显见ＢＡ与ＡＢ不同型,所以ＡＢ≠ＢＡ.

矩阵练习 例3：解:按照矩阵的乘法规则来讨论 • Ａ２×２,Ｂ２×２故ＡＢ,ＢＡ均存在,且阶数相同,但

矩阵练习 例4： • Ａ２×２,Ｂ２×２故ＡＢ,ＢＡ均存在,且阶数相同,又可见矩阵Ａ,Ｂ是可交换的,这是特殊情形

矩阵练习 • 通过本例(１)~(４),对矩阵乘法我们知道 • 不是任意两个矩阵都可以相乘的(如例(１)中的ＢＡ无意义).只有当左矩阵Ａ的列数等于右矩阵Ｂ的行数时,两个矩阵ＡＢ才能左右相乘,即 • Ａs×n,Ｂn×m=Ｃs×m • 乘积矩阵Ｃ具有左矩阵Ａ的行数s,右矩阵Ｂ的列数m,Ｃ矩阵的元素Ｃij是Ａ的第i行与Ｂ的第j列对应元素相乘的代数和. • 矩阵乘法不满足交换律 • Ａs×n,Ｂn×m=Ｃs×m而当m≠s时,Ｂn×mＡs×n无意义(例(１)) • 即便是m=s时,Ｂn×mＡm×n=Dn×n存在,但只要此时m≠n,也有 • Ａm×nＢn×m=Ｃm×m≠Dn×n(因为它们不同型,如例(２));

设例5：，矩阵练习问:运算AB，AC，BA，BC，CA，CB，AA，BB，CC能否进？若能进行则计算之。，

矩阵练习 解：矩阵的乘法是本章重点之一。矩阵相乘的条件和相乘的规则是判断两个矩阵能否相乘和如何相乘的关键. 按矩阵乘法的定义,仅当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时,这两个矩阵左右才能相乘,否则不能相乘.由此我们从A=A3×3,B=2×4,C=C4×3,知:AB,AC,BA,CB,BB,CC是不存在的,而BC,CA,AA则是存在的. 按照矩阵相乘的定义，当左右两矩阵相乘可以进行时，具体运算规则是：用左矩阵的每一行（第i行）的元素去依次乘以右矩阵的第一列（第j列）的对应元素，例如本例：

矩阵练习 ， • 由本例可知： • 并不是任意两个矩阵都能相乘的。如AB，BA等不存在； • 即使某一顺序的相乘存在，交换相乘顺序后的运算也有可能不存在，如BC，CA存在，但CB，AC不存在。 • 并不是任意一个矩阵都可以自身相乘的，如BB，CC不存在；仅当这一矩阵为方阵时方可自乘，如AA存在，亦即方阵才有乘方运算矩阵相乘的结果仍为一矩阵，并且这一乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数.

矩阵小结 通过本章的学习，我们： 1.理解了矩阵、可逆矩阵和矩阵秩的概念. 2.掌握了矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法和转置等运算. 3.熟练掌握了求矩阵的秩，逆矩阵. 4.知道了特殊矩阵的几种类型。

课程内容 第一章矩阵第二章线性代数

第二章线性方程组

1 2 3 4 第二章线性方程组线性方程组的表达消元法齐次方程组非齐次方程组

线性方程组的表达

线性方程组的表达 • 问题：若一个线性方程组中某些未知量的系数是0，那么增广矩阵如何填写该位置的元素？ ? 填写0

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