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要点梳理 1. 正、余弦定理及相关知识. §3.6 解三角形. 基础知识 自主学习. b 2 + c 2 -2 bc cos A. a 2 + c 2 -2 ac cos B. a 2 + b 2 -2 ab cos C. 2 R sin A. 2 R sin B. 2 R sin C. sin A ∶ sin B ∶sin C. 2. 解三角形时的常用关系式 (1) 三角形中任意两边之和大于第三边 , 任意两边之 差小于第三边 ; (2) 三角形中大边对大角 , 小边对小角 ;
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要点梳理 1.正、余弦定理及相关知识 §3.6解三角形 基础知识 自主学习 b2+c2-2bccos A a2+c2-2accos B a2+b2-2abcos C
2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C sin A∶ sin B∶sin C
2.解三角形时的常用关系式 (1)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之 差小于第三边; (2)三角形中大边对大角,小边对小角; (3)正弦定理 (其中R是 △ABC 外接圆的半径); (4)勾股定理c2=a2+b2(其中c为直角三角形的斜边长);
(5)在△ABC中, ①A+B+C=π,A+B=π-C, ②sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C. tan(A+B)=-tan C. ③ 3.解斜三角形的类型 (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角, 进而求得其他边、角; (3)已知三边,求三个角; (4)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.
在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下: 若A为锐角,a<bsin A时,无解; A为钝角或直角,a≤b时,无解. 说明
4.判断三角形的形状 在判断三角形的形状时,一般将已知条件中的边角 关系利用正弦定理或余弦定理转化为角角的关系或 边边的关系,再用三角变换或代数式的恒等变形(如 因式分解、配方等)求解. 在上面恒等变形中,等式两边的公因式不要 约掉,要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状 的可能. 注意
5.仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内 的水平视线和目标视线的夹角, 目标视线在水平视线上方时叫 仰角,目标视线在水平视线下方 时叫俯角.(如图所示) 6.方位角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角,如 方位角45°,是指北偏东45°,即东北方向. 7.坡角 坡面与水平面的夹角.
8.坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比,即i= =tan α (i 为坡比,α为坡角)(如图所示). 9.解三角形的一般步骤 (1)分析题意,准确理解题意. 分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词、 术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等. (2)根据题意画出示意图.
(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中， 通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正 确求解.演算过程中，要算法简炼，计算正确,并 作答. (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行 取舍. 10.解斜三角形实际应用举例 (1)常见几种题型 测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、 计算面积问题、航海问题、物理问题等.
(2)解题时需注意的几个问题 ①要注意仰角、俯角、方位角等名词,并能准确地 找出这些角; ②要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定 理结合起来,发现题目中的隐含条件,才能顺利解决. 11.△ABC的面积公式 (1)S= a·ha(ha表示a边上的高); (2)S= = = = (R为外接圆半径) (3)S= r(a+b+c)(r为内切圆半径).
基础自测 1.(2008·北京)已知△ABC中,a= ,b= ,B=60°, 那么角A等于_____. 解析 由正弦定理 所以A<B,所以A=45°. 45°
2.(2008·福建)在△ABC中,角A、B、C的对边分别 为a、b、c,若(a2+c2-b2)tan B= ac,则角B的值为 __________. 解析
3.在△ABC中,BC=2,B= 若△ABC的面积为 则tan C=______. 解析 由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos B, ∴AC= , ∴△ABC为直角三角形,其中A为直角,
4.如图所示,客轮以速度2v由A至B再到 C匀速航行,货轮从AC的中点D出发, 以速度v沿直线匀速航行,将货物送 达客轮.已知AB⊥BC,且AB=BC=50海里.若两船同 时起航出发,则两船相遇之处距C点_______海里. (结果精确到小数点后1位). 解析 如图所示,设两船经过时间t 在E处相遇且CE=s则DE=vt ① 又2vt=50+(50-s)=100-s ② 联立①②解得s≈40.8(海里). 40.8
【例1】(1)根据下列条件,求△ABC: ①已知b=4,c=8,B=30°,求C、A、a; ②已知B=30°,b= ,c=2,求A、C、a; ③已知b=6,c=9,B=45°,求C、a、A. (2)在△ABC中,已知sin A= ,sin A+cos A<0, a= ,b=5,求c. 主要是根据条件寻找合适的定理去求解,利 用正弦定理要注意解的个数. 典型例题 深度剖析 分析
解(1)①由正弦定理得 又∵30°<C<150°,∴C=90°. ∴A=180°-(B+C)=60°, ②由正弦定理得 ∵c>b,30°<C<150°,∴C=45°或C=135°. 当C=45°时,A=105°, 当C=135°时,A=15°, ③ ∴此题无解.
(2)∵sin A+cos A<0,且sin A= 又∵a= b=5, ∴由a2=b2+c2-2bccos A,得 即c2+8c-20=0, 解得c=2或c=-10(舍去), ∴c=2.
跟踪练习1 (1)已知下列各三角形中的两边及其一边 的对角,先判断三角形是否有解？有解的作出解答. ①a=7,b=8,A=105°; ②a=10,b=20,A=80°; ③b=10,c= C=60°; ④a= b=6,A=30°. (2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已 知a=2,c=3,cos B= ①求b的值; ②求sin C的值.
解(1)①a=7,b=8,a<b,A=105°>90°,∴本题无解. ②a=10,b=20,a<b,A=80°<90° ∵bsin A=20·sin 80°>20·sin 60°= ∴a<b·sin A,∴本题无解. ③b=10,c= b<c,C=60°<90°,本题有一解. ∴B=45°,A=180°-(B+C)=75°
④a= b=6,a<b,A=30°<90° 又∵bsin A=6sin 30°=3,a>bsin A,∴本题有两解. 由正弦定理得 B=60°或120°. 当B=60°时,C=90°, 当B=120°时,C=30°, ∴B=60°,C=90°,c= 或B=120°,C=30°,c= (2)①由余弦定理b2=a2+c2-2accos B, 得b2=22+32-2×2×3× =10,∴b=
②方法一 由余弦定理,得 ∵C是△ABC的内角, 方法二 ∵cos B= 且B是△ABC的内角, 根据正弦定理 得
【例2】在△ABC中，若 试判断三角形的 形状. 主要就是切化弦,用正弦定理将边化为角进 行三角恒等变换或利用余弦定理将角化为边进行代 数恒等变形. 解 方法一 分析
∴sin Acos A=sin Bcos B, 即sin 2A=sin 2B. 又∵0<2A<2π,0<2B<2π, ∴2A=2B或2A+2B=π, 即A=B或A+B= ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 方法二
由余弦定理得 ∴b2(a2+c2-b2)=a2(b2+c2-a2), ∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, ∴a=b或c2=a2+b2, ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
跟踪练习2 在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角 A、B、C的对边,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)· sin(A+B),判断三角形的形状. 解 方法一 已知等式可化为 a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)] ∴2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A 由正弦定理得sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A ∴sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0 ∴sin 2A=sin 2B,
又∵0<2A<2π,0<2B<2π 得2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= 即△ABC为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得 2a2cos Asin B=2b2sin Acos B 由正余弦定理,即得 ∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 ∴a=b或a2+b2=c2 ∴△ABC为等腰或直角三角形.
【例3】在△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对 边,且 (1)求角B的大小; (2)若b= a+c=4,求△ABC的面积. 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、两 角和的三角函数等基础知识,和利用三角公式进行 恒等变形的技能,考查运算能力和逻辑思维能力. 分析
解(1)方法一 由正弦定理 得a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 即2sin Acos B+sin Ccos B+cos Csin B=0, 2sin Acos B+sin(B+C)=0. ∵A+B+C=π, ∴sin(B+C)=sin A, ∴2sin Acos B+sin A=0. ∵sin A≠0,∴cos B= 又B为三角形的内角,故B=
方法二 由余弦定理得 整理得a2+c2-b2=-ac, 又B为三角形的内角,故B=
(2)将b= a+c=4,B= 代入b2=a2+c2-2accos B, 得b2=(a+c)2-2ac-2accos B, ∴ac=3, ∴S△ABC= acsin B=
跟踪练习3(2008·全国Ⅰ)设△ABC的内角A、B、 C所对的边长分别为a、b、c,且acos B=3,bsin A=4. (1)求边长a; (2)若△ABC的面积S=10,求△ABC的周长l. 解(1)由acos B=3与bsin A=4两式相除,有 又由acos B=3知cos B>0, 则cos B= sin B= 则a=5. (2)由S= acsin B,得到c=5.
【例4】(14分)(2008·江苏)某地有三家工厂，分别 位于矩形ABCD的顶点A，B及CD的中点P处,已知 AB=20 km,CB=10 km,为了处理三家工厂的污水,现 要在矩形ABCD的区域上(含边界),且与A,B等距离 的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长为y km. (1)按下列要求写出函数关系式: ①设∠BAO=θ (rad),将y表示成θ的函数关系式; ②设OP=x(km),将y表示成x的函数关系式. (2)请你选用(1)中的一个函数关系式,确定污水处 理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.
解题示范 解(1)①由条件知PQ垂直平分 AB,若∠BAO=θ (rad), 又OP=10-10tan θ ,
所以y=OA+OB+OP= 故所求函数关系式为 [4分] ②若OP=x (km),则OQ=(10-x) (km), 故所求函数关系式为 [7分] (2)选择①中的函数模型, [10分]
当θ ∈(0, )时,y′<0,y是θ 的减函数; 当θ ∈ 时,y′>0,y是θ 的增函数, 这时点O位于线段AB的中垂线上, 且距离AB边 处. [14分]
跟踪练习4 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向 前进40米后,望见塔在东北方向，若沿途测得塔 的最大仰角为30°,求塔高. 解 如图所示,过B作BE⊥CD 于点E,由题意知在E点测得塔 的最大仰角为30°.在△BCD 中,CD=40,∠BCD=30°, ∠DBC=135°, 由正弦定理,得
在Rt△BED中, ∠BDE=180°-135°-30°=15°. 在Rt△ABE中,∠AEB=30°, ∴AB=BEtan 30°= (米). 故所求的塔高为 米.
高考中主要考查利用正、余弦定理求三角形的边和高考中主要考查利用正、余弦定理求三角形的边和 角及判断三角形形状，有时与三角函数联系在一起 考查,填空题和解答题均有可能出现,属于中低档题. 在解应用题时主要考查应用定理分析问题、解决问题. 思想方法 感悟提高 高考动态展望
1.解三角形时,要根据所给的条件选用正弦定理、余 弦定理,实施角和边的相互转化. 2.在△ABC中,A>B>C a>b>c sin A>sin B>sin C. 3.解三角形的题型条件注意与三角形全等的判定条件 作比较.如用S表示边,A表示角,AAA,SSS,SAS,正、 余弦定理求解,解唯一,AAS,ASA,正弦定理求解,解 唯一;SSA,正弦定理求解,解不定. 4.注意挖掘和运用三角形中的隐含条件. 方法规律总结
5.正弦定理、余弦定理在实际生活中,有着广泛的应 用,常见题型有距离问题、高度问题、角度问题以 及平面图形的面积问题等. 6.解实际应用问题,要准确找出仰角、俯角、方位角, 同时要注意与平面几何结合,运用正弦定理、余弦 定理,发挥题目的隐含条件,从而顺利解决问题. 7.解实际问题时,要注意题目中给出的精确度,合理取 近似值.
一、填空题 1.(2010·江苏靖江调研)在△ABC中,若(a+b+c)(b+ c -a)=3bc,则A=_____. 解析 ∵(a+b+c)(b+c-a) =(b+c)2-a2=b2+c2+2bc-a2=3bc, ∴b2+c2-a2=bc, 定时检测
2.(2010·宿迁模拟)在△ABC中,已知acos A=bcos B, 则△ABC的形状为________________________. 解析 由已知acos A=bcos B得 又由正弦定理,得 整理得sin Acos A=sin Bcos B, 即sin 2A=sin 2B. 因为A、B为三角形内角,所以2A=2B或2A=π-2B, 所以A=B或A+B= 即△ABC为等腰三角形或直角三角形. 等腰三角形或直角三角形
3.(2010·江苏淮阴模拟)如果把直角三角形的三边 都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ___________. 解析 设增加同样的长度为x,原三边长为a、b、c, 且c2=a2+b2,a+b>c. 新的三角形的三边长为a+x、b+x、c+x,知c+x为最 大边,其对应角最大. 而(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=x2+2(a+b-c)x>0, 由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正, 则为锐角, 那么它为锐角三角形. 锐角三角形
4.(2010·浙江绍兴模拟)△ABC中,a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C的对边,如果a,b,c成等差数列,∠B=30°, △ABC的面积为 那么b=_______. 解析 ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c. 平方得a2+c2=4b2-2ac. 又△ABC的面积为 且∠B=30°, 得ac=6,∴a2+c2=4b2-12. 由余弦定理
5.(2008·四川,7) △ABC的三内角A、B、C的对边 边长分别为a、b、c.若A=2B，则cos B= _____. 解析 由正弦定理得
6.(2010·南通模拟)一船以每小时15 km的速度向 东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方 向,行驶4 h后,船到达B处,看到这个灯塔在北偏东 15°方向,这时船与灯塔的距离为______km. 解析 如图,由已知AB=60 km ∠MAB=30°,∠AMB=45°, 在△AMB中,由正弦定理得
7.(2009·福建泉州二模)如图所示, 我炮兵阵地位于地面A处,两观察 所分别位于地面C处和D处,已知 CD=6 000 m，∠ACD=45°， ∠ADC=75°,目标出现于地面B处时测得∠BCD= 30°，∠BDC=15°，则炮兵阵地到目标的距离是 ______(结果保留根号). 解析 ∵∠ACD=45°,∠ADC=75°, ∴∠CAD=60°. 在△ACD中,由正弦定理可得
在△BCD中,由正弦定理得 在Rt△ABD中,由勾股定理可得AB2=BD2+AD2, 答案
8.(2009·江西宜泰模拟)线段AB外有一点C,∠ABC =60°,AB=200 km,汽车以80 km/h的速度由A向B行 驶,同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶,则运 动开始____ h后,两车的距离最小. 解析 如图所示,设t h后,汽车由 A行驶到D,摩托车由B行驶到E,则 AD=80t,BE=50t.因为AB=200,所 以BD=200-80t,问题就是求DE最小时t的值. 由余弦定理:DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60° =(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t =12 900t2-42 000t+40 000.
9.(2009·广东改编)已知△ABC中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a、b、c,若a=c= 且∠A=75°, 则b=___. 解析sin A=sin 75°=sin(30°+45°) =sin 30°cos 45°+sin 45°·cos 30° 由a=c= 可知,∠C=75°, 所以∠B=30°,sin B= 由正弦定理得 2
