Analiza numeryczna i symulacja system w
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 41

Analiza numeryczna i symulacja systemów PowerPoint PPT Presentation


  • 78 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Analiza numeryczna i symulacja systemów. Wykład I Plan, pojęcia podstawowe, klasyfikacja Systemy ciągłe o stałych skupionych. Plan. Podstawowe pojęcia Klasyfikacja modeli / symulacji Plan wykładów

Download Presentation

Analiza numeryczna i symulacja systemów

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Analiza numeryczna i symulacja system w

Analiza numeryczna i symulacja systemów

Wykład I

Plan, pojęcia podstawowe, klasyfikacja

Systemy ciągłe o stałych skupionych


Analiza numeryczna i symulacja system w

Plan

  • Podstawowe pojęcia

  • Klasyfikacja modeli / symulacji

  • Plan wykładów

  • Systemy ciągłe o stałych skupionych- klasyfikacja problemów opisywanych równaniami różniczkowymi- opis obiektu w MATLABie i SIMULINKu, - dwa przykłady,- metody rozwiązywania równań różniczkowych w MATLABie,- koszt obliczeniowy i dokładność.

  • Przygotowanie do ćwiczenia nr 1.- problem trzech ciał - porównanie metod pod względem dokładności i kosztu obliczeniowego,- obiekt cieplny - budowa modelu obiektu dynamicznego w SIMULINKu2

Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


Podstawowe poj cia analiza numeryczna

Podstawowe pojęcia: Analiza numeryczna

  • Analiza matematyczna – XVII w. (Leibniz, Newton) – rachunek różniczkowy i całkowy – jeden z działów matematyki.

  • Ogólnie obliczenia możemy wykonywać na liczbach lub na symbolach.

  • Wykonując obliczenia na liczbach mamy do czynienia z obliczeniami numerycznymi.

  • Obliczenia symboliczne – operacje matematyczne wykonywane na wyrażeniach matematycznych.

  • Co jest lepsze? Dlaczego będziemy zajmować się dziedziną “ułomną”?

  • Analiza numeryczna

    • jakie równania różniczkowe zwyczajne daje się policzyć symbolicznie?

    • jakie równania różniczkowe cząstkowe daje się policzyć symbolicznie?

    • czy w rzeczywistości istnieją zjawiska “liniowe”?

  • Analiza numeryczna to część Metod numerycznych.

  • Dwa przedmioty:- “Metody numeryczne” – o podstawach i teorii tych metod (raczej o ich początkach niż o współczesności).- “Analiza i symulacja” – o zastosowaniu, współczesnych metodach, narzędziach, przykładach bliżej praktyki.

  • Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Podstawowe poj cia proces obiekt model

    Podstawowe pojęcia: Proces, obiekt, model

    • Obiekt - fragment “rzeczywistości” wyodrębniony z otoczenia.

    • Wejście i wyjście - strumienie informacji, masy lub energii, które łączą obiekt z otoczeniem.

    • Rozważamy proces (fizyczny, chemiczny, biologiczny, socjologiczny, termodynamiczny, ekonomiczny lub inny) – jakaś “rzeczywistość” (najczęściej) podlega zmianom w czasie.

    • Proces / obiekt opisujemy ilościowo za pomocą zmiennych.

    • Zależność między tymi zmiennymi, wejściem i wyjściem oraz czasem opisujemy w modelu matematycznym.

    • Tworzenie modelu - dwa podejścia:

      • teoretyczne - na podstawie znajomości praw rządzących zjawiskami towarzyszącymi procesowi,

      • fenomenologiczne 1) - na podstawie obserwacji (pomiarów) przyczyn i skutków, _________1)W nastawieniu naturalnym mamy na temat świata pewne założenia, domysły, teorie, spekulacje. Fenomenologia je odrzuca - po to, by przyjrzeć się światu tak, jak się on jawi.

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Podstawowe poj cia symulacja

    Podstawowe pojęcia: Symulacja

    Symulacja procesu jest “programistyczną” reprezentacją modelu.

    Dokładniej:

    Dwa pojęcia: Symulacja i model:

    Model komputerowy to algorytmy irównania określające zachowania modelowanego systemu.

    Symulacja komputerowa to „przebieg programu”, który zawiera te algorytmy i równania.

    Zatem mówimy: tworzymy/budujemy/ konstruujemy model,

    uruchamiamy symulację.

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Klasyfikacja modeli

    Klasyfikacja modeli

    • Statyczne i dynamiczne

    • Liniowe i nieliniowe

    • Deterministyczne (w tym chaotyczne) i stochastyczne

    • O stałych skupionych i rozłożonych

    • Ciągłe i dyskretne (w tym DE - discrete event)

    • Z regularną albo nieregularną siatką danych

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Narz dzia

    Narzędzia

    • Początki: Simula (Simula-67 – nazwa od roku powstania).

    • Inne, np. na stronie: http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_computer_simulation_software(m.in. Scilab)

    • Mamy w laboratorium: MATLAB z toolboxami (np.: PDE)SIMULINK

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Plan na semestr

    Plan na semestr

    Ani o całej analizie numerycznej, ani o symulacji procesów dowolnego rodzaju.

    Skupimy się na symulacji procesów ciągłych i metodach analizy numerycznej tam potrzebnych.

    Dlaczego:

    procesy czysto dyskretne „Modelowanie i symulacja systemów”,

    reszta metod numerycznych „Metody numeryczne”.

    Dodatkowo: optymalizacja – bo nie ma w programie osobnego przedmiotu.

    Kolejne tematy:

    • Modelowanie i symulacja systemów ciągłych, SIMULINK - 30h

    • Modelowanie i symulacja systemów dyskretnych i hybrydowych, STATEFLOW – 30h,

    • Modelowanie i symulacja systemów o stałych rozłożonych, PDE – 30h,

    • Optymalizacja – 60h

    • Błędy symulacji, kalibracja, weryfikacja, walidacja – 15h,

    • Metody rozwiązywania zagadnień brzegowych – 15h,

    • Aproksymacja – 10h

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych

    • System opisany równaniami różniczkowymi zwyczajnymi- ODE - Ordinary Differential Equations- DAE - Differential Algebraic Equations

    • Zagadnienie początkowe (problem Cauchy’ego) - IVP - Initial Value Problem(o zagadnieniu brzegowym - BVP - na ostatnim wykładzie)

    • Rozwiązaniem analitycznym zagadnienia początkowego jest funkcja.

    • Rozwiązanie numerycznym jest skończony zbiór punktów leżących „blisko” rozwiązania dokładnego.

    • Jak numerycznie rozwiązujemy zagadnienie początkowe (w dużym uproszczeniu):- znamy rozwiązanie w punkcie początkowym (w t=0),- wyznaczamy przybliżone rozwiązanie w punkcie t=h1 ,- w kolejnych punktach wyznaczamy przybliżone rozwiązanie na podstawie równania + i przybliżenia w ostatnio obliczonym punkcie (metody jednokrokowe), + i kilku ostatnio obliczonych przybliżeń (metody wielokrokowe).

    • Krok (odstęp czasu między kolejnymi przybliżeniami) jest stały w metodach stałokrokowych, a w metodach adaptacyjnych jest dostosowywany tak, aby zachować wymagania dotyczące dopuszczalnego błędu (tolerancji).

    • Błąd lokalny („błąd jednego kroku”) a błąd globalny („błąd po n krokach”).

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych narz dzia

    Zapis “naturalny”:

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych - narzędzia

    albo

    Zapis w MATLABie:

    global m

    m = 3; t_span = [0, 20]; y0 = [2; 0];

    [t,y] = ode45(@rhs,t_span,y0);

    function dydt = rhs(t,y)

    dydt = [y(2); m*(1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

    Niezależnie od wyboru sposobu zapisu (w MATLABie czy SIMULINKu) -symulacja będzie przebiegać analogicznie!

    Postać graficzna modelu w SIMULINKu jest przetwarzana do postaci „matlabowej”.

    Zapis w SIMULINKu:

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych matlab czy simulink przyk ad 1

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład 1.

    Przykład 1. Problem trzech ciał - orbity ArnstorfaRozważamy 3 ciała o masachm1> m2;m3~ 0 (np. Ziemia, Księżyc, satelita)Założenia:- orbity są kołowe,- m3porusza się w płaszczyźnie obrotu Ziemi i Księżyca wokół ich środka masy- jednostka masy – m1+ m2 ,- jednostka długości – odległość między m1, a m2 ,,- jednostka czasu – okres obrotu m1 i m2 wokół ich środka masy.Równania:

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych przyk ad 1 model w matlabie

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Przykład 1: model w MATLABie

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych przyk ad 1 model w simulinku

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Przykład 1: model w SIMULINKu

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych przyk ad 1 wynik symulacji

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Przykład 1: wynik symulacji

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych matlab czy simulink przyk ad2

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2.

    Przykład 2. Chemioterapianeuroblastomy (nowotworu wieku dziecięcego)

    z użyciem leku TPT (Topotecan)

    Schemat guza nowotworowego

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Analiza numeryczna i symulacja system w

    % Ustawienie parametrów symulacji:

    czas = [0,336]; % przedział czasu [h] (2 tygodnie)

    P0 = 2e8; % początkowe liczby komórek P i Q

    Q0 = 8e8;

    % Symulacja:

    [t,S] = ode45(@rownanie_leczonego_guza,czas,[P0, Q0]);

    % Wyprowadzenie wyników w formie graficznej:

    subplot(2,1,1); plot(t,S); % wykres liczebności komórek

    function dS_dt = rownanie_leczonego_guza(t, S),

    % Funkcja obliczająca prawą stroną równania różniczkowego.

    % Trzeci element wektora S (jeżeli istnieje) jest

    % wartością wejściową - stężeniem leku.

    % Obliczenie dozowania leku w chwili t:

    if length(S) == 3, x = S(3);

    else x = stezenie_leku(t);

    end

    % Parametry modelu:

    alfa = 0.02; % stała uspokajania [1/h]

    beta = 0.004; % stała powrotu do dzielenia [1/h]

    gamma = 0.01; % stała wzrostu [1/h]

    delta = 0.66; % współczynnik oddziaływania leku

    % Równanie różniczkowe:

    P = S(1); Q=S(2); % pobranie z wektora

    dP_dt = (gamma-alfa-delta*x)*P + beta*Q;

    dQ_dt = alfa*P - beta*Q;

    dS_dt = [dP_dt; dQ_dt]; % spakowanie do wektora

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych matlab czy simulink przyk ad21

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2.

    Przykład 2. Podsystem Guz nowotworowy w SIMULINKu:

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych matlab czy simulink przyk ad22

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2.

    Przykład 2. Chemioterapianeuroblastomy cd.

    Schemat układu krwiotwórczego

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Analiza numeryczna i symulacja system w

    czas = [0,336]; % przedział czasu [h] (2 tygodnie)

    % Początkowa liczebność komórek:

    Np0=2000; Nd10=2300; Nd20=2400; Nd30=2100;

    Ncirc0=1500;

    % Symulacja:

    N0 = [Np0; Nd10; Nd20; Nd30; Ncirc0]; % stan początkowy

    [t,N] = ode45(@rownanie_ukladu_krwiotworczego,czas,N0);

    % Wyprowadzenie wyników w formie graficznej:

    subplot(2,1,1), plot(t,N(:,5)); % wykres liczebności komórek

    function dN_dt = rownanie_ukladu_krwiotworczego(t,N),

    % Funkcja obliczająca prawą stronę równ. różniczkowego

    % 6. element wektora N (jeżeli istnieje) jestwartością wejściową - stężeniem leku.

    % Obliczenie dozowania leku w chwili t:

    if length(N) == 6, x = N(6);

    else x = stezenie_leku(t);

    end

    % Parametry modelu:

    kin = 0.09; % tempo produkcji komórek macierzystych [1/h]

    Km = 3000; % parametr "połowy nasycenia" Ncirc [1/ul]

    IC50 = 1.5; % parametr "połowy nasycenia" TPT [ng/ul]

    kbp = 0.07; % tempo różnicowania [1/h]

    kout = 0.1; % tempo naturalnego obumierania neutrofili [1/h]

    % Równania różniczkowe:

    Np = N(1); Nd1 = N(2); Nd2=N(3); Nd3=N(4); Ncirc=N(5); %pobranie z wektora

    dNp_dt = (kin*Km/(Km+Ncirc)*IC50/(IC50+x))*Np - kbp*Np;

    dNd1_dt = kbp*(Np-Nd1);

    dNd2_dt = kbp*(Nd1-Nd2);

    dNd3_dt = kbp*(Nd2-Nd3);

    dNcirc_dt = kbp*Nd3 - kout*Ncirc;

    dN_dt = [dNp_dt; dNd1_dt; dNd2_dt; dNd3_dt; dNcirc_dt];

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych matlab czy simulink przyk ad23

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2.

    Przykład 2. Podsystem Układ krwiotwórczy w SIMULINKu:

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych matlab czy simulink przyk ad24

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2.

    Przykład 2. Chemioterapianeuroblastomy cd.

    Schemat transferu leku

    kcp

    u(t)

    yc

    yp

    kpc

    yc- stężenie leku wosoczu

    yp- stężenie leku winnych tkankach

    ke

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Analiza numeryczna i symulacja system w

    czas = [0,336]; % przedział czasu [h] (2 tygodnie)

    x0=0; xp0=0; % początkowe stężenia TPT:

    % Symulacja:

    [t,X] = ode15s(@rownanie_transferu_TPT,czas,[x0; xp0]);

    % Wyprowadzenie wyników w formie graficznej:

    subplot(2,1,1), plot(t,X(:,1),'b',t,X(:,2),'r'); title('Symulacja transferu leku TPT');

    rysuj_dozowanie(czas); % wykres przebiegu dozowania leku

    function dX_dt = rownanie_transferu_TPT(t,X),

    % Funkcja obliczająca prawą stronę równ.różniczkowego

    % Parametry modelu:

    ke = 0.8; % wsp. naturalnego zaniku TPT w osoczu [1/h]

    kcp = 0.26; % wsp. przenikania TPT z strefy centralnej do peryferyjnej[1/h]

    kpc = 0.27; % wsp. przenikania TPT z strefy peryferyjnej do centralnej[1/h]

    xz = dozowanie_leku(t);% wyznaczenie dozowania w chwili t

    x = X(1); xp = X(2); % pobranie z wektora

    dx_dt = -(ke+kcp)*x + kpc*xp + xz;% równania różniczkowe

    dxp_dt = kcp*x - kpc*xp;

    dX_dt = [dx_dt;dxp_dt]; % spakowanie do wektora

    function xz = dozowanie_leku(t),

    % Funkcja wyznaczająca wielkość podawanej dawki leku w chwili t

    % 3 cykle po: (5 dni TPT, 2 dni odpoczynku, 5 dni TPT, 10 dni odpoczynku)

    xz_max = 0.12;

    % Czasy przełączeń dawkowania

    ti=24*[5, 7, 12, 22, 27, 29, 34, 44, 49, 51, 56, 100];

    ind=find(ti<t,1,'last');

    if ind/2-floor(ind/2) > 0, xz = 0;

    else xz = xz_max;

    end

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych matlab czy simulink przyk ad25

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2.

    Przykład 2. Podsystem Transfer leku w SIMULINKu:

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych matlab czy simulink przyk ad26

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2.

    • Przykład 2. Chemioterapianeuroblastomy (nowotworu wieku dziecięcego) z użyciem leku TPT (Topotecan)

    • W SIMULINKu:

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych matlab czy simulink przyk ad27

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych MATLAB czy SIMULINK - Przykład2.

    Przykład 2. Przykładowy wynik symulacji

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania ode

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania ODE

    Jak numerycznie rozwiązujemy zagadnienie początkowe - dokładniej

    Grupy metod

    - jednokrokowe, jednoetapowe - Euler

    - wielokrokowe, jednoetapowe - Gear, Adams-Bashforth

    - jednokrokowe, dwuetapowe - Heun (PECE) , m. trapezowa

    - wielokrokowe, dwuetapowe (PECE) - Adams-Bashforth-Moulton

    - jednokrokowe, wieloetapowe - Runge-Kutta

    Algorytmy

    -stałokrokowe

    - adaptacyjne

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    1. Metoda Eulera

    - rzędu 1. - tylko liniowe rozwiązanie jest znajdowane dokładnie

    - jednokrokowa, jednoetapowa

    - nazwa w w SIMULINKU: Euler

    • Błąd lokalny a błąd globalny

    • TolRel a TolAbs

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania1

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    2. Metoda Gear’a - wstecznego różniczkowania - BDF

    (Backward Differentiation Formula)

    - rzędu r

    - wielokrokowa, jednoetapowa

    - funkcja w MATLABie i SIMULINKU: ode15s

    bda1a2a3a4a5a6

    111

    234-1

    61118-92

    122548-3616-3

    60137300-300200-7512

    60147360-450400-22572-10

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania2

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    3. 1. Metoda trapezowa

    - rzędu 2

    - jednokrokowa

    - funkcja w MATLABie: ode23t

    3. 2. Metoda Heuna

    - rzędu 2

    - jednokrokowa, dwuetapowa

    - nazwa w SIMULINKu: Heun

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania3

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    4. Metody Adamsa-Bashfortha-Moultona, np.:

    - rzędu 4

    - wielokrokowa, dwuetapowa

    - problem gdy zmienia się krok h

    - funkcja w MATLABie i SIMULINKu: ode113

    itd.

    W metodzie Gear’a jest suma yn, a w ABM - suma fn..

    Ta róznica nie ma wpływu na koszt obliczeniowy.

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania4

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    4. Jawne metody Rungego-Kutty

    - rzędu s lub mniejszego

    - jednokrokowe, wieloetapowe (s - etapowe)

    - samostartujące, „elastyczny” krok

    Tablica Butchera:

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania5

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    4. 1. Przykłady jawnych metod Rungego-Kutty

    - RK4 - ode23 Bogacki-Shampine (1989)

    4. rzędu, koszt=4, 3. rzędu, koszt=3 (FSAL—first same as last)

    dla algorytmu adaptacyjnego - zn+1obliczane dla . oceny błędu yn+1

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania6

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    4. 1. Przykłady jawnych metod Rungego-Kutty cd.

    - ode45 (DOPRI45) Dormand-Prince (1980) 5. rzędu, koszt=6,

    przybliżenie 5. rzędu

    przybliżenie 4. rzędu

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania7

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    4. 2. Niejawne (implicit) i półjawne (semi-explicite) metody Rungego-Kutty

    Przykłady niejawnych:

    - ode23s – Rosenbrock, 2. rzędu,

    - ode23tb – 2 etapowa: trapezowa + wstecznego różniczkowania rzędu 2,

    - ode15i - „w pełni” niejawna metoda, możliwość zadania rzędu.

    - Lobatto IIIA, Radau IIA, Gauss - wrócimy do nich przy okazji BVP.

    _____________________________________

    ode14x – stałokorokowa, z ekstrapolacją Richardsona (zmniejszanie błędu przez porównywanie wyników otrzymywanych po połowieniu kroku - analogicznie jak metoda Romberga całkowania funkcji)

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania8

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    5. Stiff systems

    - zróżnicowane stałe czasowe,

    - wartości własne macierzy zlinearyzowanego równania prawej strony równania różniczkowego (funkcji f) mają wartości różniące się o kilka rzędów

    - przykład

    6. Koszt obliczeniowy

    Mierzony liczbą obliczeń funkcji prawej strony równania różniczkowego - w jednym kroku.

    Warto zauważyć:

    - wzrostowi rzędu towarzyszy wzrost kosztu,

    - metody wielokrokowe są mniej kosztowne od jednokrokowych,

    - metody niejawne są bardziej kosztowne od niejawnych (dlaczego?).

    7. Pomijamy tu inne ważne „wskaźniki jakości” metod, przede wszystkim stabilność

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania9

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania10

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    8. Podsumowanie metod

    ode45 - dobra w większości przypadków,

    ode23 - dobra gdy chcemy szybko otrzymać mało dokładny wynik,

    ode113 - polecana gdy obliczanie wartości funkcji f wymaga długiego czasu,

    ode 15s, ode23s, ode23tb - dla równań „stiff”,

    ode15s i ode113 – nie są dobre przy niegładkiej funkcji f,

    ode15s – ma możliwość wyboru rzędu,

    ode15s, ode23t – obejmuje DAE.

    Dokładniejsze informacje na ogólnodostępnych stronach, np.:

    www.mathworks.com/help/matlab/ref/ode23.html

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Symulacja system w ci g ych o sta ych skupionych metody numerycznego rozwi zywania11

    Symulacja systemów ciągłych o stałych skupionych Metody numerycznego rozwiązywania

    • O czym nie wolno zapomnieć:

    • Każda symulacja numeryczna jest obarczona błędem.

    • Symulacja bez „oszacowania błędu” jest bezwartościowa.

    • Jak w prosty (choć zawodny) sposób ocenić błąd? Powtórzyć symulację używając innej metody lub chociażby innego kroku.

    • Stosując algorytmy stałokrokowe jesteśmy sami odpowiedzialni za wielkość błędu.

    • Stosując algorytmy adaptacyjne trzeba pamiętać, że: a. zadana tolerancja błędu nie jest gwarantowana, b. zadajemy wielkość błędu lokalnego, a nie globalnego (globalny zazwyczaj jest wielokrotnie większy niż lokalny).

    • O zaletach przeskalowania wielkości zmiennych do zakresu [-1 1].

    • Dobra literatura:

    • E.Hairer, S.P.Norsett, G.Wanner: Solving Ordinary Differential Equations Springer 2008

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Wiczenia w laboratorium

    1. Symulacja ogrzewania / chłodzenia zamkniętego pokoju (SIMULINK)

    Założenia podstawowe:

    - W zamkniętym pokoju (laboratorium 315 w C2) jest grzejnik elektryczny (bez pojemności cieplnej - np. dmuchawa), który ogrzewa powietrze - pomijamy zmiany temperatury ścian, mebli itp.

    - Ciepło jest „tracone” przez przewodzenie przez okna i ścianę szczytową - zakładamy idealną izolacyjność innych ścian, brak wentylacji itp.

    - W całym pomieszczeniu jest taka sama temperatura - zakładamy natychmiastowe mieszanie się powietrza w pokoju, pomijamy zjawiska konwekcji i promieniowania.

    Wersje rozszerzone:

    - Grzejnik ma niezerową pojemność cieplną.

    - Okno może być zamknięte (przewodzi ciepło) albo otwarte (następuje wymiana powietrza z prędkością proporcjonalną do różnicy temperatury w pokoju i na zewnątrz).

    Należy - utworzyć diagram - model pokoju - dla symulacji zmian temperatury.Wartości parametrów:

    rozmiary pokoju np.: 8 m x 8 m x3 m,

    gęstość powietrza 1.225 kg/m3 (zakładamy, że nie zależy od temperatury),

    ciepło właściwe powietrza 720 J/kg

    współczynnik przewodzenia ciepła dla okna 1.1 W/(K m2 )

    powierzchnia okien 8 m2

    współczynnik przewodzenia ciepła dla izolacji ściany 0.04 W/(K m)

    grubość izolacji ściany 10 cm

    Ćwiczenia w laboratorium

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Wiczenia w laboratorium1

    2. Porównanie błędu i kosztu obliczeniowego kilku metod rozwiązywania IVP (MATLAB).

    - Wyznaczenie wybranej orbity cyklicznej w układzie Ziemia - Księżyc.

    - Dla 3 różnych metod:

    + wyznaczanie trajektorii (orbity) przy różnych zadanych tolerancjach błędu,

    + obliczenie kosztu obliczeniowego,

    + obliczenie błędu „niedomknięcia” orbity,

    - Zestawienie (dla zbadanych metod) zależności między błędem a kosztem obliczeniowym (w formie wykresu)

    - Obserwacje / wnioski

    Ćwiczenia w laboratorium

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


    Analiza numeryczna i symulacja system w

    Dziękuję za cierpliwość.

    Czy są pytania?

    Analiza numeryczna i symulacja systemów 2013/14 - wykład I


  • Login