A cura della prof.ssa Enza Morvile – a. sc. 2007/2008

1. Illustrazione dal “Paradiso Perduto” di Milton (libro VII) LA GEOMETRIA SOLIDA A cura della prof.ssa Enza Morvile – a. sc. 2007/2008

2. GEOMETRIA SOLIDA • La geometria dello spazio • Rette e piani nello spazio • Diedri e angoloidi • Poliedri • Prisma, piramide, tronco di piramide • Solidi di rotazione • Cilindro, cono, tronco di cono • Equivalenza dei solidi

3. a ·A r ·B a r(A,B)a ·C ·A ·B S1 , S2 semispazi S1 å2 a • ALCUNI POSTULATIDELLO SPAZIO P 1- Per tre punti non allineati passa uno ed un solo piano. P 2-Se due punti di una retta appartengono a un piano, essa giace interamente sul piano. P 3- Un qualunque piano divide l’insieme dei punti dello spazio in due regioni dette semispazi. P(A,B,C)=a

4. A D B a å1 S1 å2 C S1 , S2 semispazi • ALCUNI POSTULATIDELLO SPAZIO P 4- Ogni piano a divide lo spazio in due insiemi infiniti e disgiunti S1 e S2, detti semispazi aperti tali che per ogni coppia di punti non appartenenti ad a si ha : -se A e B appartengono allo stesso semispazio allora il segmento AB non interseca il piano a; -se C e D appartengono a semispazi opposti allora il segmento CD interseca il piano a.

5. r a g · b C fascio proprio di piani stella di piani RETTE E PIANI NELLO SPAZIO D 1- Si chiama fascio proprio di piani l’insieme di tutti e soli i piani che passano per una stessa retta r, detta sostegno o asse del fascio. D 2- Si chiama stella propria di piani l’insieme di tutti e soli i piani che hanno un punto P in comune, detto centro della stella.

6. C u s C r u r s t a t a stella di rette fascio di rette RETTE E PIANI NELLO SPAZIO D 3- Si chiama fascio proprio di rette l’insieme di tutte e sole le rette appartenenti ad uno stesso piano α e passanti per un dato punto C detto centro del fascio. D 4- Si chiama stella di rette l’insieme di tutte e sole le rette che passano per un punto C detto centro della stella.

7. a s ·D ·C ·A a P r ·B a r e s parallele r e s incidenti · B r · A s ·C ·A r ·D s ·B ·C r e s sghembe RETTE E PIANI NELLO SPAZIO • LA POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO D - Due rette distinte nello spazio si dicono: - complanari se esiste un piano che le contiene. In tal caso possono essere incidenti o parallele. - sghembe se non esiste un piano che le contenga entrambe.

8. r . P a r a =  P a r s r b s//r ra  s//a a r // a • LA POSIZIONE DI UNA RETTA E DI UN PIANO NELLO SPAZIO • D- Una retta e un piano nello spazio si dicono : • incidenti: se hanno un solo punto in comune. • paralleli: se non hanno punti in comune, oppure se li hanno tutti • T- Se una retta è parallela ad una retta di un piano, essa è parallela al piano

9. r a b piani incidenti ab=r b a piani paralleli ab= • LA POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO Due piani distinti nello spazio possono essere : - incidenti se hanno una retta in comune, che è l’intersezione tra i due piani - parallelise non hanno punti in comune. La relazione di parallelismo tra piani (o tra rette) è una relazione di equivalenza. L’insieme di tutte le rette parallele ad una retta data è detto fascio improprio di rette: esso individua la direzione della retta L’insieme di tutti i piani paralleli ad un piano dato si dice fascio improprio di piani esso individua la giacitura del piano

10. b g P . b a s Pa b//a Pb a r a//b r=ag s=bg  r//s • LA POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO T- Le intersezioni di piani paralleli con un piano incidente sono rette parallele. T- Per un punto esterno ad un piano si può condurre uno ed un solo piano parallelo al piano dato.

11. r u t P · s a ar • LE RETTE PERPENDICOLARI AD UN PIANO T- Se una retta r è perpendicolare a due rette ,s e t, passanti per un suo punto P, essa (r) è pure perpendicolare a tutte le altre rette, u, passanti per il punto P e giacenti nel piano individuato dalle due rette s e t. T- Tutte le rette perpendicolari ad una retta data in un suo punto giacciono sullo stesso piano. D- Una retta ed un piano si dicono perpendicolariquando la retta interseca il piano ed è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per il punto di intersezione, detto piededella perpendicolare.

12. T- Dati un punto P e un piano a, esiste una sola retta passante per il punto e perpendicolare al piano. T- Dati un punto e una retta, esiste un solo piano passante per il punto e perpendicolare alla retta T- Piani perpendicolari alla stessa retta sono paralleli tra loro. T- Rette perpendicolari allo stesso piano sono parallele tra loro.

13. r p t P · s a ra ra=P sa sP st  tpr,s Teorema delle tre perpendicolari Se dal piede P di una perpendicolare r ad un piano a si conduce la perpendicolare s ad una retta qualunque t del piano, questa retta t risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette r,s.

14. a a P P r H H s · A1 · B1 b · r · a A B Dist(s,a) – dist(a,b) • LA DISTANZA PUNTO- PIANO E RETTA-PIANO Proiezione ortogonale di un punto su un piano è il piede della perpendicolare condotta dal punto al piano. D-La lunghezza del segmento che ha per estremi il punto e la sua proiezione sul piano si dice distanza del puntodal piano. T-Se una retta è parallela ad un piano allora tutti i suoi punti sono equidistanti dal piano D-Si dice distanza di una retta da un piano ad essa parallelo la distanza di un punto qualsiasi della retta dal piano.

15. r a P r’ Q H PH<PQ D-Si dice proiezione ortogonale di una figura F su un piano la figura F’ costituita dalle proiezioni dei punti di F sul piano. La proiezione di una retta r su un piano a non perpendicolare ad essa è una retta r’. D-Si dice retta obliqua ad un piano una retta secante il piano e ad esso non perpendicolare. T-Se da un punto esterno ad un piano si conducono il segmento perpendicolare e alcuni segmenti obliqui, si ha: • il segmento perpendicolare è minore di qualunque segmento obliquo; • due segmenti obliqui aventi proiezioni congruenti sono congruenti e viceversa; • due segmenti obliqui aventi proiezioni disuguali sono disuguali nello stesso verso.

16. r’ t Q a r P r s ( r, s) e (s,t) complanari (r,t) sghembe dist(r,t) =dist(P,Q) T-Date due rette sghembe esiste una ed una sola retta perpendicolare ad entrambe. D-Si dice distanza di due rettesghembe il segmento compreso tra le due rette e giacente sulla loro perpendicolare.  D-Si chiama angolo di una retta conun piano l’angolo acuto che la retta forma con la sua proiezione sul piano.

17. DIEDRI D-Si dice diedro ciascuna delle due parti di spazio delimitate da due semipiani aventi la stessa origine ( semipiani compresi ). I due semipiani si chiamano facce del diedro e la loro origine comune si dice spigolo del diedro. Un diedro è convesso se è una figura convessa, concavo se non è convesso. D-Si dice sezione normale di un diedro l’angolo che si ottiene intersecando il diedro con un piano perpendicolare al suo spigolo. Sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti. Diedri congruenti hanno sezioni normali congruenti e viceversa. r b a S angolo diedro r a b S Sezione normale di un diedro

18. Diedri retti b a Piani perpendicolari DIEDRI Si dice ampiezza di un diedro l’ampiezza della sua sezione normale. Si dice diedro retto un diedro la cui ampiezza è un angolo retto Due piani incidenti si dicono perpendicolari se formano quattro diedri retti. Analogamente agli angoli piani, si hanno diedri acuti, diedri adiacenti, diedri opposti allo spigolo.....)

19. r s g r d d b g a b a s t Teorema di Talete nello spazio Un fascio di piani paralleli determina su due rette trasversali segmenti corrispondenti direttamente proporzionali. Le due rette trasversali sono, in generale, sghembe tra loro. Se le due rette trasversali sono complanari il teorema si riduce al teorema di Talete nel piano.

20. V D C E a B A Superficie piramidale ANGOLOIDE D-Dato un poligono convesso ABCD… e un punto V non appartenente al piano del poligono, si chiama superficie piramidale indefinita la figura formata dagli angoli AVB , BVC, CVD… Il punto V si chiama vertice della superficie piramidale. Le semirette AV , BV, CV, DV.. si chiamano spigoli . Gli angoli AVB, BVC , CVD … ...... si chiamano facce. D-Si chiama angoloide la parte di spazio formata da tutte le semirette che hanno origine in V e che passano per un punto di un poligono convesso   T- L’ampiezza di ogni faccia di un angoloide è minore delle somma di tutte le altre. T- La somma delle ampiezze delle facce di un angoloide è minore di un angolo giro.

21. D’ E’ C’ A’ B’ D C E a B A Sezione angoloide ANGOLOIDE Le sezioni di un angoloide con dei piani paralleli sono poligoni simili I perimetri dei poligoni sono proporzionali alle distanze del vertice dai piani delle sezioni Le aree dei poligoni sono proporzionali ai quadrati delle distanze del vertice dai piani sezioni

22. V C A B triedro TRIEDRI • D-Si dice triedro un angoloide con tre facce. • T- La somma delle facce di un triedro è minore di un angolo giro : AVB +BVC +CVA < 2P • Criteri di congruenza dei triedri • Due triedri che hanno due facce e il diedro compreso congruenti sono congruenti • 2. Due triedri che hanno due diedri e la faccia compresa congruenti sono congruenti • 3. Due triedri che hanno le tre facce congruenti sono congruenti • 4. Due triedri che hanno i tre diedri congruenti sono congruenti.

23. Sviluppo sup_lat cono MISURA DI SUPERFICI La superficie di un solido si dice sviluppabile se, mediante un numero finito di tagli, si può distendere completamente su un piano senza deformarla. Poliedri, cilindri, coni e loro parti hanno le superfici sviluppabili La misura delle loro superfici è riconducibile ad un problema di misura di superfici piane. L’area della superficie di un poliedro è uguale alla somma delle aree di tutte le facce  La sfera e le sue parti non sono sviluppabili. La misura della superficie sferica si può calcolare come limite della misura della superficie di un poliedro inscritto (o circoscritto) nella sfera quando il numero delle facce tende all’infinito. 

24. V C B H A D Piramide quadrangolare POLIEDRI PIRAMIDE D-Si chiama piramide l’intersezione tra un angoloide di vertice V ed un semispazio contenente V e tale che il suo piano origine intersechi tutti gli spigoli laterali. Il vertice dell’angoloide si dice vertice della piramide La sezione dell’angoloide con il piano origine del semispazio si chiama base della piramide I triangoli che delimitano la piramide si dicono facce della piramide ed i loro lati spigoli Secondo il numero delle facce la piramide si dice triangolare, quadrangolare, ecc... L’altezza di una piramide è il segmento di perpendicolare condotto dal vertice al piano di base.

25. Piramide retta quadrandolare PIRAMIDE Una piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile ad una circonferenza il cui centro coincide con il piede dell’altezza della piramide T-In una piramide retta i segmenti che congiungono il vertice con i punti di tangenza dei lati del poligono di base con la circonferenza inscritta sono congruenti In una piramide retta l’altezza della faccia laterale si chiama apotema Una piramide retta si dice regolare se ha per base un poligono regolare. Nelle piramidi regolari gli spigoli laterali sono congruenti e le facce laterali sono triangoli isosceli

26. O PIRAMIDE Misura della superficie AB = Area di base AL,= Area laterale AT = Area totale pB = perimetro di base a = apotema a h r Piramide retta h2 + r2= a2

27. b O’ B’ C’ A’ C’ B’ O ° A’ b B C A C B a A a Tronco piramide retto Tronco piramide TRONCO PIRAMIDE TRONCO DI PIIRAMIDE Sezionando una piramide con un piano parallelo alla base, nel semispazio non contenete il vertice si ottiene un tronco di piramide . La distanza dei due piani paralleli delle basi è l’altezza del tronco. Le due basi sono poligoni simili Un tronco di piramide si dice retto o regolare se la piramide da cui è stato ottenuto è retta o regolare.

28. V B’ C’ · H’ O1 D’ A’ K’ C B O · H D K A Tronco piramide retto quadrangolare TRONCO PIRAMIDE In un tronco di piramide retto : -i segmenti, che uniscono i punti di tangenza delle circonferenze inscritte nelle due basi ai lati omologhi dei poligoni di base, sono congruenti; -le facce laterali sono trapezi aventi la stessa altezza. Si chiama apotema del tronco di piramide retto l’altezza della faccia laterale

29. a h TRONCO PIRAMIDE Misura della superficie AL = area laterale AT =area totale AB =area basepB =perimetro base h =altezza a= apotema

30. Prisma indefinito POLIEDRI PRISMA D-Si chiama prisma indefinito il solido costituito da tutte le rette parallele tra loro passanti per i punti di un poligono convesso e non appartenenti al piano di questo. Le rette passanti per i vertici del poligono si dicono spigoli del prisma. L’insieme di tutte le rette parallele che passano per un lato del poligono formano una striscia di piano che si dice faccia del prisma indefinito . Se il poligono che genera il prisma ha n lati (n vertici) il prisma risulta delimitato da n diedri. Le sezioni di un prisma indefinito con piani paralleli tra loro sono poligoni congruenti

31. C’ D’ B’ E’ A’ b C D B E A a Prisma retto PRISMA D-Si dice prisma finito o prisma la parte di prisma indefinito compreso tra due piani paralleli distinti (piani delle basi). Le sezioni poligonali appartenenti ai piani delle basi sono le basi del prisma. L’altezza del prisma è la distanza tra i due piani di base Le facce laterali di un prisma sono parallelogrammi. Gli spigoli laterali di un prisma sono congruenti.  Un prisma si dice retto se gli spigoli sono perpendicolari ai piani delle basi. Le facce laterali di un prisma retto sono rettangoli Un prisma si dice regolare se è retto ed ha per basi poligoni regolari. Le facce laterali di un prisma regolare sono rettangoli tutti congruenti tra loro.

32. h PRISMA Misura della superficie AB =area base AL = area laterale AT =area totale pB =perimetro base h =altezza

33. POLIEDRI PARALLELEPIPEDO D-Si chiama parallelepipedo un prisma le cui basi sono parallelogrammi Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e congruenti. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in uno stesso punto, centro di simmetria del parallelepipedo

34. d d c l b a PARALLELEPIPEDO - CUBO Un parallelepipedo si dice rettangolo se è retto ed ha per base un rettangolo Le facce di un parallelepipedo rettangolo sono rettangoli Le lunghezze dei tre spigoli uscenti da un vertice del parallelepipedo rettangolo si chiamano dimensioni del parallelepipedo (a,b,c ) Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono congruenti. D-Si chiama cubo o esaedro regolare un parallelepipedo rettangolo con gli spigoli congruenti (a = b = c = l )

35. d d c l b a PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO - CUBO Misura della superficie AB =area base AL = area laterale AT =area totale pB =perimetro base a, b, c =dimensioni parallelepipedo rettangolo d =diagonale l =spigolo del cubo

36. POLIEDRI D-Si chiama poliedro convesso un solido delimitato da poligoni (facce) che si saldano lungo i lati (spigoli) e tali che il piano di ciascuno di essi non attraversi il solido. I vertici di ciascun poligono sono anche vertici del poliedro. Ogni vertice del poligono è vertice di un angoloide che contiene il poliedro. Teorema di Eulero Indicati con f, v, s rispettivamente il numero di facce, di vertici e di spigoli di un poliedro, risulta f + v =s + 2

37. POLIEDRI REGOLARI Un poliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari e congruenti e tutti gli angoloidi sono congruenti.. Esistono soltanto cinque poliedri regolari. Essi sono detti solidi platonici.  Tutti i poliedri regolari si possono inscrivere e circoscrivere ad una sfera. • tetraedro regolare :piramide triangolare regolare con le facce uguali alla base; • esaedro regolare (cubo); • ottaedro regolare:unione di due piramidi quadrangolari regolari situate da parti opposte rispetto alla comune base e le cui facce sono triangoli equilateri; • dodecaedro regolare che ha per facce 12 pentagoni regolari • icosaedro regolare che ha per facce venti triangoli equilateri

38. a a g g a a g a a a g SOLIDI DIROTAZIONE D-Dato un semipiano a limitato dalla retta a, sia g una linea appartenente al semipiano a; ruotando il semipiano a di un angolo giro attorno alla retta a, la linea g genera una superficie di rotazione: -se la generatrice g è una retta parallela all’asse di rotazione , si chiama superficie cilindrica indefinita; -se la generatrice g è una semiretta avente l’origine sull’asse di rotazione, si chiama superficie conica indefinita. L’ampiezza dell’angolo acuto formato dalla generatrice e dall’asse di rotazione è detta semiapertura del cono. La retta a si chiama asse di rotazione e la linea g si chiama generatrice della superficie di rotazione. 

39. SOLIDI DI ROTAZIONE - Coniche Se la generatrice g è una retta incidente l’asse di rotazione a in un punto V e non perpendicolare ad esso si ottiene una superficie conica a due falde. Le sezioni di una superficie conica a due falde con un piano che non passi per il suo vertice V sono curve piane dette sezioni coniche o coniche ( parabola, ellisse, iperbole). 

40. a g SOLIDI DI ROTAZIONE D-La parte di spazio costituita dalla superficie di rotazione e da tutti i punti ad essa interni si chiama solido di rotazione. Ogni punto di g descrive una circonferenza. Tale circonferenza si chiamano parallelo della superficie. I paralleli si ottengono come sezione della superficie di rotazione con piani normali al suo asse di rotazione. Un piano passante per l’asse di rotazione interseca la superficie secondo due generatrici, simmetriche rispetto ad esso, dette meridiani.

41. h r C D C’ A B B’ Prisma triangolare inscritto nel cilindro SOLIDI DI ROTAZIONE CILINDRO Si dice cilindro retto il solido generato da un rettangolo nella rotazione completa attorno alla retta cui appartiene un lato, detta asse di rotazione. Il lato (su cui ruota) è l’altezza del cilindro mentre l’altro lato è il raggio di base che , nella sua rotazione , descrive un cerchio Il cilindro si dice equilatero se l’altezza è congruente al diametro di base (h= 2·r)

42. V a h A r O A’ cono retto SOLIDI DI ROTAZIONE CONO D-Si dice cono retto (cono) il solido generato da un triangolo rettangolo nella sua rotazione completa attorno ad una retta contenente un cateto ,ovvero la figura limitata compresa tra una superficie conica indefinita ed un piano perpendicolare al suo asse di rotazione. Il cateto su cui ruota il triangolo è l’altezza del cono. il cateto che descrive il cerchio di base è il raggio di base del cono. I segmenti che uniscono il vertice del cono con un punto qualsiasi della circonferenza di base sono congruenti Essi sono detti apotema del cono. L’apotema del cono è uguale all’ipotenusa del triangolo  Un cono retto si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro di base.( a= 2·r)

43. Piramide triangolare inscritta nel cono Prisma triangolare inscritto nel cilindro SOLIDI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI Una piramide retta si dice inscritta (circoscritta) a un cono se il suo vertice coincide con il vertice del cono e la sua base è inscritta (circoscritta) al cerchio di base del cono Una piramide regolare è inscrittibile e circoscrittibile ad un cono. Un prisma retto si dice inscritto (circoscritto) in un cilindro quando le sue basi sono inscritte (circoscritte ) nelle basi del cilindro. Un prisma regolare è inscrittibile e circoscrittibile ad un cilindro.

44. AL = area laterale AT =area totale a= apotema h =altezza r =raggio a h r CILINDRO E CONO Misura della superficie h r

45. O’ A’ B’ A O B Tronco di cono SOLIDI DI ROTAZIONE TRONCO DI CONO Si dice tronco di cono a basi parallele il solido generato da un trapezio rettangolo nella sua rotazione completa attorno ad una retta contenente il lato perpendicolare alle basi (altezza) ,ovvero l’intersezione di un cono con un semispazio che non contiene il vertice e che ha per origine un piano parallelo alla base. La base maggiore ed la base minore del tronco sono i cerchi descritti dalla base maggiore e dalla base minore del trapezio. La distanza tra le due basi è l’altezza del tronco di cono L’altezza del tronco è uguale all’altezza del trapezio La generatrice della superficie del tronco si chiama apotema. L’apotema è uguale al lato obliquo del trapezio

46. SOLIDI DI ROTAZIONE SFERA D-La sfera è il solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al proprio diametro Il centro e il raggio del semicerchio sono anche centro e raggio della sfera. D-La superficie sferica è il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso, detto centro   Un diametro della sfera è un segmento che passa per il centro avente gli estremi sulla superficie sferica. A r O

47. O B A Circonferenza massima linea geodetica SFERA Una circonferenza massima è l’intersezione di una superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera. Il centro di ogni circonferenza massima coincide con il centro della sfera. Per i due estremi di un qualunque diametro di una sfera passano infinite circonferenze massime Per due punti di una superficie sferica non allineati con il centro passa una ed una sola circonferenza massima. Si chiamalinea geodeticala linea di minima distanza tra due punti di una superficie sferica è l’arco di circonferenza massima passante per essi

48. r2 a h r1 r TRONCO DI CONO - SFERA Misura della superficie AL = area laterale AT =area totale S=superficie sfera a= apotema h =altezza r =raggio S = 4· p ·r2

49. cono e piramede equivalenti VOLUME DEI SOLIDI La misura di un solido si dice volume Due solidi si dicono equivalenti quando hanno la stessa estensione spaziale o uguale volume. . Solidi equiscomponibili sono equivalenti, ma non viceversa. Principio di Cavalieri - Se due solidi si possono disporre, rispetto a un piano dato, in modo che le loro sezioni con un piano parallelo a quello dato siano equivalenti, allora i due solidi sono equivalenti.

50. VOLUME DEI SOLIDI