PLS2 – MATEMATICA Dalla MAGIA dei QUADRATI … alla MAGIA delle IMMAGINI

1. PLS2 – MATEMATICA Dalla MAGIA dei QUADRATI … alla MAGIA delle IMMAGINI

2. Dalla MAGIA dei QUADRATI … alla MAGIA delle IMMAGINI Quadrati magici Matrici e determinanti Le immagini

3. Secondo una leggenda cinese, l'imperatore YU (circa 4000 anni fa) stava cercando di arginare una piena del fiume LO (affluente del Fiume Giallo) quando vide uscire dallo stesso fiume una tartaruga divina con dei misteriosi segni sul guscio. Tali segni furono studiati e, capito il messaggio, la piena del fiume fu arginata. Su quella tartaruga era presente il primo quadrato magico noto. La storia ci dice in realtà che YU il Grande fu il primo imperatore a costruire opere di gestione delle acque e fu il primo ad organizzare la Cina in uno stato diviso in Nove Province (i nove settori presenti sul carapace della tartaruga).

4. LO SHU ha le seguenti caratteristiche: • È un quadrato di numeri con somma costante 15 su ogni riga, colonna o diagonale; • Il numero centrale, il 5, è la media aritmetica di tutte le coppie di numeri opposti: • Se si moltiplica il numero centrale 5 per l’ordine del quadrato, cioè 3, si ottiene il valore della somma costante, cioè 15. E sempre il numero centrale moltiplicato per l’ordine, elevato al quadrato, è uguale alla somma totale dei numeri che compongono il quadrato magico: • 5x3=15e5 x 32= 45 • (Queste formule valgono per qualsiasi quadrato magico di ordine dispari e quindi anche per quadrati 5 x 5, 7 x 7 e così via.)

5. Lo studio dei quadrati magici nell’antichità è legato all’idea che potessero avere particolari virtù e perciò venivano utilizzati per costruire, ad esempio dei talismani (incisioni su placche d'oro o d'argento) impiegati come rimedi per guarire dalla peste … al mal d'amore.I quadrati magici erano sicuramente già noti in Cina nei primi secoli dopo Cristo; nel X secolo i cinesi conoscevano quadrati fino all'ordine 10. Quadrati magici si trovano anche nella cultura indiana. Il primo quadrato magico di ordine 4 venne realizzato dall'astrologo indiano Varahamihira nel VI secolo d.C. Un ben noto e antico quadrato magico fu trovato nel tempio di Parshvanath Jain a Khajuraho; datato X secolo, ha la particolarità che ogni sottoquadrato (ovvero ogni quadrato 2x2 in esso contenuto), ha lo stesso valore della costante magica, che è 34.

6. In Mesopotamia i primi quadrati magici di ordini 5 e 6 comparvero in un'enciclopedia di Baghdad che si fa risalire al 983 a.C., ma pare che alcuni più semplici fossero conosciuti da parecchi matematici arabi già in epoca precedente. La conoscenza di queste strutture giunsero in Europa relativamente tardi. Nel 1300, analizzando il lavoro dell’arabo Al-Buni, l’erudito bizantino greco Manuel Moschopoulos (circa 1265-1316) scrisse un trattato matematico a proposito dei quadrati magici, andando oltre il misticismo dei suoi predecessori. Si pensa che Moschopoulos fu il primo occidentale ad occuparsi dell‘argomento. Ritratto di Luca Pacioli Intorno alla metà del XV secolo l'italiano Luca Pacioli studiò i quadrati e raccolse tantissimi esempi.

7. Uno dei più famosi quadrati magici è sicuramente quello che compare nell’incisione di Dürer, Melancolia I.

8. Nel 1600 • Frenicle de Bessy (1605- 1665) matematico francese amico di Cartesio e Fermat calcolò nel 1663 il numero dei quadrati magici perfetti del quarto ordine: sono 880, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali. • Nel 1973 • - e solo grazie al computer - si riuscì ad estendere il risultato ai quadrati di ordine 5 che sono 275 305 224. • Ancora oggi non è noto il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6, ma siamo vicini alla soluzione. Secondo le più recenti indagini, dovrebbero essere circa 17miliardi di miliardi. Pierre De Fermat Resta comunque da risolvere il problema più generale: trovare la regola che consenta di determinare il numero di quadrati magici di un dato ordine n.

9. Si sa invece come calcolare la somma costante su righe, colonne e diagonali: essa è data dalla formula Nel tempo i matematici hanno cercato di passare alla terza dimensione, occupandosi di cubi magici perfetti, definiti come i cubi nei quali ogni quadrato è magico (ogni diagonale risulta magica e non soltanto le quattro diagonali principali). Il primo cubo magico perfetto, di ordine 7, con i primi 343 numeri disposti in modo che su ogni possibile riga, colonna o diagonale la somma è sempre 1204, venne scoperto soltanto nel 1866 da un missionario inglese, docente di matematica, il reverendo Andrew H. Frost. Andrew H. Frost (Hull 1819 - Cambridge 1907)

10. Il metodo per costruire un quadrato magico con n dispari è abbastanza semplice e viene spiegato qui di seguito. Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della fila superiore. Si compila la colonna seguente del numero uno (a destra) e ad una fila superiore. Se siete già alla fila superiore, si compila una colonna alla destra nella fila inferiore.

11. E se siete nella colonna di estrema destra, si compila il numero seguente nella colonna di estrema sinistra, una fila in su. Se il quadrato già è occupato da Un numero più piccolo, si posiziona Il numero seguente nel quadrato immediatamente sotto all'ultimo immesso. Si procede in tal maniera fino a comporre tutto il quadrato. Infine, si verifica che ogni fila, colonna e diagonale diano come somma algebrica lo stesso numero, in questo caso, 65.

12. La parola matrice deriva dal latino matrix-icis ed il suo significato è: “ciò da cui ha origine un fenomeno”, “radice”. In matematica è una tabella di numeri, ognuno dei quali è identificato dalla coppia di fattori che indicano rispettivamente la riga e la colonna della tabella in cui è collocato. I numeri che compaiono nella tabella si dicono elementi della matrice. La loro individuazione avviene attraverso la loro posizione di riga e colonna. Il primo indice è l'indice di riga mentre il secondo è l'indice di colonna. Ad esempio, il quadro di numeri : disposto su 3 righe e 5 colonne è una matrice 3 x 5.

13. Anche se il nome matrice è stato introdotto solo nella metà del 1800, i primi approcci con matrici e determinanti,relativi allo studio di sistemi di equazioni lineari risalgono già ai babilonesi che studiarono problemi con più equazioni lineari (ne è rimasta traccia in alcune tavole ritrovate). Il reperto più antico contenente una matrice come strumento di risoluzione di sistemi lineari è cinese, scritto tra il 300 a.C e il 200 d.C. Nel testo compare anche il concetto di determinante (per una matrice 2x2) ed è forse dovuto al matematico cinese Liu Hui nel 263.

14. In Occidente questi argomenti riapparvero e si svilupparono non prima del XVII secolo con l’apporto di Leibniz e Cramer che svilupparono la teoria a partire dalla fine del 1600. Successivamente vi lavorarono Gauss e Jordan che definirono l’algoritmo che prende il loro nome. Gottfried Wilhelm von Leibniz (Lipsia, 21 giugno 1646 – Hannover, 14 novembre 1716) Camille Jordan (Lione, 5 gennaio 1838 – Milano, 22 gennaio 1922) Carl Friedrich Gauss (Braunschweig,30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855)

15. Come abbiamo già detto, solo nella metà del 1800 J. J. Sylvester diede a questa struttura matematica il nome di “matrice”, nome che ritroviamo negli studi dei matematici che poi seguirono, tra i quali uno dei più importanti fu Hilbert con la sua trattazione dell'algebra delle matrici infinite. James Joseph Sylvester (Londra, 3 settembre 1814 – Londra, 15 marzo 1897) David Hilbert (Königsberg, 23 gennaio 1862 – Gottinga, 14 febbraio 1943)

16. Operazioni delle matrici • Due matrici A e B, entrambe di tipo , possono essere sommate. La loro somma A + B è definita come la matrice i cui elementi sono ottenuti sommando i corrispettivi elementi di A e B. Formalmente: (A + B)i,j: = Ai,j + Bi,j La moltiplicazione per uno scalare è un'operazione che, data una matrice A ed un numero c (detto scalare), costruisce una nuova matrice cA, il cui elemento è ottenuto moltiplicando l'elemento corrispondente di A per c; la matrice e lo scalare scelti devono appartenere allo stesso campo. Formalmente: • (cA)ij: = cAi,j.

17. La moltiplicazione tra due matrici A e B è un'operazione più complicata delle precedenti. A differenza della somma, non è definita sommando semplicemente gli elementi aventi lo stesso posto. • La moltiplicazione è definita soltanto se le matrici A e B sono rispettivamente di tipo mxn e nxp : in altre parole, il numero di righe di B deve coincidere con il numero n di colonne di A. Il risultato è una matrice di tipo mxp . Si possono ad esempio moltiplicare una matrice3x4 e una 4x2, ed il risultato è una matrice . Non si possono moltiplicare una 3x3 e una 4x3. • Il prodotto di A e B è la matrice C = AB di dimensione mxp , il cui elemento di posizione (i,j) è dato dalla somma

18. PROPRIETA’ • Le operazioni di somma e prodotto di matrici soddisfano tutte le proprietà usuali della somma e del prodotto di numeri, ad eccezione, nel caso del prodotto di matrici, della proprietà commutativa. • Sia 0 la matrice nulla, fatta di soli zeri (e della stessa taglia di A). Sia inoltre − A = ( − 1)A la matrice ottenuta moltiplicando A per lo scalare − 1. Valgono le relazioni seguenti, per ogni A,B,C matrici per cui queste operazioni hanno senso. • A + 0 = 0 + A = A (la matrice nulla è l'elemento neutro della somma) • A + ( − A) = 0 (esistenza di un inverso per la somma) • (A + B) + C = A + (B + C) (proprietà associativa della somma) • A + B = B + A (proprietà commutativa della somma) • (AB)C = A(BC) (proprietà associativa del prodotto) • (A + B)C = AC + BC (proprietà distributiva) • C(A + B) = CA + CB (proprietà distributiva) • Le prime 4 proprietà affermano che le matrici formano un gruppo abeliano rispetto all'operazione di somma. Come mostrato sopra, il prodotto non è commutativo in generale.

19. MATRICI QUADRATE • Fra le matrici, occupano un posto di rilievo le matrici quadrate, cioè le matrici nxn , che hanno lo stesso numero n di righe e di colonne. • La più importante matrice è forse la matrice identità In: è una matrice avente 1 su ogni elemento della diagonale e 0 altrove. La matrice è importante perché rappresenta l'elemento neutro rispetto al prodotto: infatti le matrici possono essere moltiplicate fra loro, e vale (oltre a quelle scritte sopra) la proprietà seguente per ogni A: • AIn = InA = A (elemento neutro del prodotto) • Nello spazio delle matrici sono quindi definiti una somma ed un prodotto, e le proprietà elencate fin qui asseriscono che l'insieme è un anello, simile all'anello dei numeri interi, con l'unica differenza che il prodotto di matrici non è commutativo.

20. DETERMINANTI • In algebra lineare, il determinante è una funzione che associa ad ogni matrice quadrata A uno scalare che ne sintetizza alcune proprietà algebriche. • Esso viene generalmente indicato con det(A) e a volte con | A | . • Il determinante è un potente strumento usato in vari settori della matematica: innanzitutto nello studio dei sistemi di equazioni lineari, quindi nel calcolo infinitesimale a più dimensioni (ad esempio nel Jacobiano), e poi nel calcolo tensoriale, nella geometria differenziale, nella teoria combinatoria, etc.

21. LE IMMAGINI Il calcolo matriciale, ovvero l'insieme delle operazioni che possono essere eseguite sulle matrici, è oggi utilizzato nello studio di molti problemi complessi soprattutto legato all’uso dell’informatica ed è fondamentale nella gestione della grafica digitale. L’icona di questo nuovo utilizzo delle matrici è la foto di Lena Sjööblom (31 marzo 1951) che non è una studiosa, ma semplicemente un'ex modella svedese, playmate del mese di novembre 1972 della rivista Playboy. Nel Maggio del 1997 è stata la madrina della conferenza indetta per i 50 anni di attività della Society for Imaging Science and Technology (IS&T). Ma come nasce questa nuova storia legata alle matrici.

22. Prendiamo, ad esempio, questa matrice quadrata 16x16 formata da numeri compresi tra 0 (nero) e 255 (bianco). Che cosa può rappresentare ? Se legata a problemi di grafica, può semplicemente indicare le tonalità di grigio presenti in una fotografia in bianco e nero. I numeri definiscono pixel per pixel la tonalità di grigio necessaria con 0corrispondente al nero e 255 al bianco. Questa matrice (anch’essa un quadrato magico nel suo genere) è in realtà la riproduzione di un’ opera di Escher.

23. Certo la foto è molto più bella ma sicuramente la matrice potrebbe risultare molto più affascinante… Se impariamo a modificare il valore numerico corrispondente al singolo pixel possiamo ottenere la modificazione dell’immagine

25. Sempre variando i valori numerici relativi ai pixel che formano un’immagine possiamo deformarla, capovolgerla, distorcerla.

27. Mediante la matrice di trasformazione la figura a fondo giallo si trasforma in quella a fondo verde… basta una matrice per deformare la figura. Partendo da questa idea si sono costruiti tutti i software di gestione e modifica delle immagini.

28. E se la foto è a colori? Ritroviamo qualcosa di simile ai cubi magici infatti… Nel 1931, una apposita commissione CIE (Commission Internationale dell’Eclairage) ha proceduto ad una standardizzazione dei tre colori primari, fissando i seguenti valori: B= 435.8 nm G= 546.1 nm R= 700 nm E quindi: Questa immagine a colori è rappresentata mediante la sovrapposizione di tre matrici nelle quali sono codificati i livelli di luminosità dei tre colori fondamentali rosso, verde, blu (RGB)

29. Infine i colori primari possono essere sommati a due a due in modo da produrre i cosiddetticolori secondari:

30. Bossa Aniello(5BL) Cozzolino Jessica(5BL) Cuciniello Maria(5BL) Giampaglia Laura(5BL) Iarrobino Antonella(5BL) Lisita Emanuela(5BL) Oliviero Pasquale(5BL) Tammaro Gennaro(5BL) Cataldo Vittoria(4BL) Cimmino Filomena Chiara(4BL) Niglio Vincenzo(4BL) Nocerino Filippo(4BL) Pignalosa Leopoldo(4BL) Maddaloni Laura(3BL) Esposito Valerio(4AL) Sannino Gianmauro(4AL) Maddaloni Rosario(3AL) Sorrentino Vincenzo(3AL) Hanno partecipato: Con la collaborazione di: Prof.ssa Norina Di Fiore Prof.ssa Rita Punzo

31. Sitografia e Bibliografia • Italo Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa: Problemi bizzarri - Paradossi algebrici e meccanici - Moto perpetuo - Grandi numeri - Curve e loro tracciamento meccanico - ecc., Hoepli - Milano, 1978. pp. 776 ISBN 8820304694 • http://it.wikipedia.org/ • http://www.matematicamente.it/ • Autore Coautore: Lamberti Lamberto, Mereu Laura, Nanni Augusta, Corso di matematica uno, due, tre - Editore: ETAS (RCS LIBRI) Codice ISBN: 884506199 • Autore: Prof. Salvatore Cuomo: Lezioni del corso PLS2 e SICSI (www.dma.unina.it)