第二讲（第二章）

第二讲（第二章） 数学证明与公理化体系

形式逻辑的奠基人 墨子 468-376 BC 亚里斯多德 384-322BC 公孙龙 325-250BC

数理逻辑的大师 莱布尼兹 1646-1716 布尔 1815-1864 怀特海德王浩 1861－1947 1921－1995

辩证逻辑的奠基人 黑格尔 1770－1831

集合论复习 • 集合与元素 2.有限集，空集与无限集 3.集合的并与交 4.等集，子集与真子集 5.两个集合的关系康托尔 1845 – 1918 6.全集与余集

与数有关的常见集合 • 自然数集合N • 整数集合Z • 有理数集合Q • 实数集合R • 复数集合C • 奇数集合；偶数集合； • 素数（也称“质数”）集合

概念―反映事物特有属性的思维形式 • 概念的“内涵”：指概念所反映的事物的特有属性。 • 概念的“外延”：指具有概念所反映特性的所有事物。 • 虚假概念

概念间的关系 • 全同关系 A = B • 从属关系即蕴含关系 • 交叉关系 • 全异关系

定义―揭示概念内涵的逻辑方法 定义的一般形式是： Ds 是 Dp 其中 Ds 代表被定义项， Dp 代表定义项。

公孙龙提出“白马非马”的命题 中国古代逻辑学家公孙龙指出：“马者，所以命形也；白者，所以命色也。命色者非命形也。故曰： ‘白马非马’。” 325-250BC

东京审判案例之一：战争定义 开庭不久，被告律师清濑一郎以中日直到1941年12月9日才宣战的事实，辩称在此之前，不存在战争，自然谈不上战争罪。向哲浚：“这是一个关于战争的正确定义的问题。从1931年9月18日起，日本就在中国采取了军事行动，杀死了数以万计的中国人，包括士兵和平民。 1937年7月7日，日本在卢沟桥发动了战争，一晚就杀死了几百人。随后，日本出兵中国各地，杀死了数以百万计的中国士兵、儿童、妇和手无寸铁的无助的平民。这些是全世界都知道的事实，如果这不是战争，我想问，那什么是战争？”

东京审判案例之二：智斗板垣 日本关东军的《奉天特务机关报》，该报首页盖有土肥原的名章。其中一页载有 “华南人士一闻土肥原和板垣之名，有谈虎色变之慨” 美籍辩护律师华伦：这个文件讲的是一只老虎，与案情无关，法庭应拒绝接纳作为证据。倪征燠：这是典型的偷换概念，因为“谈虎色变”中的“虎”已由“凶恶的老虎”引申为“令人害怕憎恶的人或事”。 “谈虎色变”是一句中国成语，意思是中国人一谈起土肥原、板垣两人，有如提到猛虎，足见这两人的凶恶。

关于东京审判的两段视频

纪录片选录：46年5月14日向哲浚法庭讲话

倪征燠舌战板垣征四郎

判断―对事物有所肯定或否定的思维形式 逻辑的主要作用是判断一个命题是否成立，非真即假。数学的重要功能也是证明一个命题是否成立。 “命题”必须是一个陈述句，而不能是疑问句或感叹句。一个命题有两种可能的取值：“真” （记为T)或“假”（记为F)，两者必居其一，也只居其一。

A、E、I、O 四种直言命题 全称肯定判断（A判断）：“所有的S都是P” 全称否定判断（E判断）：“所有的S都不是P” 特称肯定判断（I判断）：“有的S是P” 特称否定判断（O判断）：“有的S不是P”

两个表示量词的全称和特称的逻辑符号 ： “所有的”、“一切的” ：有的”、“存在着”

四种直言命题的关系 A 真 I 必真； I 假 A 必假 E 真 O 必真； O 假 E 必假 A、E 不同真; A、E 可同假 A、O 不同真也不同假 E、I 不同真也不同假 I、O 可同真；但 I、O 不可同假

东京审判案例之三：南京大屠杀举证

东京审判案例之三：南京大屠杀举证 证人罗伯特威尔逊，金陵医学院医生证人约翰·马奇，美国圣公会牧师

南京大屠杀

侵华日军南京大屠杀遇难同胞纪念馆

数学定理举例 数学定理举例费马大定理没有整数解当

数学定理举例 哥德巴赫猜想猜想1：如果一个偶数大于等于6，那么它一定可以表示为两个奇素数之和。猜想2：如果一个奇数大于等于9，那么它一定可以表示为三个奇素数之和。陈景润1933-1996

代数基本定理： 数学定理举例高斯1777-1855 在复数域内有且仅有n个根

定理的四种形式 正定理：如果P，那么Q；即逆定理：如果Q，那么P；即否定理：如果，那么；即逆否定理：如果，那么；即

必要条件和充分条件 必假，或无必无若Q假P ，则称为的必要条件若，P真Q也真，则称P为Q的充分条件，则称P为Q的充分必要条件

福尔摩斯的推理 柯南道尔1859-1933 “这一位先生，具有医务工作者的风度，但却是一副军人气概。那么，显见他是个军医。他是刚从热带回来，因为他脸色黝黑，但是，从他手腕的皮肤黑白分明看来，这并不是他原来的肤色。他面容憔悴，这就清楚地说明他是久病初愈而又历尽了艰苦。他左臂受过伤，现在动作品来还有些僵硬不便。试问，一个英国的军医在热带地方历尽艰苦，并且臂部负过伤，这能在什么地方呢？自然只有在阿富汗了。”

三段论的推理形式 • 由三个判断组成。第一个称为“大前提”，第二个称为“小前提”，第三个称为“结论”； • 一共包含也只能包含三个概念，每个概念在两个判断中各出现一次； • 在大小前提中出现而在结论中不出现的概念称为“中项”。

三段论的推理形式 • 大前提： M ── P （A判断） • 小前提： S ──M （ A判断） • ――――――――――――― • 结论： S ── P ( A判断）

东京审判案例之四：法官席梅汝璈争座位

东京审判最后判决

1948年11月12日韦勃庭长宣读最终判决 梅汝璈韦勃东条英机

法西斯头子东条英机被判死刑

南京大屠杀罪魁松井石根被判死刑

侵华特务头子土肥原贤二被判死刑

板垣征四郎、广田弘毅、木村兵太郎、武藤章被判死刑板垣征四郎、广田弘毅、木村兵太郎、武藤章被判死刑

执行绞刑

归纳推理 门捷列夫（1824-1907）的元素周期表开普勒（1571-1630）的天体运动定律

白居易的归纳推理 白居易（772-846） “赠君一法决狐疑，不用钻龟与祝蓍。试玉要烧三日满，辨材须待七年期。周公恐惧流言日，王莽谦恭未篡时。向使当初身便死，一生真伪复谁知？”

逻辑例题 某手机店失窃，赵、钱、孙、李四人涉嫌被调查。4人笔录如下：赵：“窃贼是孙”； S 钱：“窃贼是李”； L 孙：“如果我作案，那么李是主犯”； S→L 李：“我没有偷。” ￣非L 这四人只有一人说假话，判定以下哪项为真？ A. 赵说假话，窃贼是钱； B. 钱说假话，窃贼是孙； C. 孙说假话，窃贼是孙； D. 李说假话。窃贼是孙和李。钱、李矛盾，必有一假。若钱假，李真，由孙真，非L→非S, 与赵真矛盾，故李假，即D真。

常用逻辑判断的公式 矛盾律：，A或B必有一假；：，A或非A必有一真；排中律：命题与逆否命题等价：；；德摩根定理： De Morgan （1806-1871）。

数学常用证明方法之一：三段论推理 大前提：n次代数方程在复数域有且只n个根（代数基本定理）；小前提：是3次代数方程；结论：在复数域有且只3个根

代数基本定理： 数学定理的证明举例高斯1777-1855 在复数域内有且仅有n个根

求解三次方程的秘密诗 “一块蓝宝石卖了500金币，所得利润是其成本的立方根，求其利润”。塔塔利亚： “立方共诸物，和要写右边，巧设两个数，差值同右和；此法要牢记，再定两数积：诸物三之一，还把立方计；既知差与积，两数算容易，复求立方根，相减题答毕。”

三次方程的卡尔丹公式 A和B是一元二次方程的根

四次方程的求根公式 移项两边加上，两边再加解出y的两个根，就可得到x的四个根

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