z kladn kombinatorick principy
Download
Skip this Video
Download Presentation
Základní kombinatorické principy

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 25

Základní kombinatorické principy - PowerPoint PPT Presentation


  • 69 Views
  • Uploaded on

Základní kombinatorické principy. 1.1 Princip bijekce je vzájemně jednoznačné přiřazení prvků dvou množin: jedna množina pro nás může být nepřehledná a vztahy v ní dokážeme těžko postihnout, zatímco druhá množina je pro řešení problému přehledná

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about ' Základní kombinatorické principy' - kata


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
z kladn kombinatorick principy
Základní kombinatorické principy
  • 1.1Princip bijekce

je vzájemně jednoznačné přiřazení prvků dvou množin:

    • jedna množina pro nás může být nepřehledná a vztahy v ní dokážeme těžko postihnout, zatímco druhá množina je pro řešení problému přehledná
    • Známe-li tedy řešení na množině přehledné, známe i řešení na druhé množině.
    • Kombinatoricky: jestliže na první množině existuje právě m - řešení, pak na vzájemně jednoznačně přiřazené množině existuje také m - řešení.
    • Každému prvku z množiny A je přiřazen právě jeden prvek z množiny B.
    • Obě množiny musí být stejně početné, tj. #A = #B.
    • Symbol #A budeme chápat jako počet prvků množiny A.

V praxi to znamená, že si popis množiny můžeme zjednodušit nějakou analogií - představou na papíře

z kladn kombinatorick principy1
Základní kombinatorické principy
  • 1.2 Kombinatorické pravidlo o součinu

Máme vybrat k prvků:

    • první prvek vybíráme z konečné neprázdné množiny s počtem prvků #A1
    • druhý prvek vybíráme z konečné neprázdné množiny s počtem prvků #A2
    • třetí prvek ... s počtem prvků #A3
    • ...
    • poslední, k-tý prvek, vybíráme z konečné neprázdné množiny s počtem prvků #Ak
  • pokud výběr každého z prvku je nezávislý na výběru ostatních prvků, existuje celkem (#A1 · #A2 · . . . · #Ak) různých možností, jak vybrat tyto prvky
p klad na kombinatorick pravidlo o sou inu
Příklad na Kombinatorické pravidlo o součinu

V restauraci mají na jídelním lístku uvedeno

3 polévky, 6 hlavních jídel a 2 moučníky.

Kolika způsoby lze sestavit menu ze všech třech chodů?

  • Výběr polévky je nezávislý na výběru hlavního jídla i moučníku, totéž platí o dalších chodech, proto použijeme kombinatorické pravidlo o násobení:
  • N = 3*6*2 = 36 možností, jak sestavit menu
z kladn kombinatorick principy2

A

B

Lichá čísla

1,3,5

prázdný

průnik

ø

Sudá čísla

2,4,6

Základní kombinatorické principy
  • 1.3Kombinatorické pravidlo o součtu

Předpokládejme, že máme k disjunktních množin

    • potom sjednocení těchto množin má právě

#A1 + #A2 + . . . + #Ak prvků.

Disjunktní množiny mají prázdný průnik

p klad 1 na kombinatorick pravidlo o sou tu
Příklad 1 na Kombinatorické pravidlo o součtu
  • V restauraci mají na jídelním lístku uvedeny tyto počty hlavních jídel: bezmasá jídla (3), ryby (2), drůbež (2), vepřové maso (5), hovězí maso (4).
    • Kolik dní můžete chodit do této restaurace, abyste jedli každý den jiné jídlo?
  • Řešení:

Protože se jedná o disjunktní množiny, použijeme pravidlo

o součtu:

N = 3 + 2 + 2 + 5 + 4 = 16 dní

z kladn kombinatorick principy3

A

B

průnik

2

Sudá čísla < 10

2, 4, 6, 8

prvočísla < 10

1, 2, 3, 5, 7

Základní kombinatorické principy
  • 1.4Součet prvků obecných množin
    • Uvažujme množinu A a množinu B, které mají neprázdný průnik.
    • Pokud sečteme prvky každé množiny, pak společné prvky jsme sečetli dvakrát, proto je jednou musíme odečíst:
    • # (A ∪ B) = # A + # B - # (A ∩ B)
    • {1, 2, 3, 5, 7} + {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
    • 2 musíme odečíst
p klad na sou et prvk obecn ch mno in

A

N

5

3

5

Příklad na Součet prvků obecných množin
  • Ve třídě je 16 studentů.
  • Z celkového počtu mluví aktivně 10 anglicky a 8 německy.
  • 5 studentů zvládá aktivně oba jazyky.
    • Určete, kolik studentů mluví jen anglicky nebo jen německy
    • Kolik studentů nemluví aktivně žádným z těchto dvou jazyků
    • Kolik studentů mluví aktivně nějakým jazykem?
kombinatorika p klad
Kombinatorika - příklad
  • Když se bude státní vlajka skládat ze tří svislých pruhů v barvách červená modrá a bílá, kolika způsoby lze pruhy uspořádat?
    • Řešení:
      • červená může být na 1., 2. nebo 3. místě
      • modrá po umístění červené může být na 2-3, 1-3 nebo 1-2 místě
      • bílá barva bude na místě zbývajícím
    • Počet možností vypočteme jako 3*2*1 = 6
    • Jinými slovy - aby se kombinace neopakovala, každá barva může být na jednom ze tří míst jen dvakrát: 2+2+2 = 6

č m b č b m

m č b b č m

b m č m b č

  • Kdyby se jednalo o 4 různé barvy (žlutá, červená,modrá,bílá):
    • každá barva může být na 1 ze 4 míst 6x, tj. 6+6+6+6 = 24 možností
    • Vypočteme také jako počet umístění žluté (4) * počet umístění červené (3)

* počet umístění modré (2) * 1, protože bílé barvě zbude poslední místo

tj. 4*3*2*1 = 24

variace kombinace a permutace
VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE
  • 2.1Permutace

Máme n - různých přihrádek, n -různých předmětů

(počet různých předmětů je stejný jako počet různých přihrádek)

    • Každý předmět můžeme umístit právě do jedné přihrádky

a záleží na pořadí předmětu (jedná se o uspořádaný výběr)

    • Je zřejmé, že 1. předmět můžeme umístit do jedné z n přihrádek,2.předmět již jen do jedné z n-1 přihrádek, protože jsme již jednu vyčerpali, 3. předmět do jedné z n-2 přihrádek …
    • Poslední n-tý předmět pak můžeme umístit jen poslední n-té přihrádky

S odvoláním na pravidlo o násobení můžeme vyjádřit počet způsobů umístění různých předmětů do různých přihrádek (záleží na pořadí) jako: P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) * . . . · 2 * 1

To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

variace kombinace a permutace1
VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE
  • 2.2 Variace bez opakování

Máme n - různých přihrádek, k -různých předmětů

    • každý předmět chceme umístit právě do jedné přihrádky

a záleží na pořadí předmětu (jedná se o uspořádaný výběr)

    • Předpokládejme, že n > k (jinak stačí zaměnit pojem přihrádka a předmět)
    • Je zřejmé, že 1. předmět můžeme umístit do jedné z n přihrádek,2.předmět již jen do jedné z n-1 přihrádek, protože jsme již jednu vyčerpali, 3. předmět do jedné z n-2 přihrádek …
    • Poslední k-tý předmět pak můžeme umístit jen do n-k+1 přihrádek, jež zbyly prázdné.

S odvoláním na pravidlo o násobení můžeme vyjádřit počet způsobů,

jimiž lze danou úlohu vyřešit jako:

Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1)

variace kombinace a permutace2
VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE
  • 2.1Permutace

P(n) = n * (n - 1) * (n - 2) * . . . * (n-n+1)

To odpovídá zápisu, ve kterém využíváme faktoriál:

Jedná se o vzorec pro počet permutací z n prvků bez opakování.

  • 2.2 Variace bez opakování

Zápis: Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1)

Zapíšeme pomocí faktoriálů:

Jedná se o vzorec pro počet variací k-té třídy z n prvků bez opakování.

p klad na permutace
Příklad na Permutace
  • Kolik různých slov vznikne přesmyčkou písmen ve slově POPOKATEPETL*?
  • Řešení: Celkem písmen: 12

Pokud by byla všechna písmena rozdílná, počet různých slov bychom vypočetli jako násobek 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1

Protože se některá písmena opakují, počet možností je menší

    • tolikrát, kolik různých možností bychom z nich udělali, kdyby byla rozdílná: pro dvě stejná písmena: počet možností se zmenší 2! krát

pro tři stejná písmena: počet možností se zmenší 3! krát

Četnost písmen ve slově: P 3x, O 2x, K 1x, A 1x, T 2x, E 2x, L 1x

Počet možných slov: = 9 979 200

* Z aztéckého popoka - dýmati, tepetl - hora. Činná sopka ve střední části Mexika. Poslední erupce v roce 1932.

p klad na variace bez opakov n
Příklad na Variace bez opakování

Parkoviště má 10 míst pro osobní vozy. Zaměstnanců firmy je 6.

  • Kolika způsoby může být zaparkováno všech devět aut zaměstnanců?

1. zaměstananec si může auto zaparkovat na libovolné místo z 10, 2. zaměstnanec už vybírá jen z 9 míst, 3. z osmi, 4. ze sedmi, 5. z šesti a šestému zbývá pět míst, kam může zaparkovat svůj vůz.

Obecný zápis : Vk(n) = n * (n-1) * (n-2) * . . . * (n-k+1)

Výpočet: 10*9*8*7*6*5 = 151 200

Existuje 151 200 způsobů parkování 6 vozů na 10 parkovacích místech

pomocí faktoriálů:

p klad
Příklad
  • Ve školce připravili pro děti 16 jogurtů, ale většina dětí onemocněla a zbývajících 5 dětí si mohlo vybrat z 5 jahodových, 6 meruňkových, 5 borůvkových jogurtů (3 druhy).
  • Určete kolika způsoby může dostat každé z dětí 1 jogurt ke svačině.

Řešení:

    • Každé dítě může dostat na výběr ze 3 druhů jogurtů.
    • n = 3 druhů … analogie s Variacemi bez opakování: přihrádka - některé druhy zbydou
    • k = 5 dětí … analogicky předmět - všechny děti dostanou jogurt

Počet možností vypočteme násobením počtu možných jogurtů pro každé z 5 dětí: 3 * 3 * 3 * 3 * 3

vyjádřeno pomocí mocniny: 3 5 = 243

variace kombinace a permutace3
VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE
  • 2.3 Variace s opakováním

Máme n - různých druhů prvků a k - různých objektů

Chceme přiřadit každému objektu některý druh prvku. Můžeme přiřadit stejný druh prvku, protože jich máme dostatek (prvky se mohou opakovat).

    • Pokud přiřazujeme objektům různé druhy prvků, záleží na pořadí.

1. objektu můžeme přiřadit jeden z n druhů prvků, 2. objektu opět jeden z n druhů prvků, 3. objektu také jeden z n druhů prvků ….

Poslednímu k-tému objektu můžeme vybrat prvek stále z n druhů.

    • S odvoláním na pravidlo o násobení můžeme vyjádřit počet řešení:

Vzorec pro počet variací k-té třídy z n-druhů prvků s opakováním.

p klad na variace s opakov n m
Příklad na Variace s opakováním
  • Typickou úlohou je výpočet možností, které skýtá morseova abeceda
    • Má dva druhy znaků - tečka, čárka
    • Písmena tvoří z 1, 2, 3 nebo 4 objektů (znaků), číslice ze 4 nebo 5 objektů (znaků)

pro jednoznaková písmena - 2 možnosti: •, ̶

pro dvouznaková písmena - 4 možnosti: • ̶ , ̶ •, ••, ̶ ̶

pro tříznaková písmena - 8 možností: ̶ ̶ ̶ , ̶ ̶ •, ̶ • ̶, • ̶ ̶,

•••, •• ̶ , • ̶ •, ̶ ••

pro čtyřznaková písmena (čísla) - 16 možností: analogicky

pro pětiznaková čísla - 32 možností: analogicky

Počet možností vypočteme podle vzorce pro Variace s opakováním, tj.

kde n = 2 (dva různé znaky) a k = 1, 2, 3, 4, 5 objektů

Počet možných variací v morseově abecedě je tedy:

21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62

p klad na variace s opakov n m1
Příklad na Variace s opakováním
  • Ve škole píší děti test. Skládá se z 5 otázek a pro každou otázku jsou uvedeny 4 odpovědi, ale jen jedna je správná.
  • existují tedy 4druhy odpovědí

Určete kolika způsoby mohou děti náhodně vyplnit test bez ohledu na to, zda odpovídaly správně.

Určete pravděpodobnost, že dítě zodpovědělo všechny otázky správně.

Řešení:

    • n = 4 druhů odpovědí (A, B, C, D)
    • k = 5 otázek (objektů)

Počet variací vypočteme násobením počtu možností pro každou z 5 otázek: 4 * 4 * 4 * 4 * 4

vyjádřeno pomocí variací s opakováním: V*5(4) = 4 5 = 1024

  • Jen jednavarianta je úplně správná. Pravděpodobnost, že nastane je: 1/1024 = 0,00098
variace kombinace a permutace4
VARIACE, KOMBINACE a PERMUTACE
  • 2.4 Kombinace

Máme n - různých přihrádek a k - nerozlišitelných předmětů

a platí, že n > k

    • chceme přiřadit každému předmětu právě jednu přihrádku, ale nezáleží na tom, kterou přihrádku předmět obsadí
    • Vyjdeme ze vzorce 2.2 pro variace bez opakování

ale počet kombinací bude tolikrát menší, kolik variant navíc dovolovalo k -různých předmětů, tj. k!

Jedná se o vzorec pro počet kombinací k-té třídy z n - prvků

Kombinace (angl. COMBINATION) představují neuspořádaný výběr

p klad na kombinace
Příklad na KOMBINACE
  • Šatnářka má volných posledních 12 věšáků, ale čísla z nich má pomíchané na hromádce. Ve frontě s kabáty stojí 5 lidí. Vezme vždy náhodně číslo – nezáleží jí na tom, které.
    • Kolika kombinacemi může umístit na volné věšáky všech pět kabátů?

Záleží jen na tom, které věšáky budou obsazené a které prázdné, nezáleží na tom, kde bude viset který kabát.

    • Řešení:
    • Pro výpočet použijeme vzorec
    • Po dosazení:
kombina n slo
KOMBINAČNÍ ČÍSLO
  • Základní vzorec:
  • Další pravidla pro počítání s kombinačními čísly:
pravd podobnost kombinace
PRAVDĚPODOBNOST, KOMBINACE
  • Příklad 12
  • Mezi 8 bezvadných výrobků se přimíchaly 3 zmetky. Náhodně byly vybrány 2 výrobky.
      • Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné?
      • Jaká je pravděpodobnost, že je právě jeden vadný?
      • Jaká je pravděpodobnost, že je alespoň jeden vadný?
e en p kladu 12 pomoc kombinatoriky
Řešení příkladu 12 pomocí kombinatoriky
  • Vypočteme počet možností, jak vybrat 2 výrobky z 11 celkem

- jedná se o kombinace 2 prvků z 11 C2(11) = 55

  • počet možností, že vybereme 2 bezvadné výrobky C2(8) = 28
  • počet možností pro 1 vadný a 1 bezvadný C1(8)*C1(3) = 24
    • Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné? p = 28/55 = 0,509
    • Jaká je pravděpodobnost, že je jeden vadný? p = 24/55 = 0,436
    • Jaká je pravděpodobnost, že je alespoň jeden vadný?

p = 1 - 0,51 = 0,491

e en p kladu 12 pomoc kombinatoriky rozeps n vzore k
Řešení příkladu 12 pomocí kombinatoriky - rozepsání vzorečků
  • Jaká je pravděpodobnost, že jsou oba bezvadné?

jedná se o podíl počtu možností výběru 2 bezvadných výrobků a všech možností

  • Jaká je pravděpodobnost, že je jeden vadný?
e en p kladu 12 pomoc pravd podobnosti
Řešení příkladu 12 pomocí pravděpodobnosti
  • Vypočteme pravděpodobnost toho, že oba budou bezvadné, tj. 1. výrobek vybereme s p-ností 8/11 (8 bezvadných z celkem 11 výrobků)

a 2. výrobek s p-ností 7/10 (zbylo 7 bezvadných a celkem 10 výrobků):

  • Pravděpodobnost, že bude jeden vadný, vypočteme analogicky:

První vybraný výrobek vybíráme z 11 výrobků - je bezvadný, druhý bude vadný vybraný z 10 výrobků. Nebo první bude vadný vybraný z 11 výrobků a druhý bezvadný vybraný z 10 výrobků. Obě pravděpodobnosti musíme sečíst.

  • Pravděpodobnost, že bude alespoň jeden vadný, vypočteme
p klad pravd podobnost kombinace a variace s opakov n m
Příklad: Pravděpodobnost, kombinace a variace s opakováním
  • Ve skříni je naházeno 5 párů střevíců. Tatínek jde potmě, aby nevzbudil děti a potřebuje si vybrat aspoň jeden pár bot. Namátkou tedy vybere 4 střevíce a doufá, že alespoň 2 půjdou do páru.
    • Jaká je pravděpodobnost, že se mu to podaří?
    • Jaká je pravděpodobnost, že neuspěje?
  • K řešení použijte selský rozum.

reseny_priklad_strevice.xls

ad