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1. Ahora nos vamos a meter en temas más profundos… Despeja tu mente…. Líbrate de prejuicios… No desesperes; opón tesón ante la perplejidad… Y si, a pesar de todo, no entiendes nada… no te aflijas pues, a fin de cuentas, todo esto no es más que teoría que muy probablemente nunca llevarás a la práctica… ya que,para eso, es necesario poseer un barco en condiciones para una navegacion oceánica… Empieza pues con la… NAVEGACIÓN ASTRONÓMICA clic 1

2. NAVEGACIÓN ASTRONÓMICA: De las coordenadas geográficas De las coordenadas azimutales De las coordenadas horarias De la variación de las coordenadas horarias de un astro a lo largo de un día De la Eclíptica Del Zodiaco De las coordenadas Uranográficas Ecuatoriales De las coordenadas horarias del sol De las coordenadas horarias de las estrellas Del triángulo de posición astronómica De las fórmulasque determinan el triángulo de posición astronómica La derrota ortodrómica Funciones trigonométricas fundamentales, triángulo de derrota ortodrómica, correcciones a los horarios en Greenwich de los astros RECTA DE ALTURA Del Polo de iluminación y del círculo de alturas iguales De la recta de altura Del modo de situarse con una recta de altura a partir de una situación de estima Del modo de situarse con dos rectas de altura simultáneas Del modo de situarse con dos rectas de altura no simultáneas De la altura meridiana De las estrellas De cómo se hace una recta de altura Más de cómo situarse con dos rectas de altura 1ª PARTE 2ª PARTE 3ª PARTE 4ª PARTE Siguiente 2

3. De cómo calcular la altura estimada de un astro De las utilidades de una sola recta de altura De las fórmulas Del cálculo de la latitud con una recta de altura meridiana Del cálculo de la latitud por una observación de la P Método para calcular la longitud a partir del hl y del hG De la medida del tiempo Cálculo del intervalo navegado hasta el momento de una efeméride astronómica estando el buque en movimiento Cálculo del intervalo hasta el momento del paso del sol por el meridiano superior DE LAS CORRECCIONES De las correcciones a las horas del orto y ocaso Cálculo de la corrección total por una observación de la P Cálculo de la corrección total por la observación del azimut del sol en el momento del orto u ocaso Cálculo de la corrección total con la fórmula del azimut verdadero Cálculo de la corrección de la altura instrumental de un astro Paso de la altura del sol limbo superior a la altura del sol limbo inferior 4ª PARTE 5ª PARTE 6ª PARTE 7ª PARTE Siguiente

4. Pues, caballeros, ya tenemos situado al sol o estrella que nos interesa con sus coordenadas horarias, es decir; la declinación, el horario y nuestra latitud que “estimamos” es la correcta después de una singladura. Latitud de estima, coordenadas horarias, junto con las coordenadas azimutales nos permitirán construir un triángulo de posición astronómica… ¿...? … El triángulo de posición astronómica es una forma gráfica de explicar cómo están interrelaccionados estos dos tipos de coordenadas, de tal manera que conociéndo algunos de sus elementos podamos deducir matemáticamente los que faltan, bien sea la altura, el azimut, el horario o la declinación. El fin último del triángulo de posición astronómica es deducir las fórmulas de trigonometría esférica que nos permiten situar un astro en relación con sus coordenadas horarias o azimutales, es decir: nos permitirán averiguar la altura, declinación, horario o azimutque tendría el sol o un astro en nuestra situación de estima.Esto es muy importante porque es el fundamento de la recta de altura, que es la “herramienta” que se utiliza para situarse uno en la Mar cuando no se está a la vista de la costa. La recta de altura la veremos más adelante. Ahora vamos a ver el triángulo de posición astronómica y vamos a deducir las formulas de trigonometría esférica que nos interesan. BOQUERÓN II Clic 35 Índice

5. Imaginemos el planeta… el plano del ecuador y el polo Norte… Azimut = Rumbo para ir al punto astral E E W W Pn …Un observador que está en una determinada latitud, su meridiano superior, es decir, el que pasa por los polos y por su posición, y su horizonte … h N Z …El polo de iluminación de una estrella… Azimut sus coordenadas Azimutales: altura y Azimut… Latitud declinación …Y sus coordenadas horarias: declinación y horario. Altura Ecuador horario Horizonte s Clic Clic Clic Clic Clic Clic Clic Clic Clic Clic 36 Índice

6. Pues bien, el triángulo de posición astronómica es el comprendido entre estos tres puntos: polo, observador y estrella. E E W W Pn h Podemos deducir el valor de cada uno de esos tres lados, (a, b, c) del triángulo de posición astronómica: c N a Z b Vemos que el lado “a” es la codeclinación , también llamada distancia polar; es la distancia del astro al polo, es decir; es el arco del ángulo complementario de la declinación. Recordemos que dos ángulos son complementarios cuando su suma vale 90º. Declinación + a = 90º ⇒ a = 90 - declinación 90 - l 90-a 90 - d Latitud l Azimut d a declinación Altura El lado “c” es la colatitud; es la distancia del observador al polo, es decir; es el arco del ángulo complementario de la latitud: Latitud + c = 90º ⇒ c = 90 - latitud Ecuador horario Horizonte El lado “b” es la distancia Zenital; es la distancia de la estrella al Zenit, es decir; el arco del ángulo complementario de la altura: Altura + b = 90º ⇒b = 90 - altura Clic Clic Clic Clic Clic Clic Clic Clic Clic Clic 37 Índice

7. El triángulo de posición tiene tres ángulos: Pn h c N a E W Z b Azimut 90-a l a Altura E W Horizonte S Pn h c a b 90 - d Latitud d declinación horario Ecuador Clic Clic 38 Índice

8. El triángulo de posición tiene tres ángulos: Pn E Pn W p “P” o ángulo en el polo,se mide sobre el ecuador: esel horario oriental u occidental. No puede ser mayor de 180º Pn N E W Z “Z” o ángulo cenital, se mide sobre el horizonte:es igual al azimut contado desde el punto cardinal correspondiente al polo elevado (es decir; el polo de la latitud) Latitud Azimut declinación l horario a Altura Ecuador Horizonte “A” o “ángulo de posición” también llamado “paraláctico”, que no se considera casi nunca… S A Clic Clic Clic 39 Índice

9. Conocido el triángulo de posición, se pueden deducir las fórmulas que nos permitan hallar los valores de la altura, la declinación, el horario y el azimut… E E W W CÁLCULO DE LA FÓRMULA DE LA ALTURA Sabemos la fórmula del coseno que dice lo siguiente: “El coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos, más el producto de los senos por el coseno del ángulo comprendido entre ellos” De tal manera que para hallar el valor del lado 90 – altura del triángulo de posición astronómica, quedaría de la siguiente manera También deberíamos saber que “La función trigonométrica de un ángulo es igual a la función trigonométrica opuesta del ángulo complementario” (haz clic para ver). Ya hemos dicho que un ángulo es complementario de otro cuando sus suma vale 90º. Ejemplo: Cos90-latitud = senlatitud Si sustituimos los valores de la fórmula por las funciones trigonométricas opuestas de los ángulos complementarios tenemos que: Pn h N 90 - l 90 - l Z 90 - d El coseno de este ángulo es igual… 90-a Latitud …al seno de este, que es su complementario Latitud 90º Azimut declinación Altura Ecuador horario Clic Clic Clic Clic Clic Clic 40 Horizonte Índice

10. CÁLCULO DE LA FÓRMULA DECLINACIÓN Si queremos hallar la declinación del astro: Con ángulos complementarios: CÁLCULO DE LA FÓRMULA DEL AZIMUT También se puede emplear la fórmula de la cotangente: “La cotangente de un lado por el seno del otro es igual al coseno de este por el coseno del ángulo comprendido más el seno de este ángulo por la cotangente del ángulo opuesto” Con ángulos complementarios: Clic Despejando cotgAz: 41 Índice

11. CÁLCULO DE LA FÓRMULA DEL HORARIO Sena = senl · send + cosl · cosd · cosh Partiendo de la fórmula de la altura: Sena = senl · send + cosl · cosd · cosh Despejamos cosh - Otra fórmula del horario, conociendo el azimut Y otras fórmulas de uso común Clic Clic Clic 42 Índice

12. Esta es la hoja del Almanaque Náutico del 30 de marzo del 2002. En él vemos: h☉G y su declinación correspondientes a cada hora en punto. Lógicamente en una hora el horario varía 15º y en las 24 h del día lo hace en 360º. También vemos que los datos de la declinación y horario tienen en cuenta las diferencias de declinación y de horario al cabo del día debidas al movimiento de traslación de la tierra alrededor del sol, de forma que la declinación no es constante a lo largo del día, ni el horario varía de 15 en 15 grados exactos También tenemos el h♈G, tabuladode hora en hora Y los horarios en Grennwich y las declinaciones de Venus, Marte, Júpiter y Saturno Cuando se habla de horarios hay quien los expresa así h☉G = horario del sol en Greenwich O así: hG☉ = horario en Greenwich del sol… Es lo mismo: el orden en que se escriba no influye en el significado pues SIEMPRE los horarios están medidos desde el meridiano de Greenwich, o desde el meridiano del lugar: h☉G = hG☉ h☆G = hG☆ h☉l = hl☉ h☆l = hl☆ Clic Clic Clic Clic 43 Índice Volver correcciones de horarios en greenwich

13. CLIC DERROTA ORTODRÓMICA Índice

14. Todos sabemos que la distancia más corta entre dos puntos es la línea recta, pues bien; sobre una esfera la distancia más corta entre dos puntos es el arco de círculo máximo que pasa por esos dos puntos… B 80º 80º 70º 70º 60º 60º 50º 50º 40º 40º 30º A 30º 20º 20º 10º 0º 10º Como ya sabemos un círculo máximo es aquel cuyo plano pasa por el centro de la esfera. Cualquier otro círculo menor que une a esos dos puntos y cuyo plano no pase por el centro de la esfera implica una distancia mayor. Meridianos y ecuador son círculos máximos. Los paralelos no lo son. La derrota ortodrómica (de orthos = recto, y de dromos = carretera) exige que se cambie constantemente de rumbo pues el ángulo que hace este con los meridianos va cambiando constantemente a su vez., salvo que se esté navegando a lo largo de un meridiano o del ecuador. Veamos este ejemplo: El barco quiere ir desde A hasta B, Al seguir el círculo máximo que pasa por ambos puntos se ve que el barco parte con Rumbo de componente S para acabar con un Rumbo de componente N Biografía Adelantaré que en una carta mercatoriana (las de uso común) la derrota ortodrómica se representa con una curva, y que en una carta gnomónica se representa por una recta. Rumbo ortodrómico A B clic clic clic clic clic clic Biografía Índice

15. Vamos a ver un poco de trigonometría: las Funciones Trigonométricas Elementales. Para ello imaginamos un círculo, sus cuadrantes, su centro “O” y un vector que, partiendo de “O”, corta el perímetro del círculo en el punto “P” Este vector es el Rádio (“R”) del círculo, al cual le vamos a dar el valor de la unidad. Este vector tiene un ángulo ά con uno de los lados de un cuadrante (escogemos uno al azar; por ejemplo el lado OQ) CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC Pues bien: El seno de ά es el vector PQ Cosecante El coseno de ά es el vector OQ T’ Cotangente S’ La tangente de ά es el vector ST S P La Secante de ά es el vector OS Tangente Secante La Cotangente de ά es el vector S’T’ Seno ά R = 1 O Coseno Q T La Cosecante de ά es el vector OS’ Índice

16. Hay que saber que: La función opuesta del seno es el coseno. La función opuesta del coseno es el seno. La función opuesta de la tangente es la cotangente. Y existe una propiedad de las funciones trigonométricas que se utiliza en la resolución de las ecuaciones de trigonometría esférica que es la siguiente: La función trigonométrica de un ángulo es igual a la función trigonométrica opuesta del ángulo complementario. Dos ángulos son complementarios cuando su suma vale 90º Ejemplo: sen 30º = cos 60º ; cos 30º = sen 60º ; tg 30º = ctg 60º Se da el nombre de derrota ortodrómica entre dos puntos de la superficie terrestre a la que sigue un barco navegando sobre el menor arco del círculo máximo que pasa por ellos. Un círculo máximo es aquel cuyo plano pasa por el centro de la esfera. Los meridianos son círculos máximos y el ecuador también. Los paralelos no lo son. La distancia más corta entre dos puntos situados en una superficie esférica está determinada por el círculo máximo que pasa por dichos puntos ya que al tener el mayor radio implica tener el arco de menor curvatura y, por tanto, se aproxima más a la línea recta. Cualquier arco de círculo que una esos dos puntos y cuyo plano correspondiente no pase por el centro de la esfera, tiene una longitud mayor que la del arco del círculo máximo. La diferencia entre la distancia loxodrómica y ortodrómica se llama GANANCIA y esta es nula cuando se navega siguiendo un meridiano o el ecuador. Esta “ganancia” llega a ser importante en largas travesías oceánicas, sobre todo en altas latitudes, cuando los puntos de salida y llegada corresponden al mismo paralelo o hay poca diferencia de latitud. Esto ocurre porque en la derrota loxodrómica el ángulo con que se cortan los meridianos al seguir el rumbo es constante, mientras que en la ortodrómica ese rumbo varía. Para seguir una derrota ortodrómica es necesario cambiar constantemente el rumbo salvo en el caso de que se navegue sobre un meridiano o el ecuador. El ángulo que forma la derrota ortodrómica con el meridiano en el punto de partida recibe el nombre de RUMBO INICIAL. Al no ser posible cambiar constantemente el rumbo, la navegación se efectúa siguiendo una serie de pequeñas loxodrómicas. CLIC Índice

17. TRIÁNGULO DE DERROTA ORTODRÓMICA Es un triángulo esférico que tiene unos datos conocidos a partir de los puntos A – B, de salida y llegada. CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC CLIC P L El Lado AP lo podemos conocer si conocemos la latitud del punto de salida A 90 - lB 90 - lA Rf B Igual para el lado BP Distancia Ortodrómica Ri lB A También conocemos el ángulo L, que es la suma de LA (W) y LB (E), al incluir, en este caso, el meridiano de Longitud cero. Q’ Q lA W E 0º LA LB ∆L = LA + LB Las incógnitas son el lado AB, y los ángulos que forma con sus lados contiguos, es decir; DISTANCIA ORTODRÓMICA (Do), RUMBO INICIAL (Ri) y RUMBO FINAL (Rf). P’ Índice

18. Los triángulos esféricos se resuelven por tres fórmulas: Senos ( que no veremos), Cosenos y Cotangentes ( que sí veremos). FÓRMULA DEL COSENO “El coseno de un lado es igual al producto de los cosenos de los otros dos, más el producto de los senos por el coseno del ángulo comprendido entre ellos” Sabemos que: “La función trigonométrica de un ángulo es igual a la función trigonométrica opuesta del ángulo complementario.” Transformamos en funciones trigonométricas opuestas de los ángulos complementarios: CLIC FÓRMULA DE LA COTANGENTE “La cotangente de un lado por el seno del otro es igual al coseno de este por el coseno del ángulo comprendido más el seno de este ángulo por la cotangente del ángulo opuesto” Lo que transformado en ángulos complementarios queda: Despejando Ri: Índice

19. CÁLCULO DEL RUMBO INICIAL (Ri) Y DE LA DISTANCIA ORTODRÓMICA (Do) Partimos de una situación de salida: l y L Y de una situación de llegada: l’ y L’ Siempre se restan los datos de la situación de salida de los datos de la situación de llegada. Es decir: l’ – l y L’ – LSe establecen los signos de la siguiente manera: N (+) ; S (-) ; E (+) ; W (-) CÁLCULO DEL Ri CLIC Si cotgRi = + Ri = N Si cotgRi = - Ri = S hacia el E ó W según sea ∆L hacia el E ó W Índice

20. CÁLCULO DE LA Do A B CLIC A = (+) si l y l’ tienen = signo A = (-) si l y l’ tienen # signo B = (+) si ∆L < 90º B = (-) si ∆L > 90º Si cosDo = (+) entonces Do < 90º Si cosDo = (-) entonces Do > 90º Índice

21. EJEMPLO DE PROBLEMA DE DERROTA ORTODRÓMICA Calcular Rumbo inicial y distancia ortodrómica: En situación de salida l y L Situación de llegada l’ y L’ l’ = 20 – 00,0 N L’ = 120 – 00.0 E l = 44 – 02,1 NL = 64 – 11,3 E l’ - l = 20,035º (-) L’ - L = 55,81º (+) Calculamos Ri aplicando la fórmula: Lo primero que hacemos es restar las latitudes y las Longitudes: l’ – l y L’ –L para conocer ∆L y la dirección del rumbo. Es más cómodo utilizar grados y décimas de grado. CLIC El inverso de cotg es la tg: Operando con la calculadora: Calculamos Ri : con calculadora es: - 0,077 INV tg Si cotgRi = + Ri = N Si cotgRi = - Ri = S hacia el E ó W según sea ∆L hacia el E ó W Índice

22. Calculamos Do aplicando la fórmula: Teniendo en cuenta que: A = (+) si l y l’ tienen = signo A = (-) si l y l’ tienen # signo B = (+) si ∆L < 90º B = (-) si ∆ L > 90º A B A es positivo y B es positivo, independientemente del signo + de la ecuación. Ejemplos: 56 (-) + 65 (+) = 9 (+) 56 (-) + 65 (-) = 121 (-) 56 (+) + 65 (-) = 9 (-) l, l’ = signo → A = + ∆L < 90º → B = + CLIC Índice

23. Este es un fragmento de una hoja de las tablas perpetuas de las ”correcciones a los minutos y segundos” del almanaque Náutico. En las tablas de las efemérides astronómicas anuales del Almanaque Náutico, los horarios en Greenwich del sol, planetas, Aries y luna, vienen tabulados de hora en hora. Sin embargo los cálculos de estos horarios se pueden hacer en cualquier momento, basta con añadir al valor del horario del sol en Greenwich a la hora en punto correspondiente de la hoja de las tablas de las efemérides astronómicas anualesdel almanaque , la corrección por minutos y segundos de las tablas perpetuas. Ejemplo: Un día, siendo hcG = 09h 06m 14s tomamos una altura del sol para hacer una recta de altura, pero para ello necesitamos conocer el horario del sol en Greenwich en ese preciso instante ya que, al sumar o restar nuestra Longitud, obtendremos el horario del sol en nuestro meridiano (horario del sol en el lugar, h☉l).Lo que hacemos es mirar el hcG en las tablas de efemérides anuales de ese día a TU = 09h00m… …Vemos que tiene un valor de313º 52,0’ Nos falta saber qué horario le corresponde a 06m14s, para ello vamos a las tablas perpetuas de correcciones y miramos la que le corresponde al sol… …para un intervalo de 6 minutos y 00 segundos: le corresponde un horario de 01º:30,0’… Siendo el h☉G, a hcG = 09h 06m 14s, h☉G = 313º 52,0’ Cxsegundos = 001º 33,5’ (sumo) hcorr☉G = 315º 25,5’ … para un intervalo de6 minutos y 14 segundos le corresponde un horario de 01º:33,5’ Clic Clic Clic Clic Clic Clic Clic Clic Clic Volver hoja almanaque 44 Índice

24. COOK, John. Biogr. Pirata inglés, ☨ en la isla de los Galápagos en junio de 1684. En 1680 mandaba un grupo de filibusteros, en d mar del Sur, de los que habían pasado de las Antillas; entre aquéllos los habia tan célebres en la historia de la piratería como Dampier, Davis y Wafer. Después de atacar Arica a las órdenes de Shays, las perdidas que tuvieron hicieron arribar a los piratas a la isla de Juan Fernández, donde se suscitaron querellas ante la escasez del botín a repartir, separándose Cook con unos 70 hombres entre los cuales estaba el famoso Dampier. Atravesaron el istmo de Panamá y en el mar de las Antillas apresaron un barco español de 19 cañones al que llamaron el Desquite; con él, después de piratear, se dirigieron a Virginia para reclutar gente, embarcando también allí el famoso piloto Cowley. Salieron de Chesapeake en agosto de 1683, dirigiéndose hacia la costa de Guinea. Desembarcó Cook en las islas de Cabo Verde, y en Sierra Leona se apoderó por sorpresa de un bien provisto navío danés de 36 cañones, al que transbordó, dejando en tierra a la antigua tripulación e incendiando a su propio buque; bautizó a su nuevo barco con el nombre de Bache/or's Delight. Hicieron rumbo al Cabo de Hornos avistando la isla que el piloto Cowley llamó Peppy's Island y poco después la Sibble Dwardz. Al doblar el cabo de Hornos un violento temporal les arrojó más al sur de los 63° de latitud; consiguieron después navegar hacia el norte encontrando un barco inglés, mandado por Eaton, también dispuesto a la piratería. Navegaron ambos en conserva. En las islas de los Galápagos hizo acopio, en almacenes que construyó, de la harina robada a los españoles, que había de ser la base de los víveres de los piratas para el futuro. Estas islas y las de Juan Fernández eran el refugio de los que operaban por el mar del Sur, por tener agua y abundancia de tortugas. Volver Volver