Pendahuluan
This presentation is the property of its rightful owner.
Sponsored Links
1 / 79

Pendahuluan PowerPoint PPT Presentation


  • 130 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Pendahuluan. http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif. Apakah astrofisika itu ?. Penerapan ilmu fisika pada alam semesta/benda-benda langit. Informasi yang diterima. Cahaya (gelombang elektromagnet).

Download Presentation

Pendahuluan

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Pendahuluan

Pendahuluan

http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif


Apakah astrofisika itu

Apakah astrofisika itu ?

  • Penerapan ilmu fisika pada alam semesta/benda-benda langit

Informasi yang diterima

Cahaya (gelombang elektromagnet)

Pancaran gelombang elektromagnet dapat dibagi dalam beberapa jenis, bergantung pada panjang gelombangnya ()

  • Pancaran gelombang radio, dengan antara beberapa milimeter sampai 20 meter

  • Pancaran gelombang inframerah, dengan  ≈ 7500 Å hingga sekitar 1 mm (1 Å = 1 Angstrom = 10-8 cm)


Pendahuluan

  • Pancaran gelombang optik atau pancaran kasatmata dengan sekitar 3 800Å sampai 7 500 Å

Panjang gelombang optik terbagi dlm beraneka warna:

  • merah  : 6 300 – 7 500 Å

  • merah oranye  : 6 000 – 6 300 Å

  • oranye  : 5 900 – 6 000 Å

  • kuning  : 5 700 – 5 900 Å

  • kuning hijau  : 5 500 – 5 700 Å

  • hijau  : 5 100 – 5 500 Å

  • hijau biru  : 4 800 – 5 100 Å

  • biru : 4 500 – 4 800 Å

  • biru ungu  : 4 200 – 4 500 Å

  • ungu  : 3 800 – 4 200 Å


Pendahuluan

  • Pancaran gelombang ultraviolet, sinar X dan sinar  mempunyai  < 3 500Å

Pancaran gelombang elektromagnet mulai dari sinar Gamma sampai dengan pancaran radio

http://www.astro.uiuc.edu/~kaler/sow/spectra.html


Pendahuluan

Radio

Gel.Mikro

Infra-merah

UV

Sinar-X

Sinar Gamma

Kasat Mata

Ketinggian

Permukaan Laut

teleskop optik

Jendela Optik

balon, satelit

teleskop radio

satelit

balon, satelit

Jendela Radio

ozon (O3)

molekul ,atom, inti atom

molekul (H2O, CO2)

Pancaran gelombang yang dapat menembus atmosfer Bumi adalah panjang gelombang kasatmata dan panjang gelombang radio

http://imagine.gsfc.nasa.gov/docs/introduction/emsurface.html


Pendahuluan

Dengan mengamati pancaran gelombang elektromagnet kita dapat mempelajari beberapa hal yaitu,

  • Arah pancaran. Dari pengamatan kita dapat menga-mati letak dan gerak benda yang memancarkannya

  • Kuantitas pancaran. Kita bisa mengukur kuat atau ke-cerahan pancaran

  • Kualitas pancaran. Dalam hal ini kita bisa mempe-lajari warna, spektrum maupun polarisasinya


Pendahuluan

Gerak Dua Benda


Pendahuluan

Bulan bergerak mengedari bumi

Buah durian jatuh ke bumi

Apakah ada kesamaan

Antara bumi dan bulan terjadi gaya tarik gravitasi

Antara durian dan bumi terjadi gaya tarik gravitasi

ada !

Hukum Gravitasi Newton

Sebagai hukum yang mengatur gerak dalam alam semesta

?


Pendahuluan

G m1m2

F =

d2

Hukum Gravitasi Newton

Menurut Newton,

Antara dua benda yang massanya masing-masing m1 dan m2 dan jarak antara keduanya adalah d akan terjadi gaya tarik gravitasi yang besarnya,

Sir Isaac Newton

(1643 – 1727)

. . . . . . . . . (1-1)

bersifat tarik menarik

m1

m2

gaya

F

F

G = tetapan gravitasi

= 6,67 x 10-8 dyne cm2/g2

d


Menentukan massa bumi

Menentukan massa Bumi

G m1m2

F =

d2

G Mm

F =

R2

Semua benda yang dijatuhkan dekat permukaan Bumi akan bergerak dengan percepatan g = 980,6 cm/s2

Jadi pada benda akan bekerja gaya sebesar,

F = mg

. . . . . . . . . . . . . . . . . (1-2)

percepatan

massa benda

gaya gravitasi

Dari persamaan (1-1) :

massa Bumi

. . . . . . . (1-3)

radius Bumi


Pendahuluan

G M

G Mm

g =

F =

R2

R2

R

4 

V =

R3

3

4 

Volume bumi =

(a2b)

3

Dari pers. (1-2) :

F = mg

. . . (1-4)

dan pers. (1-3) :

b

Radius bumi di ekuator : a = 6378,2 km

a

Radius bumi di kutub : b = 6356,8 km

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1-5)

Jika bumi berbentuk bundar sempurna maka volume Bumi adalah,

. . . . . . . . . (1-6)


Pendahuluan

G M

4 

g =

V =

(a2b)

R2

3

4 

V =

R3

3

(980,6)(6,37 x 108)2

= 5,98 x 1027 gr

=

(6,67 x 10-8)

g R2

M =

G

Dari pers. (1-5) :

R= (a2b)1/3

Dari pers. (1-6) :

Radius bumi rata –rata :

R = [(6378,2 )2 (6356,8)]1/3

= 6371,1 km = 6,37 x 108 cm

Masukan harga g, G dan Rke pers (1-4) :

diperoleh,


Pendahuluan

4 

(6,37 x 108)3

V =

= 1,08 x 1027 cm3

3

M

5,98 x 1027

 =

=

= 5,52 gr/cm3

V

1,08 x 1027

4 

V =

R3

3

Dari pers. (1-6) :

diperoleh volume Bumi,

dan massa jenis bumi rata-rata adalah,


Gerak bulan mengedari bumi

Gerak Bulan Mengedari Bumi

G M

a =

d2

Mengikuti hukum Newton

Bulan

Bumi

KarenaM 1/100 M,maka massa bulan dapat diabaikan. Percepatan bulan terhadap bumi adalah,

d

. . . . . . . . . . . . . (1-7)

a

v

jarak Bumi - Bulan


Pendahuluan

v2

G M

=

d

d2

G M

a =

d2

2d

v =

P

Andaikan orbit Bulan berupa lingkaran dengan radius d, dan dengan kecepatan melingkar v yang tetap, maka percepatan sentripetal Bulan adalah,

a = v2/d

. . . . . . . . . . . . . . . (1-8)

Subtitusikan pers. (1-8), ke pers. (1-7) :

diperoleh,

. . . . . . . . . . . . . . . (1-9)

Apabila periode orbit Bulan mengelilingi bumi adalah P maka,

. . . . . . . . . . . . . . . (1-10)


Pendahuluan

v2

G M

=

d

d2

G M

d3

=

P2

42

2d

v =

P

Selanjutnya subtitusikan pers.(1-9) :

ke pers. (1-10) :

. . . . . . . . . . . . . (1-11)

diperoleh,

Dari pengamatan diketahui bahwa periode Bulan mengelilingi Bumi adalah,

P = 27,3 hari = 2,36 x 106 detik

Jarak Bum1-Bulan adalah,

d = 384 000 km = 3,84 x 1010 cm


Pendahuluan

Apabila periode bulan dan jarak bumi bulan dimasukan ke pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu,

M 6,02 x 1027 gr

Hasil ini sama dengan yang ditentukan berdasarkan benda yang jatuh dipermukaan Bumi, yaitu

M 5,98 x 1027 gr

Kesimpulan :

Buah durian jatuh ke bumi

Bulan bergerak mengedari bumi

Disebabkan oleh gaya yang sama yaitu gaya gravitasi


Percepatan bulan terhadap bumi

Percepatan Bulan terhadap Bumi

G M

(6,67 x 10-8)(5,97 x 1027)

a =

=

= 0,27 cm/s2

d2

(3,84 x 1010)

Dari pers (1-7) dapat ditentukan percepatan Bulan terhadap Bumi akibat gaya gravitasi yaitu,

jarak Bumi – Bulan = 3,84 x 1010 cm


Gaya gravitasi di permukaan bulan

Gaya gravitasi di permukaan Bulan

G M

g=

R2

(6,67 x 10-8)( 0,0123 x 5,98 x 1027)

= 165,72 cm/s2

g=

(0,27 x 6,37 x 108)2

Massa bulan = 0,0123 kali massa Bumi

Diameter Bulan = 0,27 kali diameter Bumi

Dengan menggunakan persamaan (1-4) untuk Bulan, maka gaya gravitasi dipermukaan Bulan dapat ditentukan yaitu,

massa bulan

radius bulan

= 0,17 kali gaya gravitasi dipermukaan Bumi


Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit

Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit


Berat benda di permukaan bumi

Berat benda di permukaan Bumi

G Mm

W =

R2

Berat benda di permukaan bumi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut,

massa benda

berat benda (gaya gravitasi yang dirasakan oleh benda) weight

Contoh :

Berat sebuah benda di permukaan Bumi adalah 100 N, berapakah berat benda tersebut pada ketinggian 25 000 km di atas permukaan bumi ?


Jawab

Jawab :

G Mm

W2 =

(R+ 2,5 x 109)2

G Mm

W1 =

R2

Misalkan berat benda di permukaan bumi adalah W1 = 100 N, maka

. . . . . . . . . . . . . . . . ()

Apabila W2 adalah berat benda pada ketinggian 25 000 km (= 2,5 x 109 cm) di atas permukaan bumi, maka

. . . . . . . . . . . . ()


Pendahuluan

W1R2

W2 =

(R + 2,5 x 109)2

(100)(6,37 x 108) 2

W2 =

 4 N

(6,37 x 108 + 2,5 x 109)2

Dari pers () dan () diperoleh,

. . . . . . . . . . . . . . ()

Jika harga R= 6,37 x 108cm, dan harga W1 = 100 N dimasukan ke pers () maka akan diperoleh,


Hukum kuadrat kebalikan

Hukum Kuadrat Kebalikan

G mM

F = 

d2

G M

g1 =

d12

2

d1

g2 =

g1

G M

d2

g2 =

d22

G M

g =

d2

Untuk menentukan besarnya gravitasi di suatu tempat dapat kita gunakan hukum kuadrat kebalikan

Dari pers. (1-1) :

Dari pers. (1-2) :

F = - mg

Untuk g1 :

. . . . . . . (1-12)

Untuk g2 :


Pendahuluan

2

d1

g2 = g1

d2

Contoh :

  • Percepatan gravitasi dipermukaan bumi (di permuka-an laut) adalah 980 cm/s2. Tentukanlah percepatan di ketinggian 25 000 km di atas permukaan Bumi.

Jawab :

Misalkan g2 adalah gravitasi pada ketinggian 25 000 km, maka

g1 = gravitasi dipermukaan bumi = 980 cm/s2

d1 = radius bumi= R = 6,37 x 108 cm

d2 = R + 25 000 km = 3,14 x 109 cm


Pendahuluan

2

2

d1

6,37 x 108

g2 = g1

= (980)

= 40,41 cm/s2

d2

3,14 x 109

Jadi,

  • Pesawat ruang angkasa Galileo berada pada jarak 100 000 km dari pusat planet Jupiter, sedangkan pesawat pengorbitnya berada pada ketinggian 300 000 km. Tentukanlah besarnya percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo dinyatakan dalam percepatan gravitasi pengorbitnya.


Pendahuluan

2

2

d2

300 000

g1 = g2

= g2

= 9 g2

d1

100 000

Jawab :

Misalkan :

g1 = percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo

d1= ketinggian pesawat ruang angkasa Galileo = 100 000 km

g2= percepatan gravitasi pesawat pengorbit

d2= ketinggian pesawat pengorbit = 300 000 km

maka


Satuan gaya

Satuan Gaya

Dari pers. (1-2) :

F = mg

Jika massa (m) dinyatakan dalam kg dan percepatan (g) dinyatakan dalam m/s2, maka gaya (F) dinyatakan dalam,

F = (kg)(m/s2) = kg m/s2 = Newton (N)

Jika massa (m) dinyatakan dalam gr dan percepatan (g) dinyatakan dalam cm/s2, maka gaya (F) dinyatakan dalam,

F = (gr)(cm/s2) = gr cm/s2 = dyne

1 Newton = 105 dyne


Pendahuluan

Contoh :

Massa sebuah benda adalah 75 kg, berapakah gaya yang dirasakan oleh benda tersebut (berat benda) di permukaan Bumi, Bulan dan Planet Jupiter ?

F = mg

Jawab :

g di Bumi = 9,8 m/s2

g di Bulan = 0,17 x g di Bumi = 0,17 x 9,8 = 1,67 m/s2

g di Jupiter = 2,54 x g di Bumi = 2,54 x 9,8 = 24,89 m/s2

Jadi :

F di Bumi = (75)(9,8) = 735 kg m/s2 = 735 N

F di Bulan = (75)(1,67) = 125,25 kg m/s2 = 125,25 N

F di Jupiter= (75)(24,89) = 1 866,75 kg m/s2 = 1 866,75 N


Hukum gerak dua benda

Hukum Gerak Dua Benda

z

m1m2

d2r

m1 =  G

r2

dt2

y

x

Tinjau dua benda dengan massa benda kesatu adalah m1 dan massa benda kedua adalah m2.

Koordinat kartesius kedua benda masing-masing adalah (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) dan jarak kedua benda adalah r

Berdasarkan Hukum Newton, pada benda ke-1 akan bekerja gaya :

m1(x1, y1, z1)

r

m2(x2, y2, z2)

. . (1-13)


Pendahuluan

x1 x2

d2x1

m1 =  Gm1m2

r3

dt2

y1 y2

d2y1

m1 =  Gm1m2

r3

dt2

z1 z2

d2z1

m1 =  Gm1m2

r3

dt2

Gaya ini dapat diuraikan dalam komponen arah sumbu x, y, dan z, yaitu :

. . . . . (1-14a)

. . . . . (1-14b)

. . . . . (1-14c)


Pendahuluan

x2 x1

d2x2

m2 =  Gm1m2

r3

dt2

y2 y1

d2y3

m2 =  Gm1m2

r3

dt2

z2 z1

d2z2

m2 =  Gm1m2

r3

dt2

m1m2

d2r

m2 =  G

r2

dt2

Hal yang sama juga berlaku untuk benda kedua, yaitu dengan menguraikan gaya :

. . . . . . . . . . (1-15)

dalam arah x, y, z, diperoleh :

. . . . . . (1-16a)

. . . . . . (1-16b)

. . . . . . (1-16c)


Pendahuluan

Keenam persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan gerak benda.

  • Jika keenam persamaan diferensial tersebut dapat dipecahkan, koordinat kedua benda (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) sebagai fungsi waktu t dapat ditentukan.

  • kedudukan benda setiap saat dapat ditentukan.

Keenam persamaan gerak benda di atas adalah persamaan diferensial orde ke-2,

  • terdapat 12 tetapan integrasi.


Pendahuluan

Ke-12 tetapan integrasi tersebut, dapat ditentukan dari dari keadaan awal kedua benda tersebut yaitu,

  • 6 koordinat kedudukan awal (3 koordinat x, y, z untuk masing-masing benda yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2)

  • 6 komponen kecepatan awal (3 komponen untuk masing-masing benda, yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2).


Pendahuluan

Persoalan ini dapat disederhanakan dengan meng-anggap benda pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat

  • Jadi sekarang hanya diperlukan enam tetapan, yaitu

  • tiga koordinat kedudukan awal

  • tiga komponen kecepatan awal benda yang bergerak

Sekarang dapat dituliskan :

x = x2 – x1

. . . . . . . . . (1-17a)

z

y = y2 – y1

. . . . . . . . . (1-17b)

m2(x, y, z)

z = z2 – z1

. . . . . . . . . (1-17c)

m1

y

dan definisikan,

x

M= m1 + m2

. . . . . . . . . (1-18)


Pendahuluan

x

d2x

=  GM

r3

dt2

y

d2y

z

d2z

=  GM

=  GM

r3

dt2

r3

dt2

Dengan menggunakan definisi (1-17) dan (1-18) pada pers. (1-14a) dan (1-16a), diperoleh

. . . . . . . . . . (1-19a)

Dengan cara yang sama diperoleh komponen pada arah y dan z, yaitu

. . . . . . . . . . (1-19b)

. . . . . . . . . . (1-19c)


Pendahuluan

x

y

d2y

d2x

=  GM

=  GM

r3

r3

dt2

dt2

xy

d2x

y =  GM

r3

dt2

xy

d2y

x =  GM

r3

dt2

d2y

d2x

x  y = 0

dt2

dt2

Selanjutnya, kalikan pers. (1-19a) dengan y dan pers. (1-19b) dengan x dan kurangkan keduanya.

Pers. (1-19a) :

xy

xx

Pers. (1-19b) :

. . . . . . (1-20)


Pendahuluan

x  y = 0

d

dy

dz

dy

dx

dy

dx

dz

dx

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

x  y = a1

y  z = a2

z  x = a3

Pers. (1-20) dapat dituliskan sebagai,

. . . . . . . . . . (1-21)

Integrasikan persamaan (1-21), akan diperoleh,

. . . . . . . . . . (1-22a)

tetapan integrasi

Dengan cara yang sama diperoleh,

. . . . . . . . . . (1-22b)

. . . . . . . . . . . (1-22c)


Pendahuluan

x  y = a1

xz  yz = a1z

dz

dy

dy

dx

dx

dz

dx

dy

dz

dy

dz

dx

Pers. (1-22a) :

x z

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

dt

y  z = a2

xy  xz = a2x

Pers. (1-22b) :

xx

z  x = a3

yz  xy = a3y

Pers. (1-22c) :

xy

Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan


Pendahuluan

xz  yz = a1z

dy

dz

dx

dx

dz

dy

dt

dt

dt

dt

dt

dt

xy  xz = a2x

yz  xy = a3y

+

a1z + a2x + a3y = 0

. . . . . . . . . . . (1-23)

Ini adalah persamaan sebuah bidang datar

  • Orbit benda, terletak pada sebuah bidang datar.


Pendahuluan

dx

x

2

Pers. (1-19a) :

dt

z

y

x

d2x

d2z

d2y

dy

=  GM

=  GM

=  GM

2

x

r3

r3

r3

dt2

dt2

dt2

dt

Pers. (1-19b) :

dz

2

x

Pers. (1-19c) :

dt

x

dx

d2x

dx

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

y

dy

d2y

dy

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

z

dz

d2z

dz

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan hasilnya


Pendahuluan

dx

dy

dz

dx

d2x

dy

d2y

dz

d2z

2GM

x +y + z

2 + + =

dt

dt

dt

dt

dt2

dt

dt2

dt

dt2

r3

x

dx

d2x

dx

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

y

dy

d2y

dy

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

z

dz

d2z

dz

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

+


Pendahuluan

2

2

2

dx

dy

dz

dx

dy

dx

2GM

d

x +y +z

+ + =

dt

dt

dt

dt

dt

dt

r3

dt

dr

dt

dy

dx

dz

r = x +y +z

dt

dt

dt

atau

. . . . . (1-24)

Jarak antara kedua benda dinyatakan oleh,

. . . . . . . . . . . . . (1-25)

r2 = x2 + y2 + z2

Apabila pers. (1-25) diturunkan, akan diperoleh,

. . . . . . . . . . (1-26)


Pendahuluan

2GM

2

2

2

dx

dy

dz

dx

dy

dx

2GM

r2

d

x +y +z

2

2

2

+ + =

dx

dy

dx

dt

dt

dt

dt

dt

dt

r3

v2 = + +

dt

dt

dt

dt

dr

dr

dt

dt

dy

dx

dz

dv2

r = x +y +z

=

dt

dt

dt

dt

Kecepatan benda dinyatakan oleh,

. . . . . . . . . (1-27)

Subtitusikan pers. (1-26) :

dan (1-27) ke pers. (1-24) :

diperoleh,

. . . . . . . . . . . (1-28)


Pendahuluan

v

r

2GM

= 

r2

0

0

2GM

v2 = + h

dr

r

dt

dv2

dt

G m2M

V=

r

Integrasikan pers. (1-28),

. . . . . . . . . . . . (1-29)

diperoleh,

tetapan integrasi

Misalkan energi potensial gravitasi benda kedua adalah

. . . . . . . . . . . . (1-30)


Pendahuluan

1

T = m2v2

2

2GM

v2 = + h

r

2GM

Gm2 M

T = m2 + h = +m2h

r

r

1

1

2

2

dan energi kinetiknya adalah,

. . . . . . . . . . . . (1-31)

Subtitusikan pers. (1-29) :

ke pers. (1-31), diperoleh

. . (1-32)


Pendahuluan

= m2h

T + V = +m2h 

Gm2 M

T = +m2h

r

1

1

1

G m2M

V=

2

2

2

r

Gm2 M

Gm2M

r

r

Jumlahkan pers. (1-30) dengan pers. (1-32),

Pers. (1-30) :

Pers. (1-32) :

+

. . . . . . . . . . . . . . . . (1-33)

= h’

Persamaan ini mengatakan bahwa energi total benda kedua selalu tetap selama mengorbit benda pertama.


Hukum kepler

Hukum Kepler

  • Orbit planet mengelilingi matahari tidak berbentuk lingkaran tetapi berbentuk elips dengan matahari di titik fokusnya

Matahari

Johannes Kepler

(1571 – 1630)

aphelion

perihelion

Planet


Pendahuluan

d

r2

= c (konstan)

dt

  • Vektor radius (garis hubung matahari – planet) dalam selang waktu yang sama akan menyapu luas daerah yang sama.

  • Hukum Luas

dt

Matahari

r

Planet

d

dt


Pendahuluan

  • Kuadrat periode planet mengitari matahari sebanding dengan pangkat tiga setengah sumbu besar elips

1 Periode = peredaran planet mulai dari titik A sampai kembali lagi ke titik A

Matahari

A

a

Planet

b

Setengah sumbu panjang

P2  a3


Pendahuluan

x

d2x

=  GM

r3

dt2

y

d2y

=  GM

r3

dt2

Bukti Hukum Kepler

  • Hukum Kepler adalah hukum empiris, tapi bisa dibuktikan dengan hukum Gravitasi Newton.

  • Bukti :

Sebagai penyederhanaan, ambil bidang gerak (bidang orbit) dalam bidang (x, y).

  • Gerak benda hanya ditentukan oleh dua persama-an yang mengandung variabel x dan y, yaitu,

dan

Pers. (1-19a) :

Pers. (1-19b) :


Pendahuluan

x  y = 0

d

dy

dy

dx

dx

dt

dt

dt

dt

dt

x  y = c

Sama seperti di bagian yang lalu, persamaan (1.19a) dikalikan dengan y dan persamaan (1.19b) dengan x, kemudian kurangkan, Hasilnya adalah,

Pers. (1-21) :

Selanjutnya integrasikan pers. (1-21), maka diperoleh :

Per. (1-22a) :

tetapan integrasi

Langkah selanjutnya adalah, lakukan perkalian berikut,


Pendahuluan

dx

2

Pers. (1-19a) :

dt

dy

y

x

d2y

d2x

Pers. (1-19b) :

2

=  GM

=  GM

dt

r3

r3

dt2

dt2

x

dx

d2x

dx

2

=  GM

2

r3

dt

dt2

dt

y

dy

d2y

dy

2

=  GM

2

dx

dy

dx

d2x

dy

d2y

2GM

r3

dt

x +y

dt2

dt

2 + =

dt

dt

dt

dt2

dt

dt2

r3


Pendahuluan

2

2

dx

dy

dx

dy

d

2

x +y

+ =

dt

dt

dt

dt

dt

dr

2

2

dx

dy

dx

dy

2GM

d

r

x +y

+ =

d t

dt

dt

dt

dt

r3

dt

GM

dr

r3

dt

dy

dx

r = x +y

dt

dt

. . (1-34)

atau

Jarak antara kedua benda adalah,

. . . . . . . . . . . . (1-35)

r2 = x2 + y2

Turunkan persamaan (1.35) diperoleh,

. . . . . . . . . . . (1-36)

Selanjutnya integrasikan persamaan (1.34),


Pendahuluan

GM

r

= sin θ+r cos θ

dy

dr

dr

dx

= cos θr sin θ

2

2

dx

dy

dt

dt

dt

dt

dt

dt

+  2 = h

dt

dt

diperoleh,

. . . . . . . . . . (1-37)

tetapan integrasi

Sekarang ubah sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar dengan mendefinisikan

x = r cos θ

y = r sin θ

Masukkan definisi ini ke persamaan (1-22a),


Pendahuluan

dy

dx

dt

dt

x  y = c

r2= c

= cos θ-r sin θ

sin θ+r cos θ =

=

dr

1

c

dr

1

dt

dt

dt

dt

dt

r 2

d

dt

Per. (1-22a) :

r sin θ

r cos θ

. . . . . . . . . . . . . (1-38)

diperoleh

. . . . . . . . . . . (1-39)

atau


Pendahuluan

+ r 2 = + h

=

2

2

2

2

1

h

dr

1

c

1

dr

1

d

2

+   = 0

c2 r

r

dt

d

r 2

d

dt

c2

r2

r4

dt

Dengan cara yang sama kita lakukan ke pers. (1.37), dan hasilnya,

. . . . . . . (1-40)

dengan,

 = G M

. . . . . . . . . . . . (1-41)

Masukan pers. (1-39) :

ke pers. (1-40), diperoleh

. . . . . (1-42)


Pendahuluan

2

+   = 0

2

+ u2= H2

2

H2 = + =tetapan

u= 

c4

2

1

dr

1

h

h

dr

1

c2 r

d

c2

r4

c2

r2

r

d

c2

Jika kita definisikan :

Kemudian dimasukkan ke

Pers. (1-42) :

. . . . . . . . . . . (1-43)

maka diperoleh,

dengan

. . . . . . . (1-44)

Pemecahan persamaan (1-43) adalah :

u = H cos ( - )

.. . . . . . . . . . . (1-45)

tetapan integrasi


Pendahuluan

2

+ u2= H2

2

H2 = + = tetapan

c4

1

hc2

hc2

h

dr

= 1 + 1 + cos (  )

c2/

r

2

2

c2

c2

d

r =

1 + 1 + cos (  )

Masukkan harga u (pers. 1-45) dan H (pers. 1-44) ke pers. (1-43),

Pers. (1-43) :

Pers. (1-44) :

Pers. (1-45) :

u = H cos ( - )

. . (1-46)

diperoleh,

. . . . . (1-47)

atau


Pendahuluan

1/2

hc

e = 1 +

hc2

c2

c2/

p =

2

r =

p

r =

1 + e cos 

1 + 1 + cos (  )

. . . . . . . . . . . . . (1-48)

Kita didefinisikan :

. . . . . . . . . . . (1-49)

= ()

. . . . . . . . . . . . . (1-50)

Jika ketiga pers. ini kita subtitusikan ke

Pers. (1-47) :

. . . . . . . (1-51)

akan diperoleh,

Persamaan irisan kerucut


Pendahuluan

p

r =

1 + e cos 

Suatu irisan kerucut dapat berupa lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.

  • Karena elips adalah suatu irisan kerucut, maka hasil ini merupakan pembuktian Hukum KeplerI

Dengan demikian, pembuktian Hukum Kepler I berdasarkan pada persamaan (1-51), yaitu persamaan irisan kerucut.

  • Parameter p disebut parameter kerucut

  • Parameter e disebut eksentrisitas

  • Parameter  disebut anomali benar


Pendahuluan

Arti geometri dari parameter ini diperlihatkan pada gambar berikut

m2

(Perifokus)

B

ω

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

m1

ae

p

a

(Apfokus)

A

Setengah jarak AB disebut setengah sumbu besar, dituliskan a yang harganya diberikan oleh :

. . . . . . . . . . . (1-52)

p = a (1 – e 2)


Pendahuluan

m2

(Perifokus)

B

ω

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

m1

ae

p

a

(Apfokus)

A

Perhatikan :

  • Benda pusat terletak pada titik fokus orbit

  • Sudut  menunjukkan kedudukan titik perifokus terhadap suatu garis acuan tertentu (dalam hal ini garis potong bidang orbit dengan bidang langit)


Pendahuluan

p

r =

1 + e cos 

Dari pers. (1-51) :

  • jika e < 1 orbit berupa elips

  • jika e = 1 orbit berupa parabola

  • jika e > 1 orbit berupa hiperbola

karena (pers. 1-52) :

maka,

p = a (1 – e 2)

  • Titik perifokus dicapai apabila  = 0or = a (1 – e)

  • Titik apfokus dicapai apabila  = 180or = a (I + e)


Pendahuluan

m2

B

ω

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

m1

ae

p

a

A

Perihelion

Aphelion

Apabila m1 adalah Matahari dan m2 adalah planet, maka

  • titik terjauh dari Matahari disebut Aphelion

  • titik terdekat disebut Perihelion


Pendahuluan

m2

B

ω

Garis potong bidang orbit dan bidang langit

m1

ae

p

a

A

Periastron

Apastron

Apabila sistem ini adalah sistem bintang ganda dengan m1 adalah bintang ke-1 dan m2 adalah bintang ke-2, maka

  • titik terjauh dari bintang ke-1 disebut Apastron

  • titik terdekat disebut Periastron


Pendahuluan

r2= c

r2= c

1

1

2

2

dt

dt

Dari persamaan (1-38) :

Jika kedua ruas dikalikan dengan ½, maka diperoleh :

. . . . . . . . . . . . (1-53)

luas segitiga yg disapu oleh vektor radius r dlm waktu dt

Bukti Hukum Kepler II


Pendahuluan

r2= c

P

r2d= c dt

0

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

a2 (1 – e2)1/2 = c P

dt

= 2 a3/2 a1/2(1 – e2)1/2

Integrasikan persamaan (1-53) :

Periode Orbit

A = a2 (1 – e2)1/2

Luas elips

Dengan demikian :

c P = a2 (1 – e2)1/2

atau

. . . . . . . (1-54)


Pendahuluan

c P = 2 a3/2

c P = 2 a3/2 a1/2(1 – e2)1/2

1

c

P = 2 a3/2

1/2

1/2

a3

P2= 42

a3

=

P2

42

Masukkan p = a (1 – e2) ke

pers. (1-54) :

diperoleh,

c P = 2 a3/2 p1/2

. . . . . . . . . . (1-55)

Selanjutnya masukan pers. p = c2/ ke pers. (1-55), diperoleh,

Kuadratkan pers. di atas akan diperoleh,

. . . (1-56)


Pendahuluan

= (m1 + m2)

a3

a3

G

=

P2

P2

42

42

Masukkan pers. (1-18) :

M= m1 + m2

dan pers. (1-41) :

 = G M

ke pers. (1-56) :

. . . . . . . . (1-57)

diperoleh,

Dalam kasus planet mengelilingi Matahari,

  • m1 adalah massa matahari (M)

  • m2 adalah massa planet

Karena m2 << m1 (massa planet terbesar, yaitu Jupiter, hanya 0,001 M), maka persamaan (1-57) menjadi :


Pendahuluan

= M

a3

G

P2

42

. . . . . . . . . . . . . . (1-58)

Bukti Hukum Kepler III

Hukum Kepler bukan hanya berlaku untuk planet dalam mengedari matahari saja tetapi juga berlaku untuk :

  • Bumi dengan satelit-satelit buatan

  • Planet dengan satelit-satelitnya

  • Sistem bintang ganda

  • dan lainnya


Pendahuluan

a3

G M

=

0,5

42 a3

P2

42

P =

G M

Contoh :

  • Sebuah satelit buatan mengorbit Bumi dalam orbit yang hampir berupa lingkaran. Apabila radius orbitnya adalah 96 000 km, tentukanlah periode orbit satelit tersebut.

Jawab :

Karena massa bumi jauh lebih besar daripada massa satelit maka menurut Hk Kepler III

Diketahui,M= 5,98 x 1027 gr, a = 9,6 x 109 cm dan G = 6,67 x 10-8 dyne cm2/gr2


Pendahuluan

0,5

42 (9,6 x109)3

P =

(6,67 x 10-8) (5,98 x 1027)

Jadi

= 295 919,24 det = 3,42 hari


Pendahuluan

a3

G M

=

P2

42

  • Tentukanlah periode orbit Bumi jika massa matahari 8 kali lebih besar dari massa sekarang dan radius orbit Bumi dua kali daripada radius sekarang (andaikan orbit Bumi berupa lingkaran)

Jawab :

M1= massa matahari sekarang

Misalkan :

M2= 8 M1

a1 = radius orbit bumi sekarang

a2 = 2 a1

Karena M>> M maka


Pendahuluan

a13

G M1

=

0,5

1,5

P12

42

M1

a2

P2 =

P1

M2

a1

a23

G M2

=

P22

42

0,5

0,5

1,5

1

M1

2a1

1,5

= 2

P1

P2 =

P1

8

8M1

a1

= (2,83)(0,3535) P1 = P1

Jadi periodenya sama dengan periode sekarang


Pendahuluan

Soal Latihan :

  • Statsiun ruang angkasa Rusia Mir mengorbit bumi setiap 90 menit sekali pada ketinggian 250 km. Statsiun ruang angkasa ini diluncurkan pada tanggal 20 Februari 1986. Setelah beberapa tahun di ruang angkasa, statsiun ruang angkasa ini ditinggalkan dan secara perlahan-lahan jatuh ke Bumi pada tanggal 10 Maret 2001.

  • Berapakalikah statsiun ruang angkasa ini mengelilingi Bumi sebelum jatuh ke Bumi?

  • Berapakah jarak yang ditempuh statsiun ruang angkasa ini ? (Ketinggian Mir diabaikan relatif terhadap radius Bumi)


Pendahuluan

  • Berapakalikah gaya gravitasi yang disebabkan oleh Matahari terhadap pesawat ruang angkasa Ulysses yang berjarak 2,3 AU dari Matahari dibandingkan dengan percepatan gravitasi yang disebabkan oleh Matahari terhadap planet Jupiter yang berjarak 5,2 AU dari Matahari?

  • Teleskop ruang angkasa Hubble mengorbit Bumi setiap 1,5 jam sekali pada ketinggian 220 km, Jika kamu akan menempatkan satelit komunikasi di ruang angkasa, pada ketinggian berapakah satelit tersebut harus ditempatkan supaya satelit bisa mengedari Bumi setiap 24 jam sekali? (Satelit semacam ini disebut satelit Geosyncronous karena satelit selalu berada di suatu titik yang tetap di atas Bumi)


Pendahuluan

  • Salah satu satelit Jupiter yaitu Io mempunyai massa yang sama dengan Bulan (satelit Bumi), dan juga Io mengorbit Jupiter pada jarak yang sama dengan Bulan mengorbit Bumi. Akan tetapi Io mengelilingi Jupiter dalam satu putaran lamanya 1,8 hari, sedangkan Bulan mengelilingi Bumi dalam waktu 27,3 hari. Dapatkah kamu menjelaskan mengapa terjadi perbedaan ini?

  • Jika Io yang berjarak 422 000 km dari Jupiter memerlukan waktu 1,8 hari untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter, berapakah waktu yang diperlukan oleh Europa (satelit Jupiter yang lain) yang berjarak 671 000 km dari Jupiter untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter?


Pendahuluan

Lanjut ke Bab II

Kembali ke Daftar Materi


  • Login