Operace s vektory 5

1. Název projektu: Moderní škola Operace s vektory 5 Mgr. Martin Krajíc 16.3.2014 matematika 3.ročník analytická geometrie Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Operace s vektory - součin • rozlišujeme tři druhy součinu dvou vektorů: • skalární součin • vektorový součin • smíšený součin

3. Operace s vektory – geometrický význam vektorového součinu • v minulé hodině jsme si ukázali, že vektorový součin dvou vektorů u, v neležících na jedné přímce je vektor w, pro který platí: ׀w׀ = ׀u׀. ׀v׀. sin, kde  je úhel vektorů u, v • ukážeme si geometrický význam čísla ׀u׀. ׀v׀. sin • vektory u, v posuneme tak, aby měly společný počáteční bod, doplníme na rovnoběžník, výšku označíme x • pro výšku rovnoběžníku platí: sin  = • po úpravě: x = ׀v׀. sin • obsah rovnoběžníku vypočteme jako součin strany a výšky, tento obsah určuje číslo ׀u׀. ׀v׀. sin • Poznámka: 1) pro obsah rovnoběžníku platí S = ׀u x v׀ 2) pro obsah trojúhelníku platí S = = ׀v׀. sin v x  u

4. Operace s vektory – geometrický význam vektorového součinu Př: Vypočtěte obsah trojúhelníku KLM, jestliže pro dané body platí K[1, 3, 1], L[4, 1, 3], M[1, 4, -1]. • zvolíme u = KL, v = KM • vypočteme souřadnice vektorů: u = L – K = (3, -2, 2) v = M – K = (0, 1, -2) • vypočteme vektorový součin: u x v = (2, 6, 3) • vypočteme velikost vektorového součinu: ׀ u x v׀= = = 7 • velikost vektorového součinu vydělíme dvěma: ( ) • obsah trojúhelníku KLM je ( )

5. Operace s vektory – smíšený součin Smíšený součin: • smíšený součin vektorů u, v, w vypočteme: (u x v).w (kombinace vektorového a skalárního součinu) • výsledkem smíšeného součinu dvou vektorů je číslo • smíšený součin je definován jen pro vektory v prostoru • při vložení výsledku smíšeného součinu do absolutní hodnoty nezávisí na pořadí vektorů: (u x v).w = (u x w).v = (v x w).u Poznámka: • (u, v, w) pravotočivá báze, výsledek je kladný • (u, v, w) levotočivá báze, výsledek je záporný

6. Operace s vektory – smíšený součin Př: Vypočtěte smíšený součin vektorů u = (3, 2, 2), v = (5, 1, 2) a w = (2, 3, 2). • vypočteme vektorový součin vektorů u, v: u x v = (3, 2, 2) x (5, 1 ,2) = (2, 4, -7) • vypočteme skalární součin vypočteného vektorového součinu a vektoru w: (2, 4, -7).(2, 3, 2) = 2.2 + 4.3 + (-7).2 = 2 • smíšený součin vektorů u, v, w je roven číslu 2. • Poznámka: vypočítáme smíšený součin daných vektorů se zaměněným pořadím: (u x w).v = ((3,2,2) x (2,3,2)) . (5,1,2) = (-2,-2,5) . (5,1,2) = -2 (v x w).u = ((5,1,2) x (2,3,2)) . (3,2,2) = (-4,-6,13) . (3,2,2) = 2

7. Operace s vektory – geometrický význam smíšeného součinu • smíšený součin využijeme při výpočtu objemu rovnoběžnostěnu • pro objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH platí: • V = (u x v).w pokud je báze (u, v, w) pravotočivá (obr. 1) • V = - (u x v).wpokud je báze (u, v, w) levotočivá (obr. 2) H G H G E F E F w D C w D C v u A u B A v B obr. 1 obr. 2

8. Operace s vektory – geometrický význam smíšeného součinu Př: Určete objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH, pro jehož vrcholy platí A[0, -1, 1], B[2, 3, 2], D[-2, 3, 5], E[1, 0, -6]. • zvolíme u = AB, v = AD, w = AE • vypočteme souřadnice vektorů: u = B – A = (2, 4, 1) v = D – A = (-2, 4, 4) w = E – A = (1, 1, -7) • báze (u, v, w) je levotočivá, objem vypočteme V = - (u x v).w V = - ((2, 4, 1) x (-2, 4, 4)) . (1, 1, -7) = - (12, -10, 16) . (1, 1, -7) V = - (-110) = 110 ( ) • objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH je roven 110 ( )

9. Operace s vektory – geometrický význam smíšeného součinu Př: Určete objem čtyřstěnu KLMN, pro jehož vrcholy platí K[1, 2, -1], L[3, -1, 1], M[1, 1, 3], N[-1, 2, 0]. Poznámka: objem čtyřstěnu vypočteme V = (u x v).w • zvolíme u = KL, v = KM, w = KN • vypočteme souřadnice vektorů: u = L – K = (2, -3, 2) v = M – K = (0, -1, 4) w = N – K = (-2, 2, 1) • báze (u, v, w) je pravotočivá, objem vypočteme V = (u x v).w V = [((2,-3,2) x (0,-1,4)) . (-2,2,1)] = [(-10,-8,-2) . (-2,2,1)] V = . 2 = ( ) • objem rovnoběžnostěnu ABCDEFGH je roven ( )

10. Operace s vektory – samostatná práce Řešte příklady a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení). Jan Amos Komenský:„Naši učitelé nesmějí být podobni sloupům u cest, jež pouze ukazují, kam ….. , ale samy nejdou“. Př: Dány body K[1, 3, -2], L[3, -2, 5], M[0, 1, 7], N[8, 0, 3]. • Vypočtěte obsah podstavy KLM: a) J = 20,41 b) B = 25,41 • Vypočtěte obsah stěny KMN: a) Ě = 46,06 b) Í = 36,06 • Vypočtěte objem čtyřstěnu KLMN: a) T = 31,17 b) Ž = 41,17

11. Operace s vektory – správné řešení Jan Amos Komenský: „Naši učitelé nesmějí být podobni sloupům u cest, jež pouze ukazují, kam …….. ,ale samy nejdou“. JÍT

12. Operace s vektory – použitá literatura Použitá literatura: KOČANDRLE, Milan a Leo BOČEK. Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie. Praha: Prometheus, 2009 SVOBODA, Martin. Http://citaty.net [online]. [cit. 2014-03-16].