Lineáris programozás

1. Lineáris programozás • Modellalkotás • Grafikus megoldás • Feladattípusok • Szimplex módszer

2. /db Feladat: Egy gyár kétféle terméket gyárt (A, B): x, y  0 1000x+800y -400x-300y • Normaóra kapacitás: 1440/év • Beszerezhető alapanyag: 240/év • Fel nem osztott költségek: 3200/év • B-ből eladható: maximum 50/év • 15x + 20y  1440 • 3x + 2y  240 • y  50 -3200 Feladat: Határozzuk meg az évi maximális nyereséget biztosító termelési tervet! Modell: A-ból x-et termelünk, B-ből y-t.

3. feltételek célfüggvény Tehát a megoldandó a következő matematikai feladat: 15x + 20y  1440 3x + 2y  240 y  50 . x, y  0 . 1000x + 800y – 400x – 300y – 3200 = 600x + 500y – 3200  max Ezzel ekvivalens feladat: ugyanezen feltételek mellett a 600x + 500y célfüggvény maximumát keressük. Megoldás: később.

4. Definíció. Az olyan feltételes szélsőérték-feladatokat, amelyben a feltételek lineáris egyenletek és egyenlőtlenségek, és egy lineáris függvény szélsőértékét keressük, lineáris programozási feladatnak nevezzük Általánosítások: Ha a feltételek lineárisak, de a célfüggvény nem, akkor nemlineáris programozási feladatról beszélünk. ax+b Pl. hiberbolikus programozási feladat célfüggvénye alakú. cx+d Azon pontok halmazát, amelyek koordinátái kielégítik a feltételrendszert, lehetséges megoldásoknak nevezzük. Azon lehetséges megoldásokat, ahol a célfüggvény értéke maximális/minimális, optimális megoldásoknak nevezzük.

5. 3 2 Kétváltozós LP-feladat grafikus megoldása • Lineáris egyenlőtlenség megoldása 3x + 2y  6 Először ábrázoljuk a megfelelő egyenlet megoldásait, pl. tengelymetszet segítségével: Utána el kell dönteni, hogy melyik félsík lesz az egyenlőtlenség megoldása. Ez legegyszerűbben behelyettesítéssel történhet. Pl. origó: 3·0 + 2·0  6 teljesül Az a félsík a megoldás, amiben az origó van.

6. Egyenlőtlenség-rendszer megoldása: • Tekintem az egyes félsíkok metszetét. Ez lehet: • Üres halmaz • Egyetlen pont • Szakasz • Félegyenes • Egyenes • Konvex sokszög • Nem korlátos konvex “sokszög”

7. 2 1 3 1 3 2 Itt van az optimum! 1. feladat. Oldjuk meg az előzőleg felírt feladatot 15x + 20y  1440 3x + 2y  240 y  50 . x, y  0 . 600x + 500y  max 600x + 500y = c  max 6x + 5y = c/100  max 50 Ha pontos az ábra (vagy számolás): x = 64, y = 24 80

8. 1 1 2 2 3 3 4 4 Itt van az optimum! 2a. Oldjuk meg az alábbi LP- feladatot: 3x + 2y  6 -x + y  4 5x +8y 40 x – 2y  4 . x, y  0 . 2x + y  max 2x + y = c  max y = -2x + c és c  max A –2 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke maximális Optimum koordinátái: 3 és 4 egyenletből: x = 10/9, y = 56/9

9. 1 1 2 2 3 3 4 4 Itt van az optimum! 2b. Oldjuk meg az előző LP- feladatot 10x + 16y  max célfüggvénnyel! 3x + 2y  6 -x + y  4 5x +8y 40 x – 2y  4 . x, y  0 . 10x + 16y max 10x + 16y= c  max y = -5/8 x + c és c  max A –5/8 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke maximális Optimum egy szakasz! Végtelen sok megoldás!

10. 1 1 2 2 3 3 4 4 Itt van az optimum! 2c. Oldjuk meg az előző LP- feladatot 10x + 16y  min célfüggvénnyel! 3x + 2y  6 -x + y  4 5x +8y 40 x – 2y  4 . x, y  0 . 10x + 16y min 10x + 16y= c  min y = -5/8 x + c és c  min A –5/8 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke minimális Optimum koordinátái: x = 2, y = 0

11. 1 1 2 2 3 3 4 4 Itt van az optimum! 2c. Oldjuk meg az előző LP- feladatot 10x –5y  min célfüggvénnyel! 3x + 2y  6 -x + y  4 5x +8y 40 x – 2y  4 . x, y  0 . 10x –5y min 10x –5y= c  min y = 2x – c és c  min y = 5/8 x + (– c) és - c  max A 2 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és -c értéke maximális Optimum koordinátái: x =0, y = 4

12. 1 1 2 2 3 3 Itt van az optimum! 3a. Oldjuk meg az alábbi LP-feladatot! x + 2y  4 -x + y  4 x – 3y  3 . x, y  0 . x + y min Végtelen tartomány! x + y= c  min y = -x + c és c  min A -1 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke minimális Optimum koordinátái: x =0, y = 2

13. 1 1 2 2 3 3 3b. Oldjuk meg az előző LP-feladatot az x + y max célfüggvénnyel ! x + 2y  4 -x + y  4 x – 3y  3 . x, y  0 . x + y max Végtelen tartomány! x + y= c  max y = -x + c és c  max A -1 meredekségű egyenesek közül keressük azt, amelynek van közös pontja a tartománnyal, és c értéke maximális A célfüggvény felülről nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán.

14. 1 1 2 2 3 3 4. Oldjuk meg az alábbi LP-feladatot! x + 2y  6 -x + y 2 x – 3y  3 . x, y  0 . x + y min Üres tartomány! A feladatnak nincs lehetséges megoldása sem.

15. Láttuk, hogy egy lineáris programozási feladat esetén a következő lehetetőségek fordulhatnak elő: • a lehetséges megoldások halmaza üres; • van lehetséges megoldás, de a célfüggvény nem korlátos a lehetséges megoldások halmazán; • van lehetséges megoldás, és a célfüggvény korlátos is a kívánt irányból; ekkor kétféle eset lehetséges • egyetlen optimum van; • több (végtelen sok) optimum van.