Differentiaalvergelijkingen
Sponsored Links
This presentation is the property of its rightful owner.
1 / 23

Differentiaalvergelijkingen PowerPoint PPT Presentation


  • 235 Views
  • Uploaded on
  • Presentation posted in: General

Differentiaalvergelijkingen. VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010. Exponentiële groei Begrensde groei Logistische groei. Differentiaalvergelijkingen. VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010. Bij exponentiële groei horen differentiaalvergelijkingen van de vorm : De oplossingsfuncties zijn : .

Download Presentation

Differentiaalvergelijkingen

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Presentation Transcript


Differentiaalvergelijkingen

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010


Exponentiële groei

Begrensde groei

Logistische groei

Differentiaalvergelijkingen

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010


Bij exponentiële groei horen differentiaalvergelijkingen van de vorm :

De oplossingsfuncties zijn :

Exponentiële Groei

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010


Voorbeeld : Bepaal de oplossingsfunctie van :

Exponentiële Groei

Antwoord :

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010

Controleren :


Een pan soep, die aan de kook is, wordt van het vuur gehaald en op tafel gezet.

Vanaf dat moment begint de soep af te koelen.

Volgens de afkoelingswet van Newton geldt dan :

Begrensde Groei

De snelheid waarmee de temperatuur van de soep daalt is evenredig met

het verschil in temperatuur van de soep en de omgeving.

Deze omgevingstemperatuur is gelijk aan 20C en we veronderstellen dat

deze niet verandert door de warmte die de pan afgeeft.

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010

Differentiaalvergelijking :


Gegeven :

Begrensde Groei

Controleer of

een oplossingsfunctie is.

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010


Bij begrensde groei horen differentiaalvergelijkingen van de vorm :

De oplossingsfuncties zijn :

Begrensde Groei

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010


Bakkersgist, dat aan deeg wordt toegevoegd,

bestaat uit levende cellen.

Wanneer je een zakje gedroogd gist oplost in water,

‘ontwaken’ de gistcellen uit hun rusttoestand en

beginnen ze zich onmiddellijk door deling te

vermenigvuldigen.

Vlak nadat het gist wordt opgelost, is de toenamesnelheid van het aantal gistcellenevenredig met het aanwezige aantal. Na verloop van tijd zal het aantal gistcellenper cm³ deeg echter minder snel gaan groeien omdat er een verzadigingsniveau wordt genaderd.

Logistische Groei

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010


Logistische groei


Logistische groei

In het begin van het groeiproces lijkt het aantal cellen exponentieel toe te nemen.Kenmerk van exponentiële groei is dat de groeifactor constant is.


Logistische groei


Logistische groei

want :

Op de iets langere termijn beschrijft het exponentiële groeimodel het proces niet goed,omdat er in werkelijkheid slechts plaats is voor een beperkt aantal gistcellen per cm³.


Logistische groei

Naarmate het aantal cellen dit verzadigingsniveau nadert, zal de groei afgeremd wordendoordat gistcellen zich minder snel delen of eerder sterven.

De maximale capaciteit lijkt ongeveer gelijk te zijn aan 650 gistcellen per cm³.

Het exponentiële model wordt nu aangepast via een zogenaamde remfactor


Logistische groei

  • De waarde van de remfactor zal afhangen van de waarde van A en wel zo dat:

  • Als A  0, dan remfactor  1, want dan vindt nog nauwelijks remming plaats.

  • Als A  650, dan remfactor  0, want dan is er nauwelijks groei meer.

  • Naarmate A dichter bij het maximum van 650 komt, neemt de groei af.

Het simpelste is om aan te nemen dat remfactor een dalende lineaire functie van A is.


De differentiaalvergelijking :

Begrensde Groei

  • Hierbij is 0,41 de evenredigheidsconstante als de groei ongeremd zou zijn.

  • De factor zorgt voor de remming.

  • Maximale capaciteit is gelijk aan 650 gistcellen per cm³

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010


Bij logistische groei horen differentiaalvergelijkingen van de vorm :

De oplossingsfuncties zijn :

Logistische Groei

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010


Logistische Groei

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010


Grenswaarde M = 650 en k = 0,41

Beginhoeveelheid y(0)=14

Differentiaalvergelijkingen

Dezegegevensinvullen in de standaardoplossinglevert de waardevoor b:

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010


Differentiaalvergelijkingen

VWO 5 – Wiskunde B – februari 2010


  • Login