1 / 32

Deret Taylor dan Analisis Galat

Deret Taylor dan Analisis Galat. Indriati., ST., MKom. Deret taylor. Definisi :

kare
Download Presentation

Deret Taylor dan Analisis Galat

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Deret Taylor danAnalisisGalat Indriati., ST., MKom

  2. Derettaylor • Definisi : Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,… menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :

  3. Jika (x-xo)=h, maka : • Contoh : Hampirifungsif(x)=sin(x) kedalamderet Taylor disekitarxo=1. Penyelesaian : f(x) = sin(x) f’’’(x) = - cos(x) f’(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f’’(x) = - sin(x) dst.

  4. maka : Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku. • Contoh-1 : f(x)= sin(x) dimana xo = 0

  5. Penyelesaian : • Contoh-2 : f(x)=ex dimana xo=0 Penyelesaian :

  6. Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan: Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis :

  7. dimana: Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utkderet Taylor orde ke-4 Penyelesaian :

  8. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yg didapatkan. Kita harus memahami dua hal, yaitu : a. Bagaimana menghitung galat b. Bagaimana galat timbul AnalisisGalat

  9. Misalkan : • Contoh :

  10. Contoh : Diketahui : a= 10/3; â = 3,333 Hitung : (a). Galat ! (b). Galat mutlak ! (c). Galat relatif ! (d). Galat relatif hampiran ! Penyelesaian : (a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3,333 = 10.000/3000 – 9999/3000 = 1/3000 = 0,000333

  11. (b). Galatmutlak : |є|=|a-â) = 0,000333 (c). (d). Pendekatan lain, perhitungannumerikygmeng-gunakanpendekatanlelaran (iteration), єRAdihitungdengancara : dimana : ar+1 = nilaihampiranlelaransekarang ar = nilaihampiranlelaransebelumnya

  12. Proses lelarandihentikanbila : |єRA| < єS єS = Toleransigalat yang dispesifikasikan SemakinkecilєS, semakintelitisolusinya, namunsemakinbanyak proses lelarannya Contoh : Diketahui : Xr+1=(-Xr3+ 3)/6; r =0,1,2,3 Xo= 0,5; єs= 0,00001 Hitung : єRA !

  13. Penyelesaian : Xo = 0,5 X1 = 0,4791667; X2 = 0,4816638; X3 = 0,4813757; X4 = 0,4814091; X5 = 0,4814052;

  14. Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu : 1. Galat pemotongan (truncation error) 2. Galat pembulatan (round-off error) Ada sumber galat lain, yaitu : 1. Galat eksperimental 2. Galat pemrograman SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK

  15. (1). Galat Pemotongan (truncation error). Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi matema- tika yg lebih kompleks diganti dengan formula yg lebih sederhana. Tipe galat pemotongan bergantung pd metode komputasi yg digunakan untuk penghampiran shg kadang-kadang di- sebut juga galat metode.

  16. Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri dengan formula : dimana : h = lebar absis xi+1 • Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 ! Penyelesaian : f(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f’(x) = - sin(x) f’’(x) = - cos(x)

  17. Maka : • Galat pemotongan : Nilai hampiran Galat pemotongan

  18. Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kita peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu :

  19. Contoh-1 : Gunakanderet Taylor orde 4 disekitar xo=1 untukmenghampiriln(0,9) danberi-kantaksiranuntukgalatmaksimum yang dibuat ! Penyelesaian :

  20. Deret Taylor : • Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengangalatpemo-tongan < 0,0000034.

  21. Contoh-2 : Hampiri nilai secara numerik, yaitu : dengan deret Maclaurin orde 8 ! Penyelesaian : Deret Maclaurin orde 8 dari adalah :

  22. Perhitungandgnmetodenumerikhampirselalumenggunakanbilanganriil. Masalahtimbulbilakomputasinumerikdikerjakandengankomputerkarenasemuabilanganriiltdkdapatdisajikansecaratepatdidlmkomputer. Keterbatas an komputerdlmmenyajikanbilanganriilmenghasilkangalatygdisebutgalatpembulatan. GALAT PEMBULATAN

  23. Contoh : 1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667. Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -0,00000033. Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu : (a). Bilangan titik tetap (fixed point) Contoh : 62.358; 0,013; 1.000

  24. (b). Bilangan titik kambang (floating point) Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03 0,1714 x 10-13 atau 0,1714E-13 Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure).

  25. Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti. Contoh : 43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3) 0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4) 0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2) 278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0) 0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0) ANGKA BENA

  26. GALAT TOTAL • Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan. • Contoh : Galat pembulatan Galat pemotongan

  27. Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.

  28. Di dalam metode numerik, fungsi f(x) sering diganti dgn fungsi hampiran yang lebih sederhana. Satu cara mengungkap-kan tingkat ketelitian penghampiran itu adalah dengan menggunakan notasi : O-Besar (Big-Oh). ORDE PENGHAMPIRAN

  29. Misal : f(h) dihampiri dgn fungsi p(h). Jika |f(h)-p(h)| ≤ M|hn|, yg dlm hal ini M adalah konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p(h) menghampiri f(h) dengan orde penghampiran O(hn) dan ditulis dgn : f(h) = p(h) + O(hn) O(hn) juga dapat diartikan sebagai orde galat dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti penghampiran fungsinya.

  30. Metode yg berorde O(h2) misalnya, lebih teliti drpd metode yg berorde O(h). Juga pada metode yg berorde O(h2), jika ukuran h dijadikan setengah kali semula, maka galatnya menjadi seperempat kali galat semula. Umumnya deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi. Misalkan : xi+1 = xi + h, i=0,1,2,….. Adalah titik-titik sebesar h, maka hampiran f(xi+1) dengan deret Taylor di sekitar xi adalah :

  31. Dalam hal ini : Jadi, kita dapat menuliskan :

  32. Contoh :

More Related